5. Выбор между упорядочениями

Для рассматриваемых методов многокритериальной оптимизации существенным является исходное упорядочение критериев. Иногда их порядок очевиден ("кошелек или жизнь?") или общепризнан (как порядок букв в алфавите), но бывает, что этот вопрос не тривиален, а привлекаемые для его решения эксперты дают несовпадающие упорядочения критериев. Выход состоит в том, чтобы установить, какое из предложенных экспертами упорядочений является "средним", "типичным" для данной группы. Это опять-таки можно делать по-разному. Среди специалистов пользуется признанием упорядочение, называемое медианой Кемени.

Обозначим через R_i упорядочение критериев, предложенное i-м экспертом. Введем некоторую меру расхождения между двумя (i-й и j-й) ранжировками: d(R_i, R_j). Медианой Кемени R* среди п предложенных упорядочений R₁,... , R_n называется то из них, которое отвечает условию R*=argmin _j=1ⁿ d(R_i, R_j), т.е. то, сумма "расстояний" до которого от всех остальных минимальна.

Однако следует отметить, что с медианой Кемени связано несколько трудностей. Во-первых, оптимизационная задача по нахождению R* решается методами дискретной оптимизации (динамического программирования, ветвей и границ, и др.), трудоемкость которых экспоненциально растет с увеличением размерности задачи. Во-вторых, иногда решение задачи не единственно, и в этом случае возникают трудности: в литературе приводится пример, когда в одной из оптимальных ранжировок конкретная альтернатива стоит на первом месте, а в другой - на последнем). Поэтому используют и другие способы упорядочения, наиболее известным из которых является метод строчных сумм. Пусть критерии сравниваются попарно: а_ijk=1, если k-й эксперт считает, что q_i важнее q_j; 0, если наоборот; 1/2, если он считает их равноценными. Для каждого критерия вычисляют величины S_i=_k_j а_ijk и критерии упорядочивают по этой "сумме очков" - совсем как по турнирной таблице в спорте. Однако и этот метод может давать сбои, как и всякое голосование.

6. Поиск альтернативы с заданными свойствами

Третий способ многокритериального выбора относится к случаю, когда заранее могут быть указаны значения частных критериев (или их границы), и задача состоит в том, чтобы найти альтернативу, удовлетворяющую этим требованиям, либо, установив, что такая альтернатива во множестве Х отсутствует, найти в Х альтернативу, которая подходит к поставленным целям ближе всего. Характеристики решения такой задачи (сложность процесса вычислений, скорость сходимости, конечная точность и пр.) зависят от многих факторов. Снова оставив в стороне вычислительные и количественные аспекты (что является далеко не простой и в ряде случаев нерешенной задачей), обсудим, некоторые принципиальные моменты данного подхода.

Удобным свойством является возможность задавать желательные значения q_i критериев как точно, так и в виде верхних или нижних границ; назначаемые значения величин q_i иногда называют уровнями притязаний [48], а точку их пересечения в p-мерном пространстве критериев - целью [23] или опорной точкой [48], идеальной точкой [22]. Поскольку уровни притязаний задаются без точного знания структуры множества Х в пространстве частных критериев, целевая точка может оказаться как внутри, так и вне X (достижимая или недостижимая цель).

Теперь идея оптимизации состоит в том, чтобы, начав с любой альтернативы, приближаться к х* по некоторой траектории в пространстве X. Это достигается введением числовой меры близости между очередной альтернативой х и целью х*, т.е. между векторами q(x)=(q₁(x), ... , q_p(x)) и q=(q₁, ... , q_p). Можно по-разному количественно описать эту близость. Например [23], используют расстояния типа:

D(q, q) = (_i w_i|q_i(x)-q_i|^k)^1/k.