Глава 9

Сложные суждения

9.1. Понятие о сложном высказывании

èлогическом союзе

Âлогике сложные суждения составляются из простых при помощи логических союзов. Сложные суждения в современной логике называются сложными высказываниями. Сложным называется высказывание, состоящее из двух или более простых, соединенных между собой логическими союзами.

Основные логические союзы

1.Конъюнкция (соединение) — логический союз, относительно соответствующий грамматическому союзу «и». Этот союз обозначается символом & (читается «и»), называемым знаком коммутативной конъюнкции. Сложные высказывания такого типа называются соединительными или конъюнктивными.

2.Дизъюнкция (разделение) логический союз, соответствующий двум смысловым значениям грамматического союза «или». Если утверждается наличие по крайней мере одной из двух ситуаций, то высказывание называется нестрого разделительным, или дизъюнктивным. В таком случае союз «или» обозначается символом (читается «или»), называемым знаком нестрогой дизъюнкции. Если же утверждается наличие равно одной из двух или более ситуаций, то высказывание называется строго-разделитель- ным, или строго-дизъюнктивным. В таком случае союз «или ..., или ...» обозначается символом (читается «или ..., или ...»), называемым знаком строгой дизъюнкции.

3.Импликация (равнозначность) — логический союз, соответствующий грамматическому союзу «... если, то ...». Этот союз обозначается символом (читается «... если, то ...»), называемым знаком импликации. С его помощью образуются

условные, или импликативные, высказывания.

4.Эквиваленция (извлечение, следование) — логический союз, соответствующий грамматическому союзу «если и только если ..., то ...». Этот союз обознача- ется символом ≡ (читается «если и только если ..., то ...»), называемым знаком эквиваленции (двойной импликации). Сложные высказывания такого такого типа называются эквивалентными.

5.Отрицание — логический союз, соответствующий грамматическому союзу «не». Этот союз обозначается символом (читается «не», «недостоверно, что ...»), называемым знаком отрицания. Данный союз действует только на одно суждение. Этим он отличается от других союзов, которые связывают два и более высказывания.

Ïр и м е ч а н и е. Грамматический союз не всегда совпадает с логическим союзом. Во-первых, по выражению грамматического союза нельзя однозначно определить логический союз, поскольку один и тот же логический союз может выражаться разными грамматическими союзами. Так, например, логический союз «и» может в естественном языке выражаться союзами: «а», «но», «да», «однако» и т.д. Во-вторых, логические союзы могут вовсе не выражаться грамматическими союзами. Например, предложение: «Идет дождь — крыши мокрые». Данное выражение станет импликативным высказыванием только тогда, когда примет форму логического высказывания: «Если идет дождь, то крыши мокрые». В-третьих, один и тот же грамматический союз может выражать разные логические союзы. Например, союз «если ..., то ...» может выражать как импликативную связь, так и конъюнктивную. Например, импликативное высказывание: «Если идет дождь, то крыши мокрые» может принять форму конъюнктивного высказывания: «Идет дождь и крыши мокрые». В последнем высказывании одновременное наличие двух ситуаций — форма коммуни- кативно-конъюнктивного высказывания.

114	III. Суждение

9.2. Соединительные суждения

Коммуникативно-конъюнктивные1 суждения

В такого вида суждениях утверждается одновременное наличие двух (или более)

ситуаций. Формулировка конъюнктивных высказываний в естественном языке обычно осуществляется посредством союза «и» или с помощью других союзов и выражений: «а», «но», «как ..., так и», «а также», «хотя», «однако», «несмотря на» и т.п.

Союз «и» обозначается символами & или . Форма конъюнктивного суждения: (А & В).

Такая форма соединительного высказывания предполагает одновременное наличие двух ситуаций — описываемой в А и описываемой в В.

П р и м е р ы. Понятые присутствуют (А), и протокол составляется (В).

Если Дунай впадает в Черное море (А), то Волга — в Каспийское (В).

Во втором примере конъюнктивная связка передается посредством союза «если ..., то...», поскольку в приведенном высказывании утверждается одновременное наличие ситуаций: впадение Дуная в Черное море и впадение Волги в Каспийское море.

Определением знака конъюнкции является истинностная таблица, иллюстрирующая зависимость истинности конъюнктивного высказывания от истинности составляющих его суждений. Высказывание вида (А & В) истинно только в одном случае, когда А истинно и В истинно. В остальных случаях (А истинно, а В ложно; А ложно, а В истинно; А и В ложны) ложно.

Знак конъюнкции & определяется таблицей истинности 1 (см. с. 120).

Некоммуникативно-конъюнктивные суждения

В такого вида суждениях выражается не одновременное наличие двух (или более) ситуаций (А и В), а последовательная смена этих ситуаций во времени. Формулировка такого вида высказываний в естественном языке обычно осуществляется посредством выражения «..., а затем ...».

П р и м е р ы. Н. вышел на улицу (А) и сломал ногу (В).

Были приглашены понятые (А), и был составлен протокол (В).

В приведенных примерах вместо выражения «а затем» чаще употребляется союз «и». Поэтому при выяснении логической формы такого типа высказывания в языке пропозициональной логики замена союза «и» знаком & неправомерна. Пропозициональная связка, соответствующая такому употреблению союза «и» (в смысле «а затем»), не является знаком функции истинности.

1 Конъюнкция (от лат. conjunctio — союз, связь) — логический эквивалент союза «и».

9. Сложные суждения	115

9.3. Разделительные суждения

Дизъюнктивные1 суждения

В такого вида суждениях утверждается наличие по крайней мере одной из двух (или более) ситуаций, т.е. когда одна ситуация не исключает другую.

Формулировка дизъюнктивных высказываний в естественном языке обычно осуществляется посредством союза «или».

Союз «или» обозначается символом . Форма дизъюнктивного суждения: (А В).

Ïр и м е р ы. Идет дождь (А) или идет снег (В).

Í.способен (А) или он прилежен (В).

Определением знака дизъюнктивного высказывания является истинностная таблица, иллюстрирующая зависимость истинности дизъюнктивного высказывания от истинности составляющих его суждений. Высказывание вида (А В) истинно в том и только в том случае, когда истинно по крайней мере одно из составляющих его суждений, и ложно, когда оба составляющие его суждения ложны.

Знак дизъюнкции определяется таблицей истинности 2 (см. с. 120).

Строго-дизъюнктивные суждения

В такого вида суждениях утверждается наличие только одной из двух (или более) ситуаций, т.е. когда одна ситуация исключает другую.

Формулировка строго-дизъюнктивных высказываний в естественном языке обычно осуществляется посредством союзов: или ..., или ... (либо..., либо...). Союз «или..., или...» обозначается символами или . Форма строго-дизъюнк- тивного суждения: (А В).

П р и м е р ы. Он совершил преступление или он не совершил преступления.

Приговор суда бывает обвинительным или оправдательным.

Определением знака строгой дизъюнкции является истинностная таблица, иллюстрирующая зависимость истинности строго-дизъюнктивного высказывания от истинности составляющих его суждений. Высказывание вида (А В) истинно в том случае, когда истинно одно и только одно из составляющих его суждений, и ложно в остальных случаях.

Знак строгой дизъюнкции определяется таблицей истинности 3 (см. с. 120).

1 Дизъюнкция (от лат. disjunctio — разобщение, различение) — логический эквивалент союза «или».

116	III. Суждение

9.4. Условные и импликативные суждения

Условным называется такое суждение, в котором утверждается обусловленность одной ситуации посредством другой.

Формулировка условных суждений в естественном языке обычно осуществляется посредством союза «если ..., то...». Условное суждение обычного языка в логике представляет импликация1.

Релевантная импликация

В релевантной логике импликация понимается как условный союз в его обыч- ном смысле. Релевантная импликация предполагает суждение, в котором ситуация, описываемая основанием, является достаточным условием для ситуации, описываемой следствием , т.е. две его (суждения) части связаны между собой по содержанию.

Та часть суждения, которая находится между словом «если» и словом «то» является основанием, а та часть суждения, которая находится после слова «то» — следствием. Достаточные условия для ситуации могут быть необходимыми и достаточными, необходимыми, но не достаточными, достаточными, но не необходимыми. Для выражения условий связи между ситуациями обычно используется символ « → », называемый релевантной или номологической импликацией.

Пропозициональная связка «если ..., то...», когда она выражает связь между ситуациями, при которой одна из них обусловливает другую, не является знаком функции истинности. Высказывание вида (А → В) истинно, если ситуация, описываемая в А, обусловливает наличие ситуации, описанной в В.

П р и м е р. Если есть огонь (А), то есть дым (В).

Строгая импликация

Такой вид импликации определяется через модальное понятие логической невозможности: «А строго имплицирует В». Это означает, что «Невозможно, чтобы А было истинно, а В ложно». Модальности также не являются знаками функций истинности.

Исследование свойств описанных выше (в п. 1 и 2) пропозициональных связок осуществляется в логических теориях, которые называются неклассическими логиками. Теории «неклассических» импликаций основываются на существовании между высказываниями такого отношения, которое зависит не только от истинностного значения высказываний (как в классической логике), но и от их смысловой связи. Такая «связь по смыслу» понимается по-разному. Поэтому и существуют различные теории «неклассических» импликаций. Однако теории «неклассических» импликаций являются суждениями классической логики, выступающей в качестве своего рода предельного их случая.

1 Импликация (от лат. implicatio — сплетение, implico — тесно связываю) — логический эквивалент оборота «если ..., то...».

9. Сложные суждения	117

Материальная импликация

Аналогом условного суждения (высказывания) в классической логике является материальная импликация, которая обозначается символом .

Логический союз , определяемый таблицей истинности, передает общий смысл условных союзов.

Логическая форма такой импликации: (А В), где А — антецедент (основание), а В — консеквент (следствие).

Антецедент и консеквент (от лат. antecedens — предшествующий и consequens — следствие) представляют собой два высказывания, из которых посредством логи- ческой операции импликации («если ..., то...») получают сложное импликативное высказывание, имеющее вид (А В). Высказывание (А), которому предпослано слово «если» является антецедентом (основанием), а высказывание (В), идущее после слова «то», — консеквентом (следствием).

Определением знака материальной импликации является истинностная таблица, иллюстрирующая определенную зависимость истинности импликативного высказывания от истинности составляющих его суждений.

Высказывание вида (А В) ложно только в случае истинности А (антецедента) и ложности В (консеквента). Это обусловлено тем, что в данном случае нарушено основное требование, предъявляемое к рассуждениям. Суть этого требования сводится к следующему: при истинности посылок заключение не должно быть ложным. В остальных же случаях (А и В истинны; А ложно, а В истинно;

Àи В ложны) высказывание вида (А В) истинно.

Ïр и м е р ы. 1. Тучи ушли, и дождь прекратился.

2.Тучи ушли, но дождь не прекратился.

3.Тучи не ушли, но дождь прекратился.

4.Тучи не ушли, и дождь не прекратился.

Из указанных четырех ситуаций невозможной является только вторая ситуация, когда основание истинно, а следствие ложно.

Материальная импликация не учитывает некоторое специфическое для условного союза («если ..., то...») содержание, а именно — связь по смыслу между антецедентом и консеквентом. Истинность или ложность материальной импликации определяется только истинностью и ложностью антецедента и консеквента и никак не зависит от наличия между ними связи по форме и содержанию. Если при установлении истинности условного суждения вида («Если А, то В») предполагается, что высказывания А и В связаны между собой по смыслу (содержанию), то выражение (А В) такой связи не предполагает.

П р и м е р ы. Истинными будут высказывания:

Если Москва — большой город, то река Волга — большая река. Если Москва — маленький город, то Волга — большая река. Если Москва — маленький город, то Волга — небольшое озеро. Если Земля — куб, то Луна — треугольник и т.п.

Знак импликации « » определяется таблицей истинности 4 (см. с. 120).