6. Логические операции с понятиями	79

6.5. Правила деления и возможные ошибки

П р а в и л о 1. Деление должно быть соразмерным.

При таксономическом делении объединение членов деления должно совпадать с объемом делимого понятия:

WõÐ1(õ) WõÐ2(õ) ... WõÐn(õ) = WõÐ(õ).

При мереологическом делении сумма значений членов деления (частей предмета) должна равняться целостности делимого предмета.

При нарушении этого правила возникают ошибки.

• Неполное деление. При этой ошибке пропущен какой-либо член деления. П р и м е р ы.

а) «Лес делится на лиственный и хвойный» (таксономическое деление). Деление является неправильным. Здесь пропущен член деления (смешанный).

б) «Школа делится на администрацию школы и учащихся» (мереологическое деление). Деление является неправильным. Здесь пропущен член деления (педагогический коллектив школы).

• Деление с лишними членами. При этой ошибке среди членов деления встречаются понятия, не относящиеся к делимому понятию.

Ï ð è ì å ð û.

а) «Химические элементы делятся на металлы, неметаллы и сплавы» (таксономическое деление). Деление является неправильным. Здесь лишний член деления (сплавы), а объединение объемов понятий «металл» и «неметалл» исчерпывает объем делимого (родового) понятия «химический элемент»;

б) «Система ружья делится на ствол, затвор, ударно-спусковой механизм, ложу, прицельные приспособления и ремень для ношения» (мереологическое деление).

Деление является неправильным, так как ремень для ношения ружья не является частью системы ружья.

П р а в и л о 2. Деление должно производиться только по одному основанию.

В качестве основания деления каждый раз может быть использован только один признак, который не должен подменяться другим признаком. Это правило относится к таксономическому делению. Однако его можно распространить и на мереологическое деление. При нарушении этого правила возникают ошибки.

• Деление не по одному основанию. При этой ошибке в основание деления положен более, чем один признак.

Ï ð è ì å ð û.

а) «Учащиеся по признаку успехов в учебе делятся на отлично успевающих, хорошо успевающих, удовлетворительно успевающих, неуспевающих, любящих учебу и не любящих учебу» (таксономическое деление).

Деление является неправильным, так как члены деления любящие учебу и не любящие учебу выделены по другому основанию (по отношению к учебе);

б) «По устройству часы делятся на механизм, циферблат, корпус, стекло, заднюю крышку, браслет, замок на браслете» (мереологическое деление).

Деление является неправильным. Здесь часть членов деления (механизм, циферблат, корпус, стекло, задняя крышка) выделены по одному основанию (устройство часов), а часть (браслет, замок на браслете) – по другому основанию (аксессуары часов).

80	II. Понятие

П р а в и л о 3. Члены деления должны исключать друг друга.

При таксономическом делении объемы членов деления не должны иметь общих элементов, быть соподчиненными понятиями, объемы которых не пересекаются.

При мереологическом делении значения членов деления не должны иметь общих частей. Это правило тесно связано с предыдущим, так как если деление проводится не по одному основанию, то члены деления не будут исключать друг друга.

При нарушении этого правила возникают ошибки. П р и м е р ы.

а) «Преступления делятся на умышленные, неосторожные и убийства» (таксономическое деление).

Деление является неправильным, так как нарушено правило исключения. Убийства могут быть как неосторожными, так и умышленными.

б) «Письма делятся на отправленные, неотправленные и утерянные «(таксономическое деление).

Деление является неправильным, так как нарушено правило исключения. Письма, утерянные по дороге, составляют подмножество отправленных писем, а письма, утерянные корреспондентом до их отправления, составляют подмножество неотправленных писем;

в) «Дерево делится на корни, ствол, крону, ветви и листья» (мереологическое деление).

Деление является неправильным, так как нарушено правило исключения. Здесь члены деления не исключают друг друга, поскольку ветви и листья являются составляющими частями кроны.

П р а в и л о 4. Деление должно быть последовательным.

Âпроцессе таксономического деления родового понятия следует переходить

êближайшим видовым понятиям, не пропуская их, а в процессе мереологического деления — от целого к его частям, от частей — к частям частей и т.д.

При нарушении этого правила возникают ошибки. П р и м е р ы.

а) «Книги делятся на прозаические, поэтические, естественно-научные, гуманитарные, учебники для вузов, учебники для школ» (таксономическое деление). Деление является неправильным, так как между понятием «книга» и перечисленными видами книг существуют еще виды понятия «книга», которые являются родами для этих прозаических, поэтических и т.д. книг. Это понятия «художественная книга», «учебная книга».

б) «Дерево делится на корни, ствол, ветви, листья, крону» (мереологическое деление). Деление является неправильным, так как нарушено правило последовательности. Правильное деление: Дерево делится на корни, ствол, крону. Корни делятся на горизонтальные и вертикальные. Ствол делится на штамб, центральный проводник и ветвь центрального проводника. Крона делится на разветвления (ветви) и листья.

Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ошибок, случающихся при подмене таксономического деления мереологи- ческим делением (и наоборот) можно избежать, если использовать довольно простой прием: не употреблять при осуществлении таксономического деления выражений «делятся на», «состоит из». При таксономическом деление следует использовать выражение «бывают».

П р и м е р: а) «Деревья бывают лиственные и хвойные» (таксономическое деление).

б) «Дом состоит из фундамента, стен и крыши» (мереологическое деление).

6. Логические операции с понятиями	81

6.6. Классификация

В основе построения различного рода классификаций лежит операция деления. Классификация представляет собой систему таксономических или мереологи- ческих делений. Однако классификация, в отличие от деления, имеет ряд характерных свойств. Это:

1)система последовательных делений;

2)характеристика свойств классифицируемых предметов;

3)структурализация, представленная в виде схем или таблиц.

Классификация — это последовательное деление некоторого понятия на его виды, видов на подвиды и т.д.

Графически это можно изобразить в виде следующей схемы:

Ê0

0-é ÿðóñ

Ê1

Ên

1-é ÿðóñ

Ê11

Ê1n

Ên1

Ên

2-é ÿðóñ

3-é ÿðóñ

k-é ÿðóñ

Данная схема представляет собой множество точек (вершин), соединенных линиями (ребрами).

Каждая вершина представляет некоторое понятие (таксон, или таксономи- ческую единицу). Таксоны распределяются по ярусам. Ребра показывают, на какие подвиды классифицируются данные таксоны. Классификация является завершенной, когда конечные таксоны представляют единичные понятия.

Различают два вида классификаций — искусственные, т.е. распределение предметов на классы по несущественным признакам, и естественные (научные) — по существенным признакам.

П р и м е р. «Все организмы делятся первоначально на два множества (1-й ярус), так называемые царства (царство растений и царство животных). В свою очередь царства делятся на типы, типы на классы, классы на отряды, отряды на семейства, семейства на роды, роды на виды, виды на разновидности и т.д».

82	II. Понятие
6.7. Операции с множествами (классами)

В математике исследуются различные операции, выполняемые над числами: сложение, вычитание, умножение и т.д. Аналогично этому в логике исследуются различные операции над понятиями, высказываниями и теориями.

Операции над понятиями бывают двух видов: операции с объемами понятий и операции с их содержанием. На круговых схемах определяют отношения в основном по их фактическим объемам. Однако оперирование с понятиями предполагает также, во-первых, определенные навыки образования сложных понятий из простых, во-вторых, умение представлять объемы понятий со сложно заданным содержанием и, в-третьих, умение правильно определять отношения, существующие между такими понятиями по их логическим объемам. Выполнение этих условий предполагает умение находить и представлять объемы таких понятий. Для осуществления последнего необходимы знания основных операций с классами (объемами понятий).

Объем понятия представляет множество. Множество А есть совокупность объектов, мыслимая как единое целое по тем или иным основаниям. Если Р(х) — сокращенное обозначение предложения «элемент х обладает свойством Р», то

множество всех элементов, имеющих свойство Р, обозначается так: {х			Ð(õ)}.
Объект х является элементом множества А, если он входит в множество А.
Это записывается так: х А, в противном случае — х А или х			À.

Объект В является подмножеством множества А, если каждый элемент В принадлежит множеству А.

Это записывается так: В А или А В, где отношение — отношение включения множеств.

Множество, не содержащее ни одного элемента, является пустым и обознача- ется символом 0, а конечное множество (содержащее подмножества некоторого фиксированного множества) — универсальным множеством и обозначается символом U.

Из данных множеств А и В можно построить новые множества, применяя операции пересечения, объединения и вычитания1. Пусть даны два понятия хР1(õ) è õÐ2(х), имеющие один и тот же род. Тогда с объемами этих понятий (WхР1(õ) è WõÐ2(х)) можно осуществить следующие операции:

•пересечения ( );

•объединения ( );

•вычитания (– или \);

•дополнения к множеству ( ).

1 С помощью свойств операций над множествами можно преобразовывать выражения, содержащие множества, подобно тому, как с помощью свойств операций над числами преобразовывают выражения в обычной алгебре. Возникающая таким путем алгебра называется булевой алгеброй, по имени английского математика и логика Дж. Буля (1815—1864), который занимался ею в связи с проблемами математической логики.