3. Основные направления и понятия символической (математической) логики	51

3.19.Основные понятия логики предикатов

Предикаты

Средствами логики высказываний производится анализ некоторых логи- ческих выводов для высказываний с целью выяснения их правомерности.

Однако, если при выводе одних высказываний из других не учитывается внутренняя структура элементарных высказываний, то для выяснения правомерности такого рассуждения средств логики высказываний оказывается недостаточно. Возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру элементарных высказываний.

Такой логической системой является логика предикатов.

В традиционной логике в элементарном высказывании различаются субъект (то, о чем утверждается в высказывании) и предикат (то, что утверждается о субъекте).

Так, в выражении «Платон — философ» термин «Платон» — это субъект, а термин «философ» — предикат. В выражении «Всякий студент, обучающийся

âуниверситете, изучает логику» словосочетание «всякий студент, обучающийся

âуниверситете» является субъектом, а словосочетание «изучает логику» является предикатом. В данном случае предикат понимается как свойство, а предикативная связь означает, что субъекту (предмету) присущ определенный признак.

Логика предикатов также исходит из расчленения элементарного высказывания на субъект и предикат, но это расчленение осуществляется в современной логике не так, как в традиционной.

Âлогике предикатов предикат рассматривается как логическая функция одной или нескольких предметных переменных (одного или нескольких субъектов)

âзависимости от того, выражает ли высказывание свойство предмета или отношение между предметами.

Такое представление пригодно как для тех элементарных высказываний, которые выражают свойства предметов, так и для тех, которые выражают отношения между предметами.

При этом понятие «свойство» и понятие «отношение» рассматриваются как частные случаи общего понятия «предиката».

Объекты, о которых говорится в высказывании, называются термами, а знаки свойств и отношений — предикаторами.

Слова и словосочетания, значением которых являются свойства (например, «красный», «бежит», «электропроводный» и т.п.), являются одноместными предикаторами.

Слова и словосочетания, значением которых являются отношения (например, «больше», «бежит от», «старше», «дарит» и т.п.), являются многоместными предикаторами.

52I. Пропедевтика: предмет логики. Основные понятия и структура логики

3.20.Операции над предикатами. Кванторы

Операции над предикатами

Предикаты — логические функции, а так как они принимают, как и пропозициональные переменные, значения И и Л, то к ним применимы все операции логики высказываний.

С помощью этих операций из элементарных предикатов (т.е. таких, которые не расчленяются на другие предикаты) формируются сложные предикаты, так же как в логике высказываний из элементарных высказываний формируются сложные.

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примере одноместных предикатов. Пусть Р(х) и Q(х) — два одноместных предиката, определенных на некотором множестве М. С помощью операций логики высказываний &, можно строить новые предикаты на множестве М. Конъюнкция Р(х) & Q(х) — это предикат R1(х) Р(х) & Q(х), который истинен для тех и только тех объектов х из М, для которых оба предиката Р(х) и Q(х) истинны. Аналогично определяется дизъюнкция, импликация, отрицание.

Операции логики высказываний преобразуют предикаты в высказывания. Рассмотрим операции, преобразующие предикаты в высказывания. Одной из таких операций является подстановка вместо предметных переменных их значений.

Если в предикате Р(х1, õ2, ..., õn), где Р — предикатная постоянная, а х1, õ2, ..., õn — предметные переменные, подставить вместо всех предметных переменных какие-нибудь их значения а1, à2, ..., àn, то получим высказывание Р (а1, à2, ..., àn) (истинное или ложное), относящееся к конкретной системе предметов (а1, à2, ..., àn).

Кванторы

В логике предикатов наряду с операциями логики высказываний основную роль играют операции, называемые кванторами. Выражение «для всех х» («для всякого х», «для любого х») обозначается символом (Aх) и называется квантором общности. Выражение «существует х такое, что ...» обозначается символом ( х)

и называется квантором существования.

Приписывание спереди к предикатной формуле квантора общности или существования выражает операцию связывания квантором: переменная, которая связывается этим квантором (которая фигурирует и в предикате, и в кванторе), называется связанной переменной.

Например, если Р(х) — предикат: «х — простое число», то (Aх)Р(х) — ложное высказывание «всякое число х — простое», а ( х)Р(х) — истинное высказывание «существует число х такое, что оно — простое».

3. Основные направления и понятия символической (математической) логики	53

3.21. Синтаксис языка логики предикатов

Алфавит и правила образования сложных выражений

Синтаксис языка логики предикатов содержит исходные символы и правила построения из них сложных выражений, которых всего два типа – термы и формулы.

Исходные символы:

1. à, b, c, d, a1, a2, ..., an, ... — предметные постоянные (или предметные константы, или индивидные константы). Это символы для единичных (собственных или описательных) имен предикатов, т.е. при переводе с естественного языка на язык логики предикатов они заменяют единичные имена.

2. x, y, z, x1, x2, ..., xn, ... — предметные переменные (или индивидные переменные)1. Это символы общих имен предметов, принимающие значения в той или иной области. При переводе с ествественного языка на язык логики предикатов они заменяют общие имена.

3. P 1, Q 1, R 1, S 1, P11,P22, ..., Pn1, ...,

P 2, Q 2, R 2, S 2, P12, P22, ..., Pn2, ... — предикатные переменные (предикатные символы), где верхний индекс обознача- ет их местность, а нижний показывает, что этих символов бесконечное множество. Одноместные предикатные символы типа Р(а), ... обозначают свойства, а n-мест- ные типа Р(а, b) – отношения. При переводе с естественного языка на язык логики предикатов они заменяют предикаторы.

4. f 1, f 2, f 3, ..., f	1, f	1,..., f	1	— предметно-функциональные символы, где
	1	2	n

верхний индекс обозначает местность предметного функтора, а нижний показывает, что этих символов бесконечное множество. При переводе с естественного языка на язык логики предикатов они заменяют предметные функторы.

1 Одна из существенных особенностей математического языка состоит в применении переменных различных типов, благодаря чему такой язык способен выражать абстрактные формы, которые могут заполняться различным конкретным содержанием. Переменная не есть название конкретного элемента какого-нибудь множества — она ставится в математическом тексте на то место, которое разрешается заполнять именем любого элемента какого-либо определенного множества, т.е. переменная — это символ, вместо которого можно подставить имена элементов некоторого множества. Предметы, имена которых разрешается подставить вместо переменной, называются ее значениями, а множество этих предметов — областью значений этой переменной.

54	I. Пропедевтика: предмет логики. Основные понятия и структура логики

5. A,

A

6.&, , ,

7.( , )

—логические операторы, символы для количественной характеристики высказываний.

—квантор общности; он соответствует выражениям: «все», «каждый», «всякий», «всегда» и т.п.

—квантор существования; он соответствует выражениям: «некоторый», «существует», «иногда», «бывает», «встречается» и т.п.

—логические связки (константы): конъюнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание.

—технические знаки: левая и правая скобки и запятая.

Ничто, кроме указанного в п. 1—7, не является исходным символом языка логики предикатов, т.е. других знаков данный алфавит не включает.

Правила построения сложных выражений из исходных знаков (символов) представляют собой индуктивные определения терма и формулы.

Òåðì

1.Любая предметная постоянная и предметная переменная есть терм.

2.Åñëè f n есть n-местный предметно-функциональный символ, а t1, t2, ..., tn —

термы, то f n (t1, t2, ..., tn) — òåðì.

Ничто, кроме указанного в п. 1 и 2, не является термом.

Формула

1.Åñëè Ð n есть n-местный предикатный символ, а t1, t2, ..., tn — термы, то

Ðn (t1, t2, ..., tn) — формула.

2.Если А и В — формулы, то (А & В), (А В), (А В), А — формулы.

3. Если А есть формула, а х есть предметная переменная, то

Aõ À(õ) è õ À(õ) —

формулы.

Ничто, кроме указанного в п. 1—3, не является формулой.

П р и м е ч а н и е. Логика предикатов, как и логика высказываний, содержит символы. Термин «символ» происходит от греческого слова «symbolon» — знак. Различают символы собственные и несобственные. Такие символы получают при разложении языкового выражения (предложения) на простые, далее неразложимые части.

Символы собственные характеризуются тем, что имеют содержание даже в том случае, если взяты сами по себе (например, имена, обозначающие некоторые объекты, переменные, обозначающие какие-то области объектов).

Символы несобственные (синкатегорематические) не имеют самостоятельного содержания. К ним относят: скобки, играющие роль знаков препинания естественного языка и указывающие, как объединяются между собой различные части выражения; логические связки («и», «или», «если..., то...» и др.); операторы, подобные кванторам («все», «некоторые») и оператору описания («тот объект, который ...»).