1. Выбор как максимизация критерия

Если теперь сделать еще одно важное предположение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям (т.е. считать, что выбор осуществляется в условиях определенности) и заданный критерий q(x) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой x^* является, естественно, та, которая обладает наибольшим значением критерия:

x^*= argmax|_{x X} q(x) . (1)

Задача отыскания х^*, простая по постановке, часто оказывается сложной для решения, поскольку метод ее решения (да и сама возможность решения) определяется как характером множества Х (размерностью вектора х и типом множества X - является ли оно конечным, счетным или континуальным), так и характером критерия (является ли q(x) функцией или функционалом и какой или каким именно).

Однако сложность отыскания наилучшей альтернативы существенно возрастает, так как на практике оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается неприемлемым упрощением (см. § 3.3). Более полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Например, при выборе конструкции самолета проектировщикам следует учитывать множество критериев: технических (высотность, скорость, маневренность, грузоподъемность, длительность полета и т.д.), технологических (связанных с будущим процессом серийного изготовления самолетов), экономических (определяющих затраты на производство, эксплуатацию и обслуживание машин, их конкурентоспособность), социальных (в частности, уровень шума, загрязнение атмосферы), эргономических (условия работы экипажа, уровень комфорта для пассажиров) и пр. Даже в обыденной жизни при выборе мы почти никогда не используем единственный критерий: вспомните хотя бы затруднения при выборе подарка ко дню рождения или при выборе места для стоянки в турпоходе.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q_i(x), i = 1, ..., р. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве Х окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех p критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор.

2. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента: q₀(x)=q₀(q₁(x), q₂(x), ... , q_p(x)). Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине до, выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид функции q₀ определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или мультипликативные функции:

q₀=_i=1^p _i q_i s_i^-1 (3)

1-q₀=_i=1^p (1-_i q_i s_i^-1). (4)

Коэффициенты s_i обеспечивают, во-первых, безразмерность числа q_is_i^-1 (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смысла) и, во-вторых, в необходимых случаях.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия:

x^*=argmax|_x q₀(q₁(x), q₂(x), ... , q_p(x))

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого метода. Оставив в стороне трудности построения самой функции и вычислительные трудности ее максимизации, обратим внимание на следующий очень важный момент. Упорядочение точек в многомерном пространстве в принципе не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Суперкритерий играет роль этой упорядочивающей функции, и его даже "небольшое" изменение может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива окажется очень сильно отличающейся от старой. На рис. 7.1, а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (3), что отражается в изменении наклона соответствующей прямой: q₀₁(x₁^*)>q₀₁(x₂^*), но q₀₂(x₁^*)<q₀₂(x₂^*). Заметим. что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: "чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше". На рис. 7.1, а направления, соответствующие суперкритериям q₀₁ и q₀₂, изображены стрелками. Идея такого упорядочивания в многомерном пространстве заложена в некоторых балльных системах оценки вариантов [34]. Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля в заданном направлении, дает максимизация минимального критерия [23]:

x^*=argmax|_x {min|_i[_i q_i s_i^-1]}

что означает поиск вокруг направления _i q_i s_i^-1=const методом "подтягивания самого отстающего".