2. Классы случайных процессов

Необходимость моделирования самых разнообразных сигналов приводит к построению частных моделей случайных процессов, т.е. наложению дополнительных ограничений на параметры распределений и на сами распределения. Перечислим наиболее важные классы случайных процессов.

Непрерывные и дискретные по времени процессы. Случайный процесс с непрерывным временем характеризуется тем, что его реализации определяются для всех моментов из некоторого (конечного или бесконечного) интервала Т параметра t. Дискретный по времени процесс задается на дискретном ряде точек временной оси (обычно равноотстоящих).

Непрерывные и дискретные по информативнбму параметру процессы. Эти процессы различаются в зависимости от того, из какого (непрерывного или дискретного) множества принимает значение реализация л- случайной величины X.

Стационарные и нестационарные процессы. Так называются процессы в зависимости от постоянства или изменчивости их статистических характеристик. Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если для любого п конечномерные распределения вероятностей не изменяются со временем, т.е. при любом n выполняется условие P_n(x₁, ... , x_n|t₁+, ... , t_n+)=P_n(x₁, ... , x_n|t₁, ... , t_n).

Если же условие независимости от времени выполняется только для первых двух моментов (среднего и функции автокорреляции), то процесс называется стационарным в широком смысле (или в смысле Хинчина).

Эргодические и неэргодические процессы. На практике при описании случайных величин вместо рассмотрения их распределений часто ограничиваются только их числовыми характеристиками, обычно моментами. В тех случаях, когда распределение неизвестно, моменты (и другие числовые характеристики) можно оценить статистически.

Перенос такой практики на произвольные случайные процессы требует не только учета зависимости отстоящих друг от друга ("разнесенных") во времени значений, но и наложения дополнительных требований. Требование совпадения величин, получающихся при усреднении по ансамблю (т.е. при фиксированном времени) и при усреднении по времени (точнее, по одной реализации), и называется условием эргодичности. Это требование можно толковать и как совпадение результатов усреднения по любой реализации. Как и для стационарности, можно различать эргодичность в узком и широком смысле.

Можно продолжать классификацию случайных процессов и дальше, но мы будем делать это при рассмотрении конкретных вопросов.

Подведем итог: Основной результат данного параграфа состоит в том, что случайный процесс может служить математической моделью сигнала. Необходимо только следить за тем, чтобы конкретные особенности изучаемых сигналов были корректно отображены в свойствах случайного процесса.

4. 5.4. Математические модели реализации случайных процессов

Для рассмотрения конкретных свойств систем бывает необходимо учесть особенности сигналов, циркулирующих по каналам связи этих систем. Такие особенности можно описать по-разному: просто перечислить возможные реализации (если число их конечно) либо задать в той или иной форме общие свойства реализации, входящих в ансамбль. О дискретных процессах мы будем говорить отдельно, а сейчас рассмотрим математические модели реализации непрерывных сигналов.

Приведем примеры, с которыми часто имеют дело в теории сигналов.