2. Дискретное представление сигналов

Вторым важным аспектом теории сигналов является проблема дискретного представления непрерывных сигналов. Вопрос формулируется так: существуют ли условия (и если да, то каковы они), при которых любой непрерывной функции x(t) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел {С_k(х)}, k= ... -2, -1, 0, 1, 2 , ... Положительный ответ на этот вопрос имел бы как теоретическое, так и практическое значение. Во-первых, рассмотрение случайных величин вместо реализации непрерывных случайных процессов существенно упрощает решение многих задач, вся теория становится проще и может быть продвинута дальше. Во-вторых, соответствие x(t){С_k(х)} можно использовать и в технических устройствах, работающих с непрерывными сигналами (например, иногда технически проще хранить или передавать {С_k(х)} вместо x(t)).

Ограничимся более конкретной формулировкой поставленной задачи и рассмотрим условия выполнения равенства x(t)=_k C_k_k(t).

Функции {_k(t)} называются координатными функциями, они не должны зависеть от x(t), более того, они заранее известны. Ряд в правой части равенства называется разложением x(t) по координатным функциям. Числовые коэффициенты {С_k(х)} содержат всю информацию об x(t), необходимую для восстановления этой функции; следовательно {С_k(х)} являются функционалами от функции x(t).

Наиболее известны разложения по системе ортогональных и нормированных функций. Это означает, что функции {_k(t)} удовлетворяют условиям: _i(t)x(t)dt=_kC_k(x)_k(t)_i(t)dt=C_k

Такое представление называют рядом Фурье, а C_k(х) - коэффициентами Фурье. Условия сходимости ряда Фурье к функции x(t) подробно исследованы и, кратко говоря, сводятся к тому, чтобы были оправданы все необходимые математические операции, а коэффициенты Фурье убывали достаточно быстро. Это не очень жесткое ограничение, но все же оно связывает свойства системы координатных функций и самих функций х(t).

Значительный интерес привлекли разложения реализации случайного процесса с ограниченной полосой частот. Для таких сигналов В.А. Котельников доказал (1946) следующую теорему (теорему отсчетов): любая функция со спектром, находящимся в интервале [0, F], полностью определяется последовательностью ее значений в точках, - отстоящих друг от друга на (2F)^-1 единиц времени.

Пусть x(t) имеет спектр X(f); причем X(f) отлично от нуля только в интервале |f|<F.

В этом интервале применимо разложение: X(f)= (2F)^-1_k=-^x(k(2F)^-1) e^{i2kf(2F)-1}

Для восстановления x(t) между точками отсчета применимо соотношение:

x(t)=_-F^FX(f)e^-2ftdf=(2F)^-1_k=-^x(k(2F)^-1)_-F^FX(f)e^{-2f(k(2F)-1t)}df=

=_k=-^x(k(2F)^-1)sin(2ft-k)(2ft-k)^-1

Итак, мы получили разложение реализации, координатными функциями которого являются функции вида (sin и)/и, сдвинутые друг относительно друга на интервалы времени (2F)^-1, а коэффициентами - значения ("отсчеты") самой реализации, взятые в моменты k(2F)^-1.

Иногда говорят, что эта теорема является теоретическим обоснованием возможности на практике восстанавливать x(t) по отсчетам x(k(2F)^-1). Однако дело в том, что координатные функции имеют неограниченную длительность и, следовательно, физически нереализуемы. Кроме того, ряд имеет неограниченное число членов. Все это снова возвращает нас к проблеме точности фиксации сигналов, - проблеме, пока не получившей полного освещения.

Подведем итог: Из многочисленных результатов теории сигналов мы выделяем два, как существенно поясняющие природу непрерывных сигналов. Первый состоит в том, что сигналы обнаруживают своеобразную "Упругость" занимаемой ими площади на плоскости "частота-время". Это явление называется частотно-временной неопределенностью сигналов. Второй результат заключается в том, что определенный класс непрерывных сигналов допускает взаимно однозначное соответствие между любой реализацией из этого класса и дискретным набором отсчетов данной реализации.