21. Гипотеза	249

Практикум

Силу уму придают упражнения, а не покой.

À. Ïîï

Для того, чтобы усовершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать. Мало иметь хороший ум, главное — хорошо его применять.

Р. Декарт

Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но ради Бога, размышляйте, и хотя криво, да сами.

Г. Лессинг

Мой мозг бунтует против безделья. Дайте мне дело! Дайте сложнейшую проблему, неразрешимую задачу, запутаннейший случай.

Ум мой требует напряженной деятельности (Шерлок Холмс).

À.Ê. Äîéë

... Дети любят решать задачи, которые им не по плечу. Для них это единственная возможность расти!

А больше всего на свете им хочется поскорее вырасти, тут не может быть двух мнений.

Дж. Родари

Решение внушает не меньшее беспокойство, чем сама загадка.

Л. Витгенштейн

250	Практикум

Раздел 1

Образцы решения типовых задач

Обращение к теоретическим вопросам логики не является самоцелью. Теория — лишь исходное условие и средство, помогающее приобрести навыки правильного рассуждения, применять на практике логические законы, приемы и операции.

Важную роль в формировании этих навыков играют систематические упражнения в решении логических задач.

Предлагаемые образцы решения задач ориентированы на использование лишь элементарных логических актов, а потому умение их выполнять может считаться базовым для оценки развитости правильного мышления.

Поскольку пособие предназначено для изучения курса логики в рамках подготовки специалистов различных областей, предлагаемые образцы решения задач могут служить основой для выполнения контрольных работ.

Образцы решения задач подобраны на основные темы практических занятий, предусмотренных программой курса. Приступать к анализу образцов решения задач и их записей следует лишь после того, как изучен в соответствии с методическими рекомендациями по темам курса теоретический материал, проанализированы таблицы и схемы по каждой из тем, представленных в учебнике в виде логических задач.

Раздел I. Пропедевтика: предмет логики. Основные понятия и структура логики

Глава 1. Предмет и основные понятия логики

1.1.Установите, какие из следующих выражений являются понятиями, суж-

дениями и умозаключениями:

а) самая удаленная точка Вселенной; б) великий русский писатель А.Н. Островский; в) вечный двигатель; г) государство;

д) планеты существуют; е) 10 больше 3; ж) на Марсе есть жизнь;

з) все ужи — пресмыкающиеся; и) все металлы электропроводны → ни один неэлектропроводник не являет-

ся металлом; к) некоторые музыканты скрипачи → все скрипачи являются музыкантами.

Р е ш е н и е. Первые четыре выражения — понятия, следующие четыре — суждения, последние два — умозаключения.

1.2.Установите, какие из следующих высказываний имеют одинаковую логиче- скую форму:

а) всякое дерево есть растение; б) все юристы есть адвокаты; в) не все жидкости прозрачны; г) некоторые лекции скучны.

Р е ш е н и е. Первые два высказывания имеют одинаковую логическую форму:

Âñå S åñòü Ð.

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	251

1.3.Определите, есть ли противоречие в следующих утверждениях или в них нарушен принцип тождества:

а) Я в Бога не верю, однако он есть.

Р е ш е н и е. В этом утверждении выражения «не верю» и «однако он есть» не противоречат друг другу, так как первое и второе выражения несут разную смысловую нагрузку. Поэтому нарушен здесь скорее принцип тождества.

б) Ноздрев был в некотором отношении исторический человек. Ни на одном собрании, где он был, не обходилось без истории (Н.В. Гоголь).

Р е ш е н и е. В этом выражении нарушен закон тождества, поскольку употребление омонимов ведет к двусмысленности.

в) Если трава зеленая, то она зеленая.

Р е ш е н и е. В этом утверждении совершенно ясно выражена формула закона тождества (А А, если А истинно, то оно истинно). Поэтому здесь закон тождества не нарушен.

1.4.Определите, нарушен ли принцип непротиворечивости мышления в следующих утверждениях:

а) Я знаю, что я ничего не знаю (Сократ).

Р е ш е н и е. В этом утверждении Сократ противоречит сам себе, если он знает, что он ничего не знает, то он и этого не знает. Поэтому данное утверждение скрывает в себе противоречие.

б) Все грибы являются растениями или животными (А), и, тем не менее, они не являются ни растениями, ни животными (В).

Р е ш е н и е. Если две части этого высказывания обозначить как А и В, тогда станет очевидно, что в этом высказывании заключено отношение противоположности, так как в первой части (А) делается утверждение относительно грибов,

àво второй части (В) — отрицание.

в) Недостоверно, что птицы летают и что они не летают.

Р е ш е н и е. В этом утверждении совершенно ясно выражена формула закона непротиворечия ( (А & А), неверно, что истинно А и не-А). Поэтому здесь закон непротиворечия не нарушен.

1.5. В каких из следующих высказываний нарушен принцип исключенного третьего:

а) Все грибы являются съедобными (А) или же ни один гриб не является съедобным (В).

Ðе ш е н и е. Если две части этого высказывания обозначить как А и В, тогда станет очевидно, что принцип исключенного третьего нарушен, поскольку согласно этому принципу одно из них (либо А, либо В) должно быть истинно.

Âданном высказывании две части не могут быть истинными, но могут быть обе ложными. Поэтому здесь действует лишь закон непротиворечия и не действует закон исключенного третьего.

б) Про данный гриб нельзя сказать, что он является съедобным (А), так же как и неверно было бы говорить, что он не является съедобным (В).

Ðе ш е н и е. В данном высказывании две части (А и В) не отрицают одна другую: то, что данный гриб несъедобен, является не отрицанием того, что он съедобен, а более сильным высказыванием, при этом может оказаться, что обе части ложны, т.е. данный гриб может быть определен как условно съедобный. Следовательно, в приведенном высказывании принцип исключенного третьего не нарушен.

252	Практикум

в) Аристотель умер в 322 году до н.э. или он не умер в этом году.

Р е ш е н и е. В этом высказывании совершенно ясно выражена формула закона исключенного третьего (А А, истинно либо А, либо не-А).

1.6. Является ли последующая мысль достаточным основанием для первой:

1)студент Петров вряд ли решит задачи по ЛОГИКЕ;

2)студент Петров не может решать задачи по логике;

3)студент Петров, как правило, не умеет решать задач по логике?

Р е ш е н и е. Третье высказывание является достаточным основанием для первого, в котором выражается сомнение по поводу способностей в решении задач по логике, но является достаточным основанием для второго, потому что неумение решать задачи в большинстве случаев оставляет возможность для исключения из этого правила, т.е. нет достаточных оснований считать, что студент Петров не решит какую-то конкретную задачу.

Глава 2. Логический анализ языка

2.1. Какие из следующих выражений являются знаками, а какие не являются:

а) Больше 3; б) NaOH + 3?

Р е ш е н и е. Первое выражение является знаком, поскольку оно выражает свойство числа; второе — нет, ибо оно не имеет смысла и значения. Однако при рассмотрении составляющих частей второго выражения каждая часть независимо друг от друга имеет и смысл, и значение.

2.2. Укажите предметное значение следующих выражений:

а) сумма 2 + 2; б) Севильский цирюльник; в) карась — рыба.

Р е ш е н и е. Значением первого выражения является число 4; значением второго – название оперы; значением третьего — истина.

2.3. Укажите смысл (собственный или приданный) следующих выражений:

а) планета; б) столица;

в) планета Солнечной системы; г) человек, живущий не по средствам; д) человек, живущий подаянием.

Р е ш е н и е. Первое и второе выражения не имеют собственного смысла; третье выражение имеет собственный смысл, четвертое и пятое — приданный смысл.

2.4. Укажите, какие высказывания истинны, а какие ложны, и почему:

а) Москва — столица России; б) Москва — имя того города, который можно обозначить также словосочета-

нием «столица России»; в) Москва — название города.

Р е ш е н и е. Третье утверждение является ложным, так как значением выражения слева от тире является «город», тогда как значением выражения справа от тире является «название города». Истинным будет выражение: «Москва есть имя, обозначающее город». Первое высказывание — истинно, так как Москва является столичным городом России. Второе высказывание также является истинным.

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	253

2.5. Определите дескриптивные и логические термины в высказывании:

Все грибы являются растениями или животными.

Р е ш е н и е. В данном высказывании дескриптивными терминами являются: «грибы», «растения», «животные», а логическими терминами — «все», «или».

2.6.Определите, к каким семантическим категориям относятся следующие выражения:

а) семена, упавшие на землю; б) семена упали на землю; в) когда будут собраны семена?; г) мать Александра.

Ð å ø å í è å.

а) семена, упавшие на землю, — дескриптивный термин, имя предмета; б) семена упали на землю — суждение, выраженное в форме повествователь-

ного предложения; в) когда будут собраны семена? — вопросительное предложение, не содержа-

щее суждения; г) мать Александра — дескриптивный термин, имя предмета.

2.7.Укажите, какие функции могут быть представлены термином «сестра» (общая форма записи, местность, вид функции, область определения (области возможных аргументов), значения).

Р е ш е н и е. Термином «сестра» могут быть представлены две функции:

а) сестра х — одноместная предметно-предметная функция, область определения которой — множество людей, а область значения – множество женщин;

б) х сестра у — двухместная предметно-пропозициональная функция, области возможных аргументов которой — множество женщин и множество людей, область определения — множество упорядоченных пар женщина, человек, а область значения — множество, состоящее из двух абстрактных объектов — истина, ложь.

2.8.Определите составляющие термины следующих выражений:

а) Число является простым тогда и только тогда, когда оно делится на себя, на единицу и не делится ни на какие другие числа.

Ðе ш е н и е. В данное выражение входят термины: «число» — общее имя, «является простым» — одноместный предикатор, «тогда и только тогда, когда» — логическая связка (эквиваленция), «оно (число)» — общее имя, «делится на» — двухместный предикатор, «себя (число)» — общее имя, «единица» — единичное имя, «и» — логическая связка (конъюнкция), «не» — логическая связка (отрицание), «делится на» двухместный предикатор, «никакие» — квантор общности, «другие (отличные от)» – двухместный предикатор, «числа» — общее имя.

б) Если ни один член преступного коллектива не является честным человеком

èСидоров — член преступного коллектива, то Сидоров не является честным человеком.

Ðе ш е н и е. В данное выражение входят термины: «если, то ...» — логи- ческая связка (импликация), «ни один» («все») — квантор общности, «член преступного коллектива» — предикатор (общее имя), «не» — логическая связка (отрицание), «является» («есть») — логический термин, «честный человек» — предикатор (общее имя), «и» — логическая связка (конъюнкция), «Сидоров» — единичное имя.

254	Практикум

Глава 3. Основные направления и понятия символической (математической) логики

3.1. Запишите на языке логики высказывания следующие выражения: а) Если хлынет ливень или выпадет снег, то я пойду в кино.

Ðе ш е н и е. В этом сложном высказывании следует определить простые высказывания и обозначить их определенными символами:

р — простое высказывание «Хлынет ливень»; q — простое высказывание «Выпадет снег»; r — простое высказывание «Я пойду в кино»;

v — дизъюнкция соответствует союзу «или»;

— импликация соответствует союзу «если..., то».

Тогда логическая форма данного сложного высказывания может быть записана в виде формулы: (р q) r.

б) Если у меня будет свободное время, то я позвоню другу или почитаю книгу.

Ðе ш е н и е. Обозначим простые высказывания символами:

p — простое высказывание «У меня будет свободное время»; q — простое высказывание «Я позвоню другу»;

r — простое высказывание «Я почитают книгу»;— дизъюнкция;— импликация.

Записываем формулу: p (q r).

в) Если у меня будет свободное время, то я не буду звонить звонить другу

èне буду читать книгу.

Ðе ш е н и е. Обозначим простые высказывания символами: p — простое высказывание «У меня будет свободное время»; q — простое высказывание «Я не буду звонить другу»;

r — простое высказывание «Я не буду читать книгу»;

& — конъюнкция;— знак отрицания.

Записываем формулу: p & ( q & r).

г) Если вечером я буду готовиться к экзамену (p), то лягу поздно спать (q). Если завтра я пойду на консультацию (r), то должен буду встать рано (s). Если я лягу поздно (q), а встану рано (s), то я вынужден буду ограничиться тремя часами сна (t). Но я не могу ограничиться тремя часами сна (t). Значит, или вечером я не должен готовиться к экзамену (p), или не пойду завтра на консультацию (r).

Формула данного высказывания:

((p q) & (r s) & ((q & s) t) & t) ( p r).

д) Треугольник не является прямоугольным, если и только если достоверно, одно из двух: он либо остроугольный, либо тупоугольный.

Р е ш е н и е. Треугольник — прямоугольный (p). Треугольник не прямоугольный ( p). Треугольник — остроугольный (q), а тупоугольный — (r). Связка «если и только если ...» (≡), «либо ..., либо» ( ). Формула: p ≡ (q r).

3.2. Переведите следующие высказывания естественного языка на язык логики

предикатов:

а) Ольга — девушка.

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	255

Ðе ш е н и е. Формула Р (а), где предметная константа а соответствует имени «Ольга», а одноместная предикаторная константа Р — знаку свойства — «девушка».

б) Ольга любит Степана.

Ðе ш е н и е. Формула R (a, b), где R соответствует двухместному предиктору любит, а а и b — именам Ольга, Степан.

в) Все являются людьми.

Р е ш е н и е. Формула A аА(а). г) Всякий любит Анжелику.

Р е ш е н и е. Формула AхR (х, b), где R соответствует двухместному предиктору любит, а b — имени Анжелика.

д) Никто не любит мать Анжелики.

Р е ш е н и е. Формула Aх R (x, f (a)). е) Мать Анжелики не любит никого

Р е ш е н и е. Формула Aх R (f (a), x). ж) Некоторая роза красива.

Ðе ш е н и е. Формула х (Р (х) & Q (х)), где константы Р и Q соответствуют предикторам «роза» и «красива». Буквальный смысл этой записи: Существует объект (цветок), который является розой и является красивой.

з) Всякая роза красива.

Ðе ш е н и е. Формула Aх (Р (х) Q (х)). Буквальный смысл этой записи: Для всякого объекта (цветка) достоверно, что если она роза, то она красива.

и) Некоторая роза не красива.

Ðе ш е н и е. Формула х (Р (х) & Q (х)).

к) Ни одна роза не красива.

Р е ш е н и е. Формула Aх (Р (х) Q (х)). л) Некоторый юноша любит Анжелику.

Р е ш е н и е. Формула х (Р (х) & R (x, b)). Буквальный смысл этой записи: Существует человек, такой, что он является юношей и любит Анжелику.

м) Анжелика любит какого-то юношу.

Р е ш е н и е. Формула х(Р(х) & R(b, x)). Буквальный смысл этой записи: Существует человек, такой, что он является юношей, и Анжелика любит его.

н) Каждый юноша любит Анжелику.

Р е ш е н и е. Формула	A	x(Р(х) R(x, b)). Буквальный смысл этой записи:

Для всякого человека достоверно, такой, что если он юноша, то он любит Анжелику.

о) Всякий ученик любит какую-нибудь одноклассницу.

Р е ш е н и е. Формула	A	х(Р(х) y(S(y) & R(x, y))). Буквальный смысл этой

записи: Для всякого человека х достоверно, что если он ученик, то существует человек у, такой, что он одноклассница и х любит у.

п) Некоторые ученики любят всякую одноклассницу.

Р е ш е н и е. Формула х(Р(х) &A у(S(у) R(x, y))). Буквальный смысл этой записи: Существует человек х, такой, что он ученик, и для всякого человека у достоверно, что если у — одноклассница, то х любит у.

р) Некоторые ученики не любят ни одной одноклассницы. Р е ш е н и е. Формула x(P(x) & A y(S(y) R(x, y))).

256	Практикум

Раздел II. Понятие

Глава 4. Общая характеристика понятия

4.1. Раскройте содержание понятия «коллега» и запишите его логическую форму на языке логики предикатов.

Р е ш е н и е. Содержание: человек (родовой признак), который служит или работает вместе с кем-нибудь (видовое отличие). Логическая формула понятия:

õ ( óÐ(õ, ó) Q (õ, ó)).

4.2. Сравните содержание и объем понятия «наказание» и «ограничение свободы».

Р е ш е н и е. Понятие «ограничение свободы» (В)
видовое по отношению к родовому понятию «наказание»	À
(А), поэтому объем понятия «наказание» больше понятия
«ограничение свободы», следовательно, исходя из закона
обратного отношения объема и содержания понятия, со-	Â
держание понятия «наказание» (А) меньше содержания по-
нятия «ограничение свободы» (В).

4.3. Дайте полную логическую характеристику понятия «юрист».

Р е ш е н и е. «Юрист» — понятие общее, нерегистрирующее, конкретное, положительное, безотносительное.

Глава 5. Отношения между понятиями

5.1. Подберите понятия, находящиеся в отношении соподчинения к понятию «религия».

À

1234567890 234567890

1234567890 1234567890

1234567890 1234567890

1234567890 1234567890

1234567890Â 12345678901234567890Ñ

1234567890

1234567890 1234567890

1234567890 1234567890

1234567890 1234567890

Р е ш е н и е. Соподчиненными понятию «религия» (А) являются понятия «христианство» (В) и «ислам» (С).

5.2. Определите вид отношения между понятиями «каменный дом», «недостроенный дом», «дом», «строение», «гараж».

Р е ш е н и е. Понятие «каменный дом» (А) и понятие «недостроенный дом» (В) находятся в отношении пересечения. Понятия (А) и (В) находятся в подчи- нении понятию «дом» (С). Понятие «дом» (С) и понятие «гараж» (D) являются несовместимыми понятиями, находящимися в соподчинении понятию «строение» (Е).

Å		Ñ
	À Â	D

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	257

Глава 6. Логические операции с понятиями

6.1.Проверьте правильность обобщения: «равносторонний треугольник —

равноугольный треугольник — треугольник».

Р е ш е н и е. Обобщение неправильное, так как первое понятие не является видовым по отношению ко второму, а равнозначно с ним. Нарушено требование

êобобщению.

6.2.Ограничьте понятие «периодическое издание».

Р е ш е н и е. Ограничением понятия «периодическое издание» является понятие «газета».

Глава 7. Определение

7.1. Определите, в каком примере произведено таксономическое деление понятия (отношение «род — вид»), а в каком — мереологическое деление (отношение

«часть — целое»); в каком примере высказывание является операцией определения

понятия. Сделайте полный разбор определения или деления. В примере деления

установите: вид деления, делимое понятие, члены деления, основание деления. В примере определения укажите вид определения, произведите анализ определения

через род и видовое отличие. Определите, является ли операция (определения или деления) правильной, если нет, то укажите, какие правила нарушены.

а) Приговоры бывают обвинительными, оправдательными и справедливыми.

Ðе ш е н и е. В данном высказывании заключено таксономическое деление понятия, так как раскрывается объем понятия «приговоры». Вид деления: по видоизменению признака; делимое понятие – «приговоры», члены деления: «обвинительные, оправдательные, справедливые». Деление неправильное, так как нарушены правила деления. Деление понятия «приговоры» произведено не по одному основанию;

б) По устройству часы делятся на механизм, циферблат, корпус, стекло, заднюю крышку, браслет, замок на браслете.

Ðе ш е н и е. В данном высказывании заключено мереологическое деление понятия «часы». Деление является неправильным. Здесь часть членов деления («механизм», «циферблат», «корпус», «стекло», «задняя крышка») выделены по одному основанию (устройства часов), а часть («браслет», «замок на браслете») – по другому основанию (аксессуары часов);

в) Понятие — это форма мышления, отражающая предметы в их существенных признаках.

Ðе ш е н и е. Это высказывание является определением, так как в нем раскрывается содержание понятия.

Определение явное, реальное через род и видовое отличие. Определяемое понятие (А) — «понятие», определяющее понятие (В) — «форма мышления, отражающая предметы в их существенных признаках», где «форма мышления» — род, «отражающая предметы в их существенных признаках» — видовое отличие.

Определение является правильным, так как в нем не нарушены правила определения.

258	Практикум

Раздел III. Суждение

Глава 8. Простые суждения

8.1.Укажите субъект и предикат в следующих суждениях и определите, явля-

ются они атрибутивными или с отношениями.

а) Терьер — собака.

Р е ш е н и е. «Терьер» — субъект, «собака» — предикат — (признак-свой- ство), атрибутивное суждение.

б) Роза имеет приятный запах.

Р е ш е н и е. «Роза» — субъект, «приятный запах» — предикат — (признаксвойство), атрибутивное суждение.

в) Растения при фотосинтезе выделяют кислород.

Р е ш е н и е. «Растение» — субъект, «выделяют при фотосинтезе кислород» — предикат — (признак-свойство), атрибутивное суждение.

г) Некоторые люди не знают ни одного закона физики.

Р е ш е н и е. Субъект этого суждения — пара понятий («люди», «законы физики»), предикат — двухместное отношение «знают» и перед ним — отрицание, суждение с отношениями.

д) Роман дарит Ольге цветы.

Р е ш е н и е. Субъект этого суждения – тройка понятий («Роман», «Ольга», «цветы»), предикат — трехместное отношение «дарит», суждение с отношениями.

е) Осенние яблоки были не хуже летних.

Р е ш е н и е. «Осенние яблоки» — субъект, «были не хуже летних» — предикат — (признак-свойство), атрибутивное суждение.

ж) Осенние яблоки были не хуже, чем летние.

Р е ш е н и е. Субъект этого суждения – пара понятий («осенние яблоки», «летние яблоки»), предикат – двухместное отношение «были не хуже, чем», суждение с отношениями.

з) Права авторов (S1), рационализаторов (S2) и изобретателей (S3) охраняются государством (Р).

Р е ш е н и е. Данное суждение можно рассматривать как сложное, состоящее из

трех простых или как простое со сложным субъектом. Логическая форма: «S (S1, S2, S3) åñòü л.

и) Никто (S) не может быть подвергнут произвольному аресту (Р1), задержанию (Р2) или изгнанию (Р3).

Р е ш е н и е. Данное суждение можно рассматривать как сложное, состоящее из трех простых, или как простое со сложным предикатом. Логическая форма: «S есть

Ð(Ð1, Ð2, Ð3)».

8.2.Определите количество и качество следующих суждений с отношениями:

а) Иван сильнее Петра.

Р е ш е н и е. Суждение утвердительное, единично-единичное.

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	259

б) Каждый студент 101-й группы знает каждого преподавателя кафедры логики. Р е ш е н и е. Суждение утвердительное, обще-общее.

в) Некоторые студенты 101-й группы знают некоторых преподавателей кафедры логики.

Ðе ш е н и е. Суждение утвердительное, частно-частное. г) Все студенты 101-й группы изучают логику.

Ðе ш е н и е. Суждение утвердительное, обще-единичное. д) Некоторые студенты 101-й группы изучают логику.

Ðе ш е н и е. Суждение утвердительное, частно-единичное.

8.3. Определите вид суждений и укажите распределенность терминов в них: а) Некоторые студенты — спортсмены.

Ðе ш е н и е. Субъект — «студенты», предикат — «спортсмены», квантор существования – «некоторые». Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть студентов, т.е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат тоже не распределен, так как он также лишь частично вклю- чен в объем субъекта. Суждение частноутвердительное.

б) Ни один тигр не есть травоядное животное.

Ðе ш е н и е. Субъект — «тигр», предикат — «травоядное животное», квантор общности — «ни один». Объем субъекта полностью исключается из объема предиката, и наоборот. Поэтому и субъект, и предикат распределены. Суждение общеотрицательное.

8.4. Определите вид суждения. Найдите квантор, субъект, предикат, определите количество и качество суждения. Запишите суждение в виде логической формулы, дайте объединенную классификацию суждения. Изобразите отношения между терминами суждения с помощью кругов Эйлера, установите распределенность субъекта и предиката.

а) Все квадраты — равносторонние прямоугольники.

Р е ш е н и е. Данное предложение является простым атрибутивным выделяющим суждением.

	Квантор общности — «все».
	Субъект суждения — «квадрат» (S).
	Предикат суждения — «равносторонние прямоугольники» (Р).
	По количеству данное суждение — общее.
	По качеству — утвердительное.
	Схема суждения: «Все S есть Р».	S +, P +
	Данное суждение — общеутвердительное (А).
	Схема отношения между терминами:
	S — распределен,
	Р — распределен.

б) Некоторые виды уголовного наказания предусматривают лишение свободы. Р е ш е н и е. Данное предложение является простым атрибутивным суждением.

Квантор существования — «некоторые».
Субъект суждения — «виды уголовного наказания» (S).
Предикат суждения — «предусматривают лишение свободы» (Р).
По количеству данное суждение — частное.
По качеству — утвердительное.		S –	P
Схема суждения: «Некоторые S есть	л.

–

Данное суждение — частноутвердительное (I). Схема отношения между терминами:

S — не распределен, Р — не распределен.

260	Практикум

8.5. Выявите суждения (укажите субъект и предикат) в следующих предложениях:

а) Не все планеты имеют атмосферу.

Ðе ш е н и е. Приводим данное суждение к явной логической форме: «Не достоверно, что все планеты имеют атмосферу».

Его логическая формула: «Недостоверно, что все S есть Р».

Отрицанием суждения вида «Все S есть Р» является (по логическому квадрату) суждение вида «Некоторые S не есть Р» или ( А ≡ О).

Итак, получаем частноотрицательное суждение: «Некоторые (кванторное слово) планеты (S) не имеют атмосферы (Р)».

б) Не все то золото, что блестит.

Ðе ш е н и е. Предмет мысли, выраженный в этом предложении, — «то, что блестит» (S). Предикат — «золото» (Р).

Приводим данное суждение к явной логической форме: «Недостоверно, что все то, что блестит, является золотом».

Связка здесь утвердительная, квантор выражен словом «все». Значит, отрица-

нию подвергнуто общеутвердительное высказывание. По логическому квадрату: ( А ≡ О). Следовательно, логическая форма данного высказывания: «Некоторые S не есть Р» или «Некоторые (кванторное слово) блестящие предметы (S) не являются (связка) золотом (Р)».

Глава 9. Сложные суждения

9.1.Составьте символическую запись следующего сложного суждения на языке логики высказываний: «При нарушении служащим дисциплины администрация предприятия обязана взять у него устные или письменные объяснения».

Р е ш е н и е. Приводим данное сложное суждение в явную логическую форму: «Если служащий нарушил дисциплину, то администрация предприятия обязана взять у него устные или письменные объяснения», где р — «служащий нарушил дисциплину»;

q — «администрация предприятия обязана взять у него устные объяснения»; r — «администрация предприятия обязана взять письменные объяснения»;

р, q, r — простые суждения, соединенные между собой логическими союзами. В символической записи: p (q r).

9.2.Запишите логическую форму следующего сложного суждения на языке логи-

ки высказываний и постройте для него истинностную таблицу: «Если человек читал книгу, то он знает ее содержание или основную идею».

Р е ш е н и е. Данное суждение состоит их трех простых: «человек читал

книгу» (р), «человек знает ее содержание» (q), «человек знает ее идею» (r). Логи- ческая форма: (р (q r)). Истинностная таблица имеет следующий вид:

p	q	r	(p (q r))
È	È	È	È	È
È	È	Ë	È	È
È	Ë	È	È	È
È	Ë	Ë	Ë	Ë
Ë	È	È	È	È
Ë	È	Ë	È	È
Ë	Ë	È	È	È
Ë	Ë	Ë	È	Ë

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	261

9.3. Определите, какие из следующих формул являются тождественно-истин- ными, какие тождественно-ложными и какие собственно выполнимыми:

à) (ð q) (q p).

Р е ш е н и е. Истинностная таблица имеет вид:

p

q

(p q) (q r))

È

È

È

È

È

È

Ë

Ë

È

È

Ë

È

È

È

Ë

Ë

Ë

È

È

È

Формула является тождественно-истинной.

á) (ð & q) ≡ ( p q).

Р е ш е н и е. Истинностная таблица имеет вид:

p

q

(ð & q) ≡ ( p q)

È

È

È

Ë

Ë

È

Ë

Ë

Ë

È

Ë

È

Ë

Ë

È

Ë

Ë

Ë

Ë

È

Формула является тождественно-ложной.

â) ( p q) ≡ ( q (p & r)).

Р е ш е н и е. Истинностная таблица имеет вид:

p

q

r

( p q) ≡ ( q (p & r))

È

È

È

È

È

È

È

È

È

Ë

È

È

È

Ë

È

Ë

È

È

È

È

È

È

Ë

Ë

È

Ë

Ë

Ë

Ë

È

È

È

È

È

Ë

Ë

È

Ë

È

È

È

Ë

Ë

Ë

È

Ë

È

Ë

Ë

Ë

Ë

Ë

Ë

È

Ë

Ë

Формула является собственно выполнимой.

9.4.* Приведите к конъюнктивной нормальной форме следующую формулу:

((p q) ≡ ( q p)).

Ðå ø å í è å.

1.Удаляем эквиваленцию. Согласно правилу ((A ≡ B) = (( A В) & (A В)) имеем:

(( (p q) ( q p)) & ((p q) ( q p))).

2. Удаляем импликацию. Согласно правилу (А В) ≡ ( A В) имеем:

(( ( p q) ( q p)) & (( p q) ( q p))).

3. Ограничиваем область действия знака отрицания.

Согласно правилу (A В) ≡ ( А & В) (закон де Моргана) имеем:

((( p & q) ( q p)) & (( p q) ( q & p))).

* При решении этой задачи см. п. 3.8, 3.9, 3.10 данного учебника.

262	Практикум

4.Согласно правилу (A (В & С) ≡ ((A В) & (A С) представляем формулу

âвиде конъюнкции элементарных дизъюнкций:

(( p q ð) & ( q q p) & ( p q q) & ( p q p).

5. Удаляем двойное отрицание. Согласно правилу А ≡ А имеем:

((p q p) & ( q q p) & ( p q q) & ( p q p).

Данная формула представляет КНФ, поскольку каждый конъюнкт КНФ содержит пропозициональную переменную и ее отрицание. Значит, данная формула тождественно-истинна. Полученная формула эквивалентна исходной формуле ((р q) ≡ ( q р)). Следовательно, и исходная формула является тождествен- но-истинной.

9.5. Определите абсолютную логическую вероятность высказывания, имеющего следующую логическую форму: (p q) & (q r).

Р е ш е н и е. Для определения абсолютной логической вероятности необходимо построить истинностную таблицу для данной формулы и посчитать отношение числа истин в результирующем столбце к числу всех строк.

Абсолютная логическая вероятность суждения равна дроби, в числителе которой — число «И» результирующего столбца таблицы, а в знаменателе — число всех строк таблицы. Обозначение — Р (А), где Р — вероятность, А — суждение.

p	q	r	(p q) & (q r)
È	È	È	È	È	È
È	È	Ë	È	Ë	Ë
È	Ë	È	È	È	È
È	Ë	Ë	È	È	È
Ë	È	È	È	È	È
Ë	È	Ë	È	Ë	Ë
Ë	Ë	È	Ë	Ë	È
Ë	Ë	Ë	Ë	Ë	È

Абсолютная вероятность суждения данной формы равна 1/2.

9.6. Определите относительную вероятность первого высказывания (А) при наличии второго (В), а также подтверждаемость первого высказывания (А) вторым (В): «Недостоверно, что если погода хорошая, то сегодня потеплеет и похолодает (А). — «Сегодня потеплеет или похолодает (В)».

Р е ш е н и е. Логическая форма: А – (р (q & r)),

– (q r).

1.Для определения относительной логической вероятности (определения вероятности суждения А или В) необходимо построить истинностную таблицу для данных формул и посчитать, в скольких строках истинно высказывание В (полу- ченное число подставляется в знаменатель дроби) и в скольких строках истинно высказывание А (полученное число подставляется в числитель дроби).

p	q	r	(p (q & r))			(q r)
È	È	È	Ë	È	È	È*
È	È	Ë	È*	Ë	Ë	È*
È	Ë	È	È*	Ë	Ë	È*
È	Ë	Ë	È	Ë	Ë	Ë
Ë	È	È	Ë	È	È	È*
Ë	È	Ë	Ë	È	Ë	È*
Ë	Ë	È	Ë	È	Ë	È*
Ë	Ë	Ë	Ë	È	Ë	Ë

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	263

Истинность высказываний А и В в таблице отмечена звездочкой. Из таблицы видно, что в шести случаях истинно второе высказывание (В); первое высказывание (А) истинно в двух случаях. Следовательно, относительная логическая вероятность Р (А/В) = 2/6.

2. Для установления подтверждения первого высказывания (А) вторым высказыванием (В) необходимо определить абсолютную логическую вероятность первого высказывания. Далее определяется относительная вероятность первого высказывания при истинности второго высказывания. Относительная логическая вероятность равна дроби, в числителе которой — число И, устанавливающее истинность первого высказывания (А), а в знаменателе — число И, устанавливающее истинность второго высказывания (В). Обозначение: Р (А/В). Затем сравниваются полученные дроби.

В данном примере абсолютная логическая вероятность Р (А) = 3/8, а относительная логическая вероятность Р (А/В) = 2/6.

Следовательно, первое высказывание (А) не подтверждается вторым (В), так как 2/6 меньше 3/8.

Глава 10. Отрицание cуждений

10.1. Произведите отрицания следующих суждений:

а) Существуют жильцы, которые не знают своих соседей.

Ðе ш е н и е. Это высказывание является простым суждением. При отрицании частно-частноотрицательного суждения получается общеутвердительное суждение (« (Некоторые S не есть Р)» → «Все S есть Р»). В качестве результата получается суждение: «Каждый жилец знает всех своих соседей».

б) Если у меня будет свободное время (р), то я пойду в кино (q) или посмотрю телевизор (r).

Ðе ш е н и е. Это высказывание является сложным суждением, его логическая форма: p (q r).

Противоречащее суждение будет иметь следующую логическую форму:

(p (q r)) ≡ ( p (q r) ≡ p & ( q & r),

а читаться оно будет так: «У меня будет свободное время, но я не пойду в кино и не буду смотреть телевизор».

Глава 11. Отношения между суждениями

11.1. Постройте логический квадрат. Опираясь на него, выведите суждения,

вступающие в логические отношения с данным суждением. Установите их истин-

ность или ложность исходя из условия, что исходное суждение является истинным. а) Всякая наука имеет свой предмет исследования.

Р е ш е н и е. Записываем логическую формулу суждения: «Все S есть Р», где S — «наука», Р — «имеет свой предмет исследования». Данное суждение общеутвердительное (А).

À		Å	1. Отношение противоположности
			По логическому квадрату в отношении противопо-
			ложности находятся суждения вида А и Е. А и Е не
			могут быть оба истинными. Если одно из противо-
			положных суждений истинно, то другое будет лож-
			ным, но ложность одного из них оставляет другое
I		Î	суждение неопределенным.

264	Практикум

Следовательно, противоположным по отношению к исходному суждению будет суждение: «Ни одна наука не имеет своего предмета исследования». Логи- ческая форма: «Ни одно S не есть Р» (Е). Исходя из отношений по логическому квадрату данное суждение необходимо ложно.

2. Отношение подчинения

Âотношении логического подчинения находятся суждения вида А и I, а также

Åи О. Истинность общего суждения определяет истинность частного, подчиненного суждения. Ложность общего суждения оставляет частное суждение неопределенным. Истинность частного суждения оставляет общее суждение неопределенным. Ложность частного суждения обусловливает ложность общего суждения.

Следовательно, в отношении логического подчинения к исходному суждению находится суждение: «Некоторые науки имеют свой предмет исследования». Логическая форма: «Некоторые S есть Р» (I). Исходя из отношений суждений по логическому квадрату данное суждение необходимо истинно.

3. Отношения противоречия

Âотношении противоречия находятся суждения вида А и О, а также Е и I. Два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными.

Следовательно, в отношении противоречия к исходному суждению находится суждение: «Некоторые науки не имеют своего предмета исследования». Логи- ческая форма: «Некоторые S не есть Р» (О).

Исходя из отношений суждений по логическому квадрату данное суждение необходимо ложно.

11.2. Определите по логическому квадрату отношения между суждениями

и установите отношение их истинностных значений:

«Некоторые открытия ведут к новым проблемам». — «Некоторые открытия не ведут к новым проблемам».

Р е ш е н и е. Определим типы суждений: первое суждение — I, второе — О. Отношение между ними — субконтрарность (частичная совместимость). В этом отношении суждения вида I и О имеют одинаковые субъекты и одинаковые предикаты, но различаются по качеству. Оба они одновременно могут быть истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое необходимо истинно. Однако, если одно из них истинно, то другое неопределенно, т.е. оно может быть как истинным, так и ложным.

11.3. Определите с помощью логического квадрата отношения между следую-

щими простыми суждениями:

«Некоторые планеты не имеют атмосферы» и «Не все планеты имеют атмосферу». Р е ш е н и е. Суждение «Некоторые планеты не имеют атмосферы» представлено в явной логической форме. Его логическая формула: Некоторые S не есть Р». Это частноотрицательное суждение (О), где «планеты» — S, «имеют атмосферу» — Р. Суждение «Не все планеты имеют атмосферу» нужно привести к явной логической форме: «Недостоверно, что все планеты имеют

атмосферу». Его логическая формула: «Недостоверно, что Все S есть Р» = = (Все S есть Р)». Отрицанием суждения «Все S есть Р» является (по логи- ческому квадрату) суждение «Некоторые S не есть Р» — это частноотрицательное суждение (О), где «планеты» — S, «имеют атмосферу» — Р.

На основании сравнения логических формул двух суждений делаем вывод о том, что данные суждения эквивалентны.

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	265

11.4.* Установите отношения между категорическими суждениями на модельных

схемах: «Некоторые горючие вещества не являются твердыми веществами». — «Некоторые твердые вещества не являются горючими веществами».

Р е ш е н и е. Первое высказывание истинно на модельных схемах 3—7, ложно — на схемах 1, 2. Второе высказывание истинно на схемах 2, 4—7, ложно — на схемах 1, 3. Эти высказывания могут быть одновременно истинными на схемах 4, 5, одновременно ложными — на схеме 1.

Первое высказывание может быть истинно, а второе ложно — на схеме 3. Второе высказывание может быть истинно, а первое ложно — на схеме 2. Следовательно, эти два высказывания независимы.

Глава 12. Модальность суждений

12.1. Какие модальные операторы можно приписать следующим суждениям: а) Медь — металл.

Ðе ш е н и е. Из немодального высказывания «Медь – металл» образуем модальное высказывание: «Возможно, что медь – металл», «Хорошо, что медь – металл», «Немыслимо, чтобы медь была металлом», «Доказано, что медь – металл» и т.д.;

б) Если металлический стержень нагреть, то он изменит свои размеры.

Ðе ш е н и е. Из данного сложного высказывания образуем модальные высказывания: «Необходимо, если металлический стержень нагреть, то он изменит свои размеры», «Доказано, что металлический стержень изменит свои размеры, если его нагреть» и т.д.

12.2. Определите модальность высказывания и составьте символическую запись:

«Если мы сегодня пойдем на прогулку, то завтра непременно окажемся неподготовленными к семинарскому занятию по логике».

Р е ш е н и е. Мысль выражена в алетической модальности. Высказывание является сложным, условным. Антецедент высказывания — суждение «Мы сегодня пойдем на прогулку» (обозначим его р) — является суждением возможности, консеквент высказывания — суждение «Завтра мы непременно окажемся неподготовленными к семинарскому занятию по логике» (обозначим его q) является суждением необходимости. Символически это можно записать так: Мð Nq.

Раздел IV. Умозаключение

Глава 15. Демонстративные (необходимые) умозаключения

15.1. Определите вид умозаключения, сделайте заключение. Напишите схему, фор-

мулу данного умозаключения, проверьте правильность умозаключения: «Правонарушения делятся на преступления или проступки. Данное правонарушение — проступок».

Р е ш е н и е. «Правонарушения делятся на преступления (р) или проступки (q). Данное правонарушение — проступок (q)». Записываем схему посылок.

Первая посылка: р или q — разделительное суждение (строгая дизъюнкция). Вторая посылка: q – категорическое суждение. Даны посылки разделительнокатегорического умозаключения. Построим умозаключение по утверждающе-от-

рицающему модусу. Следовательно, строим схему данного умозаключения:

p q
q	.
p

* При решении данной задачи см. п. 11.3, 15.18, 15.9.

266 Практикум

Заключение из данных посылок: «Данное правонарушение не является преступлением».

Данная схема является правильным утверждающе-отрицающим модусом разделительно-категорического умозаключения. Следовательно, умозаключение является правильным, а заключение следует с необходимостью, т.е. является истинным. Записываем формулу данного умозаключения: ((p q) & q) p.

Данная формула является законом логики, что можно доказать табличным способом. Следовательно, данное умозаключение является правильным.

15.2. Проверьте с помощью табличного метода правильность умозаключения:

(p q) r.
q & r	.
p (q & r)

Р е ш е н и е. Записываем формулу данного умозаключения:

((p q) r) & (q & r)) (p (q r)).

Построим таблицу истинности для этой формулы. Число строк таблицы истинности в общем случае определяется по следующей формуле: х = 2ï, где п — число различных переменных, входящих в формулу, а число 2 показывает число истинностных значений (И, Л).

Анализируемая формула содержит в себе три различные переменные. Следовательно, число строк в таблице равно восьми.

Для построения таблицы истинности разделим число строк пополам и напишем под первой переменной (первой слева) в столбик четыре раза И и четыре раза Л. Затем каждую половину всех строк, т.е. в данном случае каждые четыре строч- ки, в свою очередь разделим пополам и напишем под второй переменной, отлич- ной от первой, в обеих половинах строк два раза И и два раза Л. Далее, разделим половину каждой половины пополам и под третьей переменной, отличной от первых двух, напишем И, если эта строка нечетная при пересчете сверху вниз, или Л, если строка четная. Деление производится до тех пор, пока полученная в результате деления часть не будет состоять из одной строки.

В правой части таблицы записываем данную формулу высказывания и под переменными записываем значение каждой из них из левой части таблицы.

Затем производим логические действия между суждениями в порядке, указанном цифрами под таблицей.

p	q r	((p q) r)		& (q	&	r)) (p (q		r))
È	È È	È È È È È È È È È È È È È È È
È	È Ë	È È È Ë Ë Ë È Ë Ë È È È È È Ë
È	Ë È	È È Ë È È Ë Ë Ë È È È È Ë È È
È	Ë Ë	È È Ë Ë Ë Ë Ë Ë Ë È È Ë Ë Ë Ë
Ë	È È	Ë È È È È È È È È È Ë È È È È
Ë	È Ë	Ë È È Ë Ë Ë È Ë Ë È Ë È È È Ë
Ë	Ë È	Ë Ë Ë È È Ë Ë Ë È È Ë È Ë È È
Ë	Ë Ë	Ë Ë Ë È Ë Ë Ë Ë Ë È Ë È Ë Ë Ë
Порядок
		1	2	4	3	7	6	5

решения

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	267

В ы в о д. Эта формула принимает значение «истина» при каждом наборе значений входящих в нее переменных. Следовательно, эта формула является тож- дественно-истинной (закон логики), а умозаключение — правильным.

15.3. Определите методом аналитических таблиц, является ли следующая формула тождественно-истинной:

((p (q & r)) ((p r) q)).

Ð å ø å í è å.

1. ((p (q & r)) ((p r) q))

2.

(p (q & r)),

((p r) q)

/ /

3.

(p (q & r)),

(p r),

q

/ /

4. p, (p r), q

(q & r), (p r), q

/ /

5. p, (p r), q

q, r, (p r), q

/ & /

6. p, p, q

p, r, q

/ /

Формула является тождественно-истинной, если аналитическая таблица, на- чинающаяся с допущения отрицания этой формулы, окажется замкнутой. В данном случае один из столбцов таблицы не замкнулся, таблица не замкнута. Значит, формула не является тождественно-истинной.

15.4. Проверьте методом аналитических таблиц следующее умозаключение:

«Чтобы быть допущенным к экзамену по логике, следует получить зачет по контрольной работе. Он получит этот зачет только при условии, если решит все задачи. Он не сможет решить все задачи. Следовательно, он не будет допущен к экзамену по логике».

Р е ш е н и е. Приводим высказывания, входящие в состав умозаключения, к правильной логической форме: «Если он не получит зачет по контрольной работе ( р), то он не будет допущен к экзамену ( q). Если он решит все задачи (r), тогда и только тогда он получит этот зачет (р). Он не сможет решить все задачи ( r). Значит, он не будет допущен к экзамену по логике ( q)».

Логическая формула данного умозаключения:

p q, r ≡ p, r q

1.

p q,

r ≡ p, r

q

2.

/ /

p, r ≡ p, r, q

q, r ≡ p, r, q

3.

/ 2 ðàçà/

p, r ≡ p, r, q

4. / ≡ /

p, r, p, r, q

p, r, p, r, q

Три столбца таблицы замкнулись, таблица замкнута. Значит, умозаключение правильно.

268	Практикум

15.5. Обоснуйте выводимость формулы, построив выводы в натуральном исчисле-

нии высказываний. Формула: p q p q.

Р е ш е н и е. Для обоснования выводимости формулы, стоящей справа от знака , из формулы, стоящей слева от этого знака, следует построить вывод правой формулы из левой.

1. p q — посылка.

В качестве допущения берется антецедент формулы, которую нужно полу- чить. Тогда целью будет получение консеквента этой формулы.

2. р — допущение.

Из этих уже имеющихся формул также ничего нельзя получить. В качестве допущения берется отрицание формулы; цель – получить противоречие.

3.q — допущение.

4.q — допущение.

5.q — из 1 и 4 по правилу ó .

6.р — из 4 по правилу â на основании противоречия 3 и 5. Допущение 4 исключается, а в выводе вертикальной чертой отмечаются формулы 4, 5. Вертикальная черта обозначает, что далее этими формулами пользоваться нельзя.

7.р — из 6 по правилу ó .

8.q — из 3 по правилу â на основании противоречия 2, 7. Допущение 3 исключается, а в выводе вертикальной чертой отмечаются формулы 3—7.

9.q — из 8 по правилу ó .

10.р q — из 9 по правилу â. Допущение 2 исключается, а в выводе вертикальной чертой отмечаются формулы 2–9.

В результате построен вывод, состоящий из 10 формул, где 1-я формула —

посылка, 2, 3, 4-я – допущения, 5-я и 10-я получены по правилам вывода из предыдущих. Все допущения исключены. 10-я формула (р q) – формула, которую требовалось вывести. Формула выглядит так:

1.		ð q	— посылка.
2.	ð		– допущение.
3.		q	– допущение.

4.q – допущение.

5.q – ó, 1,4.

6.ð – â ,4 ( из противоречия 3 и 5).

7.ð – ó, 6.

8.q – â, 3 ( из противоречия 2 и 7).

9.q – ó, 8.

10.ð q – â , 9.

15.6.Посредством обращения, превращения и противопоставления предикату, если это возможно, сделайте логическое заключение. Составьте схему вывода:

«Лицо, освобожденное от наказания, считается несудимым».

Р е ш е н и е. Представим суждение в явной логической форме: «Всякое лицо, освобожденное от наказания, есть человек, считаемый несудимым».

Схема данного суждения:

Все S есть Р — общеутвердительное суждение (А),

где S — «лицо, освобожденное от наказания», Р — «человек, считаемый несудимым». Схема обращения:

Âñå S åñòü Ð	(À)
Некоторые Р есть S	(I) .

Обращенное суждение: «Некоторые люди, считаемые несудимыми, являются лицами, освобожденными от наказания».

Раздел 1. Образцы решения типовых задач		269
Схема превращения:
	Âñå S åñòü Ð	(À)
		(Å) .
	Íè îäíî S íå åñòü íå-Ð

Превращенное суждение: «Ни одно лицо, освобожденное от наказания, не является человеком, считаемым судимым».

Схема противопоставления предикату:
	Âñå S åñòü Ð	(À)	.
	Íè îäíî íå-Ð íå åñòü S	(E)

Суждение, полученное путем противопоставления предикату: «Ни один человек, считаемый судимым, не является лицом, освобожденным от наказания».

15.7. Проверьте умозаключение по логическому квадрату: «Не все грибы ядови-

ты, значит, недостоверно, что некоторые грибы ядовиты».

Р е ш е н и е. Записываем данное умозаключение в виде схемы:

(Âñå S åñòü Ð)		(Некоторые S не есть Р)
	,
			,
(Некоторые S не есть Р)		(Íè îäíî S íå åñòü Ð)

где S — «грибы», Р — «ядовитые». Умозаключение является неправильным, так как из истинности посылки (I) следует и истинность, и ложность заключения (Е).

15.8.* Проверьте умозаключение на модельных схемах: «Все утки — водоплавающие. Некоторые водоплавающие — утки».

Р е ш е н и е. В данном умозаключении посылка имеет форму S а Р, а заключе- ние — форму Р i S. Посылка выполняется на схемах 1, 2. Заключение также выполняется на схемах 1, 2. Значит, между посылками и заключением имеется отношение логического следования. Следовательно, это умозаключение правильное.

15.9. Сделайте полный разбор силлогизма: приведите его к правильной логи-

ческой форме, укажите заключение и посылки, средний, меньший и больший термины, меньшую и большую посылки. Проверьте правильность силлогизмов:

а) Каждый гражданин Российской Федерации имеет право на образование. Новиков — гражданин Российской Федерации. Следовательно, Новиков имеет право на образование.

Р е ш е н и е. Записываем суждения в форме простого категорического силлогизма: Каждый гражданин Российской Федерации (М) имеет право на образование (Р).

Иванов(S) — гражданин Российской Федерации (М). Иванов(S) имеет право на образование (Р).

Первое суждение — большая посылка, вторая — меньшая посылка, третья – заключение. Находим средний термин (М), больший термин (Р), меньший термин (S). Схема силлогизма:

Âñå Ì åñòü Ð		(À)
Âñå S åñòü Ì		(À)	.
	Bce S åñòü Ð	(À)
Определяем фигуру силлогизма: М		Ð

S M

Это первая фигура. Модус данного силлогизма ААА. Этот модус соответствует правильному модусу первой фигуры. Следовательно, данный силлогизм является правильным.

* При решении данной задачи см. п. 15.8, 15.9.

270	Практикум

б) Свидетели обязаны давать правдивые показания. Иванов – свидетель. Следовательно...

Р е ш е н и е. Определяем в посылках средний термин (М) и делаем вывод из посылок:

(БП) Свидетели (М) обязаны давать правдивые показания (Р)
(МП) Иванов (S) – свидетель (М)	.
Иванов (S) обязан давать правдивые показания (Р)

Определяем больший (Р) и меньший (М) термины. Определяем большую (БП) и меньшую (МП) посылки.

Строим схему силлогизма:
	Âñå Ì åñòü Ð	(À)
	Âñå S åñòü Ì	(À)	.
	Âñå S åñòü Ð	(À)

Определяем количественно-качественную характеристику посылок. Большая посылка — общеутвердительное суждение, меньшая посылка — общеутвердительное суждение.

Строим и определяем фигуру силлогизма: М	Ð
S	M

Это первая фигура. Модус данного силлогизма: ААА. Данный модус соответствует правильным модусам первой фигуры силлогизма. Следовательно, силлогизм правилен.

Глава 16. Недемонстративные (правдоподобные) умозаключения

16.1. Укажите умозаключения полной и неполной индукции:

а) Для выступления с докладами на научной конференции подготовились пять студентов: Иванов, Петров, Фролова, Шашурина, Стрелкова. Студент Иванов выступил с докладом на пленарном заседании. Студенты Петров, Фролова, Шашурина, Стрелкова выступили с докладами на секциях. Таким образом, все студенты, приготовившие доклады, выступили на конференции.

Р е ш е н и е. Умозаключение полной индукции, заключение достоверно.

б) Русские юристы последней трети XIX в. Александров и Спасович были выдающимися судебными ораторами. То же можно сказать и о юристах этого периода Андреевском, Арсеньеве, Плевако, Карабачевском, Урусове. Следовательно, все русские юристы последней трети XIX в. были выдающимися судебными ораторами.

Р е ш е н и е. Умозаключение неполной индукции, заключение вероятно.

16.2. Являются ли данные утверждения умозаключениями по аналогии?

а) Во втором классе Катя Филатова будет учиться столь же хорошо, как и в первом, потому что она прилежная ученица.

б) Новый приключенческий роман Веры Кузнецовой будет пользоваться таким же успехом, как и предыдущий, потому что читатели с нетерпением ждут от нее новых остросюжетных приключений.

в) В конце слова «ночь» пишется мягкий знак, потому что он пишется в окончании именительного и винительного падежей единственного числа всех существительных женского рода, после шипящих ж, ч, ш, щ.

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	271

Р е ш е н и е. Первые два утверждения являются умозаключениями по аналогии. Третье утверждение не является умозаключением по аналогии, поскольку заключение делается об отдельном предмете (слове) на основании знания о классе предметов (всех существительных женского рода, оканчивающихся на шипящие ж, ч, ш, щ), а не на знании о другом отдельном предмете.

16.3. Выявите структуру следующих умозаключений по аналогии. Состоятельны ли эти умозаключения?

а) Земля имеет в наличии атмосферу, характеризуется определенной массой, которая является достаточно остывшей. Венера имеет в наличии те же признаки. Кроме этого, на Земле существует жизнь. Поэтому можно предположить, что на Венере существует жизнь.

Р е ш е н и е. Данное умозаключение по аналогии свойств имеет следующую структуру:

Предмет а имеет признаки: Р1, Ð2, Ð3. Предмет b имеет признаки Р1, Ð2, Ð3.

Предмет а обладает признаком Q. Следовательно, предмет b, вероятно, имеет признак Q или

Ð1(à) & Ð2(à) & Ð3(à) & Q(à). Ð1(b) & Ð2(b) & Ð3(à).

Следовательно, Q(b).

б) Иван любит своего отца. Он о нем заботится. Петр также любит своего отца. Поэтому можно предположить, что Петр заботится о своем отце.

Р е ш е н и е. Данное умозаключение по аналогии с отношениями предполагает следующее рассуждение:

Известно, что а1 ñûí à2 (Ð1 (à1, à2)) è à1 любит а2 (P2 (à1, à2)), и, соответственно, b1 ñûí b2 (Ð1 (b1, b2)), b1 любит b2 (Ð2 (b1, b2 )).

Также известно, что а1 заботится об а2 (Q (à1, à2)). Следовательно, можно заключить: вероятно, что b1 заботится о b2 (Q (b1, b2)).

в) Жители пригорода Москвы предпочитают железнодорожный транспорт всем другим видам общественного транспорта. Значит, и жители пригородов столич- ных городов Европы также предпочитают железнодорожный транспорт всем другим видам общественного транспорта.

Р е ш е н и е. Данное умозаключение по аналогии скорее всего можно считать несостоятельным, поскольку оно не учитывает целый ряд важных для переносимого признака факторов, таких, как стоимость проезда, национальный менталитет и т.п.

Раздел V. Аргументация

Глава 19. Общая характеристика аргументации

19.1. Укажите тезис и аргументы, определите форму обоснования тезиса, за-

пишите связь аргументов в виде схемы:

а) В результате тщательного и внимательного рассмотрения уголовного дела следователь пришел к выводу о том, что смерть потерпевшего Н. наступила от огнестрельного ранения. Более того, выстрел в потерпевшего был произведен с близкого расстояния. Последнее обстоятельство существенно повлияло на решение вопроса о виновнике преступления.

272	Практикум

То, что выстрел был произведен с близкого расстояния, подтверждалось нали- чием вокруг огнестрельной раны на теле убитого следов внедрения несгоревшего пороха. Последнее обстоятельство свидетельствует о том, что выстрел был произведен с близкого расстояния.

Р е ш е н и е. Находим тезис и аргументы, обозначаем их соответствующими символами.

Тезис. Выстрел в потерпевшего Н. был произведен с близкого расстояния (Т).

Аргументы.

•Если в тканях вокруг огнестрельной раны обнаруживают наличие следов внедрения несгоревшего пороха (А), то выстрел производился с близкого расстояния (Т).

•В тканях убитого Н. вокруг огнестрельной раны были обнаружены следы внедрения несгоревшего пороха (А).

Определяем форму обоснования тезиса. Обоснование (демонстрация) принимает форму условно-категорического умозаключения.

Записываем связь аргументов и тезиса с помощью символов:

À Ò, À .

Ò

Определяем форму обоснования.

Дедуктивное обоснование. Утверждающий модус (modus ponens) дает достоверные заключения. Тезис достоверен.

б) Теорема о сумме внутренних углов треугольника доказывается отдельно для трех их видов: остроугольных, прямоугольньгх и тупоугольных. В каждом из них сумма углов равна 180°, а все они вместе составляют конечный класс (множество). Следовательно, во всяком треугольнике сумма его внутренних углов равна 180°.

Р е ш е н и е. Находим тезис и аргументы, обозначаем их соответствующими символами.

Тезис. Во всяком треугольнике сумма его внутренних углов равна 180° (Т).

Аргументы.

•В остроугольном треугольнике сумма его внутренних углов равна 180° (А).

•В прямоугольном треугольнике сумма его внутренних углов равна 180° (А).

•В тупоугольном треугольнике сумма его внутренних углов равна 180° (А).

Определяем форму обоснования тезиса. Обоснование принимает форму индук-

тивного умозаключения.

Записываем связь аргументов и тезиса с помощью символов:

à1	обладает Р
à2	обладает Р
à3	обладает Р
a1, à2, à3 составляют класс Т		.

Каждый элемент Т обладает Р

Определяем форму обоснования.

Индуктивное обоснование. Полная индукция. Тезис достоверен.

19.2. К данному тезису подберите аргументы, аргументируйте тезис, используя любую форму обоснования.

Тезис. Медь электропроводна (Т).

Подбираем аргументы.

Все металлы электропроводны (а). Медь — металл (а).

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	273

Строим демонстрацию в форме первой фигуры простого категорического силлогизма:

Все металлы электропроводны (а1)
Медь — металл (а2)
	.
Медь электропроводна (Т)

Аргументированный тезис достоверен.

Демонстрацию можно построить в форме утверждающего модуса условнокатегорического умозаключения:

Если медь металл, то она электропроводна (а1)
Медь – металл (а2)
	.
Медь электропроводна (Т)

Рассуждение идет по правильному модусу. Тезис доказан.

19.3. Постройте деструктивную (прямое опровержение тезиса) и конструктивную критику тезиса:

а) Прямое опровержение (сведение к абсурду).

Тезис: Все слушатели 101-й группы успешно сдали экзамены зимней сессии.

Допускаем истинность тезиса и выводим логически вытекающие из него следствия:

•Малахов успешно сдал экзамены (С1);

•Сигалов успешно сдал экзамены (С2);

•Николаев успешно сдал экзамены (С3).

Сопоставляем следствия с фактами:

Малахов успешно сдал экзамены (С1 = f1); Сигалов не сдавал экзамены по болезни (С2 = f2);

Николаев не сдал два экзамена по своей нерадивости (С3 = f3).

Выведенные из тезиса (Т ) следствия С2 è Ñ3 находятся в противоречии с

фактами f2 è f3. Следствие C2 è Ñ3 являются ложными. Ложность следствий приводит к ложности основания (Т):

Ò Ñ2, Ñ3; Ñ2, Ñ3
	.
Ò

б) Конструктивная критика.

Тезис. Все слушатели 101-й учебной группы успешно сдали экзамены зимней сессии.

Выдвигаем антитезис (А). Некоторые слушатели 101-й учебной группы не сдали экзамены зимней сессии.

Обосновываем истинность антитезиса (А):

•Сигалов не сдавал экзамены по болезни (а1);

•Николаев на сдал два экзамена по своей нерадивости (a2). Из истинности а1, à2 вытекает истинность А:

à1, à2 А. Из истинности А вытекает ложность Т :

ÒÀ, À .

Ò

Рассуждение идет по утверждающе-отрицающему модусу (modus ponendo tollens). Аргументация построена по правильному модусу, что позволяет получить достоверное заключение.

274	Практикум

19.4. Установите несостоятельность аргументов при демонстрации. а) Несостоятельность аргументов.

В высказывании «Все красные мухоморы являются съедобными грибами» определяем тезис и аргументы.

Тезис. В данном суждении распределены субъект и предикат (Т ).

Аргументы:

•субъект и предикат в общеутвердительных суждениях всегда распределены (а1);

•данное суждение является общеутвердительным (а2).

Устанавливаем логическую связь между тезисом и аргументами:

à1, à2 Ò.

Устанавливаем истинность или ложность аргументов;

•субъект и предикат в общеутвердительных суждениях всегда распределены

(à1) — аргумент ложен, так как субъект и предикат в общеутвердительных суждениях распределены только в общевыделяющих суждениях;

•данное суждение является общеутвердительным (а2) — аргумент истинен. Ложность аргумента (а1) приводит к необоснованности тезиса:

à1 Ò, à1 .

Ò

Рассуждение идет по неправильному модусу; б) Несостоятельность демонстрации.

В высказывании «Ученый Н. может участвовать в научной конференции политологов, потому что он не является предвзятым политиком. Однако нам известно, что ученый не может участвовать в научной конференции в том случае, если он является предвзятым политиком». Определяем тезис и аргументы.

Тезис. Ученый Н. может участвовать в научной конференции политологов (Т ).

Аргументы:

•Ученый Н. не является предвзятым политиком (а1);

•Ученый не может участвовать в научной конференции, если он является предвзятым политиком (а2).

Выявляем логическую связь между тезисом и аргументами:

•à1 — Ученый не может участвовать в научной конференции (q), если он является предвзятым политиком (р), (р q);

•a2 — Ученый Н. не является предвзятым политиком ( р);

•Т — Ученый Н. может участвовать в научной конференции политологов ( q):

(ð q), ð

		.
	q

Рассуждение идет по неправильному модусу условно-категорического умозаключения. Посылка, выраженная категорическим суждением, отрицает истинность основания. Рассуждение направлено от отрицания основания ( р) к отрицанию следствия ( q). Заключение по данному модусу не будет достоверным.

Следовательно, аргументация построена по неправильному модусу, что не позволяет получить достоверное заключение.

Раздел 1. Образцы решения типовых задач	275

Раздел VI. Формы развития знания

Глава 21. Гипотеза

А. Подтверждение гипотезы

21.1. Проанализируйте следующий способ подтверждения гипотезы. а) Прямой способ превращения гипотезы в достоверное знание.

В высказывании: «У больного Н. гипертоническая болезнь, так как у него повышено артериальное давление, головная боль и ухудшилось зрение», определяем гипотезу и следствия.

Гипотеза: У больного Н. гипертоническая болезнь (Н).

Следствия:

•У больного Н. повышено артериальное давление (С1);

•У больного Н. головная боль (С2);

•У больного Н. ухудшилось зрение (С3).

Выявляем логическую связь между гипотезой и следствием:

Í → {Ñ1 & Ñ2 & Ñ3}, где импликация от гипотезы к совокупности следствий.

Âданном случае использован основной способ подтверждения гипотез —

выведение следствий и их верификация. Н – предполагаемое заболевание, а С1, Ñ2, Ñ3 — симптомы, присущие этому заболеванию, и только ему. Значит, гипотеза подтверждена, и диагноз поставлен правильно.

б) Косвенный способ подтверждения гипотезы.

Âвысказывании «У больного Н. ухудшение зрения могло быть вызвано либо повышенным артериальным давлением, либо головными болями, либо многоча- совой работой за компьютером», определяем гипотезу и следствия.

Гипотеза: У больного Н. ухудшилось зрение (Н).

Следствия:

• У больного Н. повышенное артериальное давление (С1);

• У больного Н. головные боли (С2 );

• Больной Н. много работает за компьютером (С3). Выявляем логическую связь между гипотезой и следствием:

Н могло быть вызвано либо С1, ëèáî Ñ2, ëèáî C3
Н не вызвано ни С1, íè Ñ2	.
Н вызвано C3

Рассуждение идет по отрицающе-утверждающему модусу (modus tollendo ponens) разделительно-категорического умозаключения. При закрытой дизъюнкции можно получить достоверное заключение, т.е. осуществить превращение гипотезы в достоверное знание. Для этого необходимо выполнить два условия:

1)перечислить все гипотезы;

2)опровергнуть все ложные гипотезы.

276	Практикум

Б. Опровержение гипотезы.

21.2. Проанализируйте следующий способ опровержения (фальсификации).

Âвысказывании: «Если больной Н. болен гипертонической болезнью, то

óнего будет повышено артериальное давление, головная боль и ухудшение зрения.

У больного Н. нет повышенного артериального давления, головных болей и ухудшения зрения. Больной Н. не болен гипертонической болезнью».

Определяем гипотезу и следствия.

Гипотеза: Больной Н. болен гипертонической болезнью (Н).

Следствия:

•У больного Н. повышено артериальное давление (С1);

•У больного Н. головная боль (С2);

•У больного Н. ухудшилось зрение (С3).

Определяем истинность или ложность следствий:

Ñ1 — ложно; С2 — ложно; С3 — ложно.

Определяем логическую связь между гипотезой и следствиями:

Если имела место причина (гипотеза) Н, то должны быть следствия: С1 è Ñ2 è Ñ3 Суждение, что есть следствие С1 èëè Ñ2, èëè Ñ3, является ложным

Значит, ложна Н

Это можно записать следующим образом:
	Í (Ñ1 & Ñ2 & Ñ3)
	Ñ1 Ñ2 Ñ3	.
	Í