122	III. Суждение

9.9.Выражение одних логических союзов через другие

Взаимозаменяемость логических союзов имеет как теоретическое, так и практи- ческое значение.

Взаимная замена логических союзов позволяет:

упрощать символические выражения при оперировании с ними; заменять предложения одной конструкции на предложения другой конструк-

ции, что дает возможность одну и ту же мысль выражать в предложениях, построенных посредством разных грамматических союзов.

1. Выражение союзов через конъюнкцию и отрицание можно представить следующими тождествами.

Дизъюнкция выражается через отрицание конъюнкции отрицаний:

p q ≡ ( p & q).

П р и м е р. Сегодня холодно или сыро означает Недостоверно, что сегодня не холодно и не сыро.

Импликация выражается через отрицание конъюнкции основания с отрицанием следствия:

p q ≡ ( p & q).

П р и м е р. Если наступит сезон дождей, то пройдут ливни означает Недостоверно, что наступил сезон дождей, а ливни не прошли.

Эквиваленция выражается через конъюнкцию двух формул: p ≡ q равнозначно ( p & q) & ( q & p).

П р и м е р. День начинается тогда и только тогда, когда наступит утро

означает Недостоверно, что день наступил, а утро не наступи-

ло и Недостоверно, что утро наступило, а день не наступил.

2. Выражение союзов через дизъюнкцию и отрицание можно представить следующими тождествами.

Конъюнкция выражается через отрицание дизъюнкции отрицаний:

p & q ≡ ( p q).

П р и м е р. Идет дождь и идет снег означает Недостоверно, что нет дождя

или нет снега.

Импликация выражается через дизъюнкцию отрицания основания и следствия:

p q ≡ p q.

П р и м е р. Если я сдам экзамен, то пойду в кино означает Или я не сдам

экзамен, или не пойду в кино.

Эквиваленция выражается через дизъюнкцию и отрицание:

p ≡ q равнозначно ( ( p q) ( q p).

9. Сложные суждения	123

9.10. Формы сложных суждений

Любую языковую конструкцию, состоящую из некоторого множества суждений, можно перевести на символический язык. Для этого нужно заменить суждения логическими переменными, а связь между ними — логическими союзами. От того, при помощи какого союза связываются переменные, зависит логическая особенность сложного суждения, его форма.

Сложное суждение, логическая форма которого принимает значение «истина» при всех наборах значений составляющих его переменных, называется логически необходимым. Другими словами, сложные суждения, которые во всех строках результирующего столбца таблиц истинности принимают значение «истина» являются логически необходимыми (логически истинными) суждениями. Логи- ческая форма логически необходимого суждения выражается тождественно-ис- тинной формулой, которая при любом истинностном значении переменных принимает значение «истина», т.е. ее результирующий столбец состоит только из «И». Тождественно-истинные формулы являются основой логически правильных высказываний. Каждая такая формула рассматривается как закон логики (логи-

ческая тавтология).

Сложное суждение, логическая форма которого принимает значение «ложь» при

всех наборах значений составляющих его переменных, называется логически невозможным. Другими словами, сложные суждения, которые во всех строках результирующего столбца таблицы истинности принимают значение «ложь» являются логически невозможными (логически ложными) суждениями. Логическая форма логически невозможного суждения выражается тождественно-ложной формулой, которая принимает значение «ложь» при любом истинностном значении переменных, т.е. ее результирующий столбец состоит только из «Л». Тождественно-лож- ные формулы называются противоречиями.

Сложное суждение, логическая форма которого в результирующем столбце таб-

лицы истинности принимает значения как «истина», так и «ложь», называется

логически случайным. Логическая форма логически случайного суждения выражается нейтральной (собственно выполнимой) формулой, результирующий столбец которой состоит как из «И», так и из «Л».

Особенность первых двух видов сложных суждений заключается в том, что их истинность и ложность не зависят от истинности и ложности простых суждений, которые их составляют. Логически случайные суждения иногда истинны, иногда ложны. И зависит это от того, какие простые суждения истинны, а какие ложны.

Формула называется выполнимой, если она тождественно-истинна или нейтральна (собственно-выполнима), и невыполнимой, если она является тождествен- но-ложной.

124	III. Суждение

9.11. Логическая вероятность сложных суждений

Суждение логически необходимо в том случае, когда оно достоверно в силу своей логической формы, являющейся тождественно-истинной формулой. Суждения такой формы имеют высшую вероятность, равную 1. При (Р(А) = 1) — формула тождественно-истинна, где Р — вероятность, А — суждение.

Суждение логически невозможно в том случае, когда его форма тождественноложна. Суждения такой формы имеют вероятность, равную 0. При (Р(А) = 0) — формула тождественно-ложна.

Суждение логически случайно, когда его форма в результирующем столбце истинностной таблицы принимает значения как «истина», так и «ложь». Степень вероятности логических форм логически случайных суждений выражается в числовых значениях в интервале между 0 и 1 (0 < Р(А) < 1).

Абсолютная логическая вероятность суждения определяется его истинностной таблицей, в которой выделяются все значения «И» результирующего столбца, и это число записывается в числитель дроби, а в знаменатель — число всех строк таблицы.

Относительная логическая вероятность одного высказывания (А) при условии истинности другого (В) определяется их истинностной таблицей, в которой выделяются все строки, где В истинно, и это число записывается в знаменатель дроби, а в числитель — число строк, в которых высказывания А и В вместе истинны. Обозначение — Р (А/В).

П р и м е р. Определить абсолютную логическую вероятность суждения: Если завтра будет хорошая погода (р), то мы пойдем на пляж (q) и не пойдем на лекцию по логике ( r).

p	q	r	p (p & r)
È	È	È	Ë	Ë
È	È	Ë	È	È
È	Ë	È	Ë	Ë
È	Ë	Ë	Ë	Ë
Ë	È	È	È	Ë
Ë	È	Ë	È	È
Ë	Ë	È	È	Ë
Ë	Ë	Ë	È	Ë

Результирующий столбец таблицы имеет пять значений «И», а в таблице всего восемь строк. Следовательно, абсолютная логическая вероятность равна

5/8 (Ð/À = 5/8).

П р и м е р. Определить относительную логическую вероятность первого высказывания при условии второго: Недостоверно, что если завтра будет хорошая

погода (р), то мы пойдем на пляж (q) и не пойдем на лекцию по логике ( r). Мы пойдем на пляж (q) или не пойдем на лекцию по логике ( r).

p	q	r		(p (q & r)			q r
È	È	È		È	Ë	Ë	È
È	È	Ë		Ë	È	È	È
È	Ë	È		È	Ë	Ë	Ë
È	Ë	Ë		È	Ë	Ë	È
Ë	È	È		Ë	È	Ë	È
Ë	È	Ë		Ë	È	È	È
Ë	Ë	È		Ë	È	Ë	Ë
Ë	Ë	Ë		Ë	È	Ë	È

Первое высказывание истинно в двух случаях, второе — в шести. Следовательно, Р/А = 2/6.