2. Основные понятия теории расплывчатых множеств

Изложим основные понятия теории расплывчатых множеств [I]. Расплывчатое множество А состоит из неопределенного числа элементов х:

признаки, по которым элементы включаются в расплывчатое множество, не позволяют однозначно отделить все элементы, входящие в него, от элементов, ему не принадлежащих; по крайней мере некоторые элементы можно считать как относящимися к множеству, так и не входящими в него.

Важным является понятие функции принадлежности _A(х). Считается, что для каждого элемента х можно задать число _A(х), 0 _A(х) 1, выражающее степень принадлежности этого элемента к расплывчатому множеству А. Если _A(х)=0, то элемент х определенно не принадлежит множеству А, если _A(х)=1 - определенно входит в него. Величина _A(х), рассматриваемая как функция аргумента х, и называется функцией принадлежности. Если _A(х) принимает значения только либо 0, либо 1, то множество А является нерасплывчатым. Характерным признаком расплывчатости множества является наличие хотя бы одного элемента с функцией принадлежности, отличной от 0 и 1.

Итак, расплывчатое множество А в Х определяется как совокупность упорядоченных пар вида А={х, _A(х)}, х X.

Пустое расплывчатое множество  определяется как такое, для которого (х)=0.

Иногда удобно использовать понятие носителя S(A) расплывчатого множества А, который определяется как такое множество, для которого [x S(A) X] [_A(х)>0].

Расплывчатое множество А называется номинальным тогда и только тогда, когда sup_x_A(х)=1, в противном случае - субнормальным. Непустое субнормальное множество можно нормализовать, разделив _A(х) на sup_x_A(х). В связи с возможностью субнормальности следует дополнить определение нерасплывчатого множества случаем, когда _A(х)=const<1 для всех х S(A).

Равенство двух расплывчатых множеств А и В определяется условием: (A=B) (_A(х)=_B(х)) x X.

Включение расплывчатого множества А в множество В определяется следующим образом: (A B) (_A(х) _B(х)) x X.

Например, множество очень больших чисел является подмножеством больших чисел.

Расплывчатое множество А' называется дополнением к расплывчатому множеству А тогда и только тогда, когда _A'(х)=1-_A(х). Например, множества "высокие люди" и "невысокие люди" могут быть как дополнительными друг к другу, если их функции принадлежности в сумме тождественно равны единице, так и не являться дополнительными при другом задании этих функций.

Пересечение размытых множеств А и В определяется соотношением A B _{A B}(х)=min(_A(х),_B(х)); x X.

Объединением размытых множеств А и В называется расплывчатое множество А и В, удовлетворяющее условию A B _{A B}(х)=max(_A(х),_B(х)); x X.

В некоторых приложениях удобно определить такие составные множества, которые соответствуют конкретным арифметическим операциям над функциями принадлежности составляющих множеств.

Так, алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В обозначается через АВ и определяется равенством _AB(х)=_A(х)_B(х), x X;

алгебраическая сумма А В соответствует равенству _{A B}(х)=_A(х)+_B(х)-_A(х)_B(х), x X;

Говорят, что имеет место расплывчатое отношение R между элементами х и y множеств Х и Y, если множество пар (х, у), удовлетворяющих этому отношению xRy, образует расплывчатое множество в Х Y, т.е. можно задать _R(х, у) - функцию принадлежности (х, у) к R.

Например, пусть отношение R есть х»у: _R(х, у)={0: x y; [1+(x-y)^-2]^-1:x>y} .

Пусть C - расплывчатое множество в пространстве Х Y c функцией принадлежности _C(х, у). Множество С называется разложимым по Х и Y в том и только в том случае, если C допускает представление C=А В, или, что то же самое, _C(х, у)=min[_A(х), _B(х)]

Мы привели основные (не все) понятия, с помощью которых строится теория размытых множеств и решаются соответствующие задачи (некоторые из таких задач будут рассмотрены в гл. 7). Цель данного параграфа-дать представление о том, как можно построить математическую модель наблюдений, не удовлетворяющих аксиомам тождества. Иными словами, каждая измерительная шкала может быть "размыта". Для размытия шкал наименований и порядка достаточно тех понятий, которые приведены выше; количественные шкалы требуют некоторых дополнительных определений.

Самым "узким" местом теории (и практики) размытых множеств является задание функций принадлежности. Существует несколько подходов к определению функции _A(х):

1) эвристический подход, когда субъект сам определяет, как он понимает степень принадлежности (например, числа п к множеству "несколько"); функции, задаваемые разными людьми для одного множества, могут различаться, что отражает разницу в понимании расплывчатого термина;

2) статистически подход, при котором _A(х) определяется усреднением функций, задаваемых разными экспертами;

3) частичное задание _A(х) поясняющими примерами (например, для нескольких значений х) и последующее доопределение всей функции подходящим методом;

4) интервальное определение типа задания пессимистической и оптимистической границ для функции _A(х);

5) кратная расплывчатость, т.е. задание _A(х) как размытого множества с помощью функции принадлежности второго порядка _A2(_A(х)).

Подведем итог: Расплывчатость является специфическим видом неопределенности. Ее главная особенность состоит в том, что в результате наблюдения конкретизируется лишь сам наблюдаемый объект, а неопределенность его принадлежности к расплывчатому множеству, известная заранее, сохраняется. Это описывается с помощью функции принадлежности. Другие особенности расплывчатых ситуаций моделируются аксиомами теории расплывчатых множеств.