3. Об оцифровке порядковых шкал

Важно обсудить ситуацию, возникшую при описании выбора на языке бинарных отношений в результате создания теории полезности [38]. П. Фишберн строго доказал теорему, смысл которой довольно ясен: если множество Х конечно и между его элементами имеется отношение строгого порядка, то можно построить такую вещественную функцию u(x) на X, для которой (х<у) [u(x)<u(y)} (в левой части < означает отношение предпочтения, в правой - знак "меньше").

Функция u(x) называется функцией полезности. Ясно, что такая функция не единственна: произвольное монотонное преобразование сохраняет ее упорядочивающее свойство. Этот результат затем был обобщен на счетные и континуальные множества X, на нестрогий порядок и на многокритериальный случай (аддитивные функции полезности). Определение функции u(x) позволяет перейти от языка бинарных отношений к критериальному языку, взяв u(x) в качестве критериальной функции. Были развиты методы, позволяющие сузить класс функций полезности, например благодаря рассмотрению иерархических парных предпочтений, повышая тем самым "точность определения u(x) ".

Создается впечатление, что от качественных порядковых измерений можно перейти к количественным. На самом деле мы здесь вновь сталкиваемся с такой ситуацией, когда "оцифровка" порядковой шкалы не делает ее числовой шкалой. Для воспроизводства упорядочения фиксированного попарно упорядоченного множества X, конечно, можно воспользоваться числовой функцией u(x); однако стоит дополнить Х альтернативами, которые не рассматривались при первом упорядочении, как функцию u(x) потребуется определять заново. Более того, если два разных эксперта дадут разные упорядочения множества X, то можно доопределить функции полезности для каждого из них, но сравнивать их численно иначе как в отношении порядка не имеет смысла, хотя обе они определены на одном множестве.

В тех случаях, когда количественная величина по каким-то причинам измеряется в порядковой шкале, оцифровка порядковых данных могла бы иметь смысл. Однако во многих приложениях теории полезности мы имеем дело с измерениями, которые в принципе не могут выйти из разряда порядковых.

Подведем итог: В ряде практических случаев критериальная функция не существует, т.е. оценку данной альтернативе можно дать только в результате ее сравнения с другой альтернативой. Это потребовало более общего описания выбора. Первым таким обобщением и является язык бинарных отношений.

4. 7.4. Язык функций выбора

Некоторые особенности выбора привели к построению третьего, еще более общего языка его описания. Во-первых, нередко приходится сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение между двумя альтернативами зависит от остальных альтернатив. Например, предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки. Во-вторых, возможны такие ситуации выбора, когда понятие предпочтения вообще лишено смысла. Например, по отношению к множеству альтернатив довольно обычными являются правила выбора "типичного", выбора "среднего", выбора "наиболее отличного, оригинального", теряющие смысл в случае двух альтернатив.