7. 7.7. О выборе в условиях статистической неопределенности

Существует класс задач выбора, особенностью которых является наличие неопределенности даже после того, как проведена серия наблюдений, измерений. Дело в том, что данные, полученные в результате эксперимента, связаны с интересующим нас аспектом явления не непосредственно, не однозначно, а в совокупности с другими, неконтролируемыми факторами.

1. Статистические решения как выбор

Пусть, например, требуется знать высокоточное значение веса некоторого предмета. Неоднократное его взвешивание на аналитических весах даст хотя и близкие, но разные значения, так как на показания весов оказывают влияние не только вес самого взвешиваемого предмета, но и трение, неидеальность геометрической формы опорной призмы, течение струй воздуха, тепловой режим и т.д. Аналогично, при радиолокационном зондировании Луны в результате каждого измерения получают отличающиеся цифры для расстояния до нашего спутника, чему имеется множество причин. В таких задачах возникает нетривиальная проблема выбора, какое именно из значений интересующей нас величины принять за истинное - с учетом имеющихся данных.

Аналогичная ситуация-выбор в условиях статистической неопределенности - имеет место не только при оценке некоторой величины, но и при классификации объектов (чем болен пациент, если его состояние характеризуется такими-то данными анализов? На какой глубине находится нефть или вода, если в результате геофизической разведки получена некоторая совокупность чисел?), а также при необходимости подобрать математическую модель явления (на какую кривую лучше всего ложатся эти экспериментальные данные?) и при необходимости обнаружить какую бы то ни было закономерность (влияет ли солнечная активность на здоровье людей? С какими наблюдаемыми характеристиками жизни человека связана возможность заболевания шизофренией? Есть ли закономерность в том, как в течение 30 лет поражала молния опоры данной линии электропередачи?).

Во всех таких задачах есть общее - необходимость выбора на основании косвенных или прямых, но обязательно "зашумленных" данных. Основным, центральным, самым важным предположением для формализации решения таких задач является предположение о статистичности экспериментальных данных. Оно состоит в том, что связь между истинной, но неизвестной искомой альтернативой  (будем обозначать этой буквой любую закономерность, отыскиваемую в протоколе наблюдений, считая, что она принадлежит множеству  возможных закономерностей, на котором и надо сделать выбор) и наблюдаемыми данными х₁, ..., х_N адекватно описывается распределением вероятностей (например, функцией распределения F(х₁, ..., х_N|) или, если х_i - непрерывные величины; а функция F дифференцируема, - плотностью вероятностей f(х₁, ..., х_N|). Другими словами, считается, что, во-первых, выборка наблюдений принадлежит статистическому ансамблю всевозможных выборок, на котором задано распределение вероятностей, и, во-вторых, это распределение различно для разных , что и обеспечивает наличие информации о в выборке х₁, ..., х_N (см. гл. 5). Вопрос состоит в том, как извлечь эту информацию, т.е. как сделать выбор на множестве  или как принять статистическое решение.

Естественно, напрашивается идея-свести задачу к уже решенной ранее. Такую возможность предоставляет теория "игр против природы" (см. §7.6): выбор  на  и действительное состояние  природы можно в совокупности охарактеризовать функцией потерь l(,), которую и рассматривать как платежную функцию игры. Использование такого представления в самом деле позволяет перенести ряд результатов теории игр в теорию статистических решений [5]. Однако одни статистические задачи не принадлежат к числу решенных задач теории игр, для других задач существуют более прямые и короткие способы решения, третьи имеют настолько сильно выраженную специфику обработки экспериментальных данных, что игровая терминология лишь "затемняет" суть дела; наконец, теория синтеза и анализа процедур для решения статистических задач - математическая статистика - начала развиваться задолго до возникновения теории игр, достигла значительных результатов и продолжает успешно развиваться самостоятельно. По этим причинам теоретико-игровой подход к статистике, сохраняя свое методологическое, междисциплинарное значение, не оказал существенного влияния на прикладную статистику.