2. Порядковые шкалы

Следующей по силе за номинальной шкалой; является порядковая шкала (используется также название ранговая шкала). Этот класс шкал появляется, если кроме аксиом тождества 1°-3°-классы удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности:

4°. Если А В, то либо А>В, либо В>А.

5°. Если А>В и В>С, то А>С.

Обозначив такие классы символами и установив между этими символами те же отношения порядка, мы получим шкалу совершенного порядка. Примерами применения такой шкалы являются нумерация очередности, воинские звания, призовые места в конкурсе.

Иногда оказывается, что не каждую пару классов можно упорядочить по предпочтению: некоторые пары считаются равными. В таком случае аксиомы 4° и 5° видоизменяются.

4°. Либо А В, либо А В.

5°. Если А В и В С, то А С.

Шкала, соответствующая аксиомам 4' и 5', называется шкалой .квазипорядка. Примером шкалы квазипорядка служит упорядочение по степени родства с конкретным лицом (мать = отец > сын = дочь, дядя = тетя < брат = сестра и т.п.).

Иная ситуация возникает, когда имеются пары классов, несравнимые между собой, т.е. ни А<В, ни В<А (это отличается от условия квазипорядка, когда одновременно А>В и В>А, т.е. А=В) . В таком случае говорят о шкале частичного порядка. Шкалы частичного порядка часто возникают в социологических исследованиях субъективных предпочтений. Например, при изучении покупательского спроса субъект часто не в состоянии оценить, какой именно из двух разнородных товаров ему больше нравится (например, клетчатые носки или фруктовые консервы, велосипед или магнитофон и т.д.); затрудняется человек и упорядочить по предпочтению любимые занятия (чтение литературы, плавание, вкусная еда, слушание музыки...).

Как видим, порядковые шкалы могут быть различными. В зависимости от того, каким аксиомам упорядоченности отвечают рассматриваемые объекты, мы должны пользоваться либо шкалой совершенного, либо шкалой частичного порядка. Однако разнообразие порядковых шкал этим не исчерпывается. Иногда число градаций в шкале задается заранее, и эксперимент лишь определяет, к какому из упорядоченных классов относится наблюдаемый объект (например, оценка на экзамене, сила землетрясения, воинское звание и т.п.). В других случаях эталонные классы отсутствуют, а упорядочение проводится непосредственным попарным сравнением самих рассматриваемых объектов (например, выстраивание солдат в шеренгу по росту, определение мест в результате спортивных соревнований, музыкальных конкурсов и т. д.).

Очень важно обратить внимание на то, что отношение порядка ничего не говорит о "дистанциях" между сравниваемыми классами или объектами. Это придает порядковым шкалам характерную особенность: наблюдения, зафиксированные в таких шкалах, не являются числами. Даже если экспериментальные данные представлены цифрами (как школьные баллы, номера мест, занятых в соревновании, и т.п.), эти данные нельзя рассматривать как числа. Над ними нельзя производить арифметические операции и вообще любые действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы, не нарушающих порядка. Например, нельзя вычислять среднее арифметическое порядковых измерений (х₁, ... , х_i, ... , х_n), так как переход к монотонно преобразованной шкале х'=f(х) (сохраняющей данную упорядоченность) после усреднения даст величину n^-1_ix_i'=n^-1_ix_i. Между тем не все это знают; ярким примером такого широко распространенного заблуждения являлось использование в школах и вузах в недавнем прошлом (а кое-где продолжающееся и сейчас) "средних баллов". Правда, сразу было замечено, что средний балл, худо-бедно "работавший" в руках одного учителя, в рамках одного класса переставал играть роль объективного показателя при сравнении выпускников разных школ. Во всяком случае непродуманно введенный ранее учет средних школьных баллов при проведении конкурса для поступления в высшие учебные заведения был недавно отменен.

Допустимые операции над порядковыми наблюдениями вытекают из отношений, определяющих эти шкалы, т.е. из отношений эквивалентности и предпочтения. Допустимые операции представляют собой только операции проверки выполнимости этих отношений. Операция проверки принадлежности наблюдения к заданному классу (или неразличимости двух наблюдений) была уже введена выше. при рассмотрении номинальной шкалы, как символ Кронекера _ij, где один индекс-номер наблюдения, а другой - номер класса или другого наблюдения (в зависимости от типа порядковой шкалы). Операция проверки отношения предпочтения тоже может быть формализована. Введем индикаторную функцию С_ij предпочтения для упорядоченной пары индексов (i, j), а именно: С_ij={1, если объект с индексом i предпочтительнее объекта с индексом j или эквивалентен ему; 0, если верно обратное предпочтение }. В результате по значению бинарной функции С_ij мы можем однозначно судить о порядке предъявленных объектов. Как и ранее, в зависимости от типа шкалы, один объект - данное наблюдение, а другой - либо некоторый класс, либо другое наблюдение.

Итак, непосредственно над порядковыми данными можно производить только операции по определению величин _ij и С_ij. Результаты этих операций являются двоичными числами; над ними уже можно производить арифметические и логические операции. Например, если i, j - номера наблюдений в совокупности данных (x₁, ... , х_i , ... , х_n), то мы можем установить номер i-го наблюдения в упорядоченном ряду: R_i=_jC_ij, . Этот номер называется рангом i-го объекта; отсюда происходит специальное название для данного типа порядковых шкал -ранговые. Если имеет место квазипорядок, то часть наблюдений может совпадать (в статистике такая группа наблюдений называется связкой), и все члены связки получают одинаковый (старший для них) ранг. Когда это неудобно, прибегают либо к присвоению ранга, среднего для данной связки (мидранга), либо присваивают ранги от младшего до старшего случайным образом.

С числами _ij и С_ij можно выполнять и другие необходимые операции. Кроме нахождения частот и мод (как и для номинальной шкалы), появляется возможность определить выборочную медиану (т.е. наблюдение с рангом R_i ближайшим к числу п/2) можно разбить всю выборку на части в любой пропорции, находя выборочные квантили любого уровняв, 0<р<1 (т.е. наблюдения с рангом R_i ближайшим к величине np); можно определить коэффициенты ранговой корреляции между двумя сериями порядковых наблюдений (Спирмэна, Кендалла); строить другие статистические процедуры.

Подчеркнем еще раз, что даже в тех случаях, когда состояния, которые допускают только порядковые сравнения, в эксперименте измеряются через величины, связанные с ними косвенно, но фиксируемые в числовых шкалах, эти измерения все равно остаются измерениями в порядковой шкале. Пфанцагль [6] приводит наглядные примеры, иллюстрирующие сказанное.

Первый пример взят из медицины. Известно, что за показатель интенсивности патологического процесса принимается скорость выпадения осадка при добавлении в пробирку с кровью цитрата натрия; скорость осаждения измеряется в миллиметрах в единицу времени. Идея такого измерения основана на том, что увеличение интенсивности патологического процесса приводит к повышению содержания глобулина, что увеличивает скорость выпадения осадка. Поэтому высота слоя осадка за данный интервал времени монотонно связана с интенсивностью исследуемого патологического процесса. Функциональный вид этой связи неизвестен, для разных лиц различен и нелинеен: изменение количества цитрата натрия или времени осаждения приводит к непропорциональным изменениям высоты осадка. Теперь предположим, что для одного больного лекарство A привело к уменьшению осадка с 75 до 60 мм, а для другого лекарство B - с 65 до 55 мм. Отсюда нельзя заключать, что лекарство А эффективнее, так как оно привело к уменьшению осадка на 15 мм, а лекарство B -только на 10!

В качестве второго примера рассматривается испытание умственных способностей, при котором измеряется время, затрачиваемое испытуемым на решение тестовой задачи. В таких экспериментах время хотя и измеряется в числовой шкале, но как мера интеллекта принадлежит порядковой шкале.

Выше мы не без умысла к названию порядковой шкалы присоединяли слова "в строгом смысле". Суть состоит в том, что порядковые в строгом смысле шкалы определяются только для заданного набора сравниваемых объектов, у этих шкал нет общепринятого, а тем более абсолютного стандарта. Поэтому при определенных условиях правомерно выражение "первый в мире, второй в Европе" - просто чемпион мира занял второе место на всеевропейских соревнованиях.