Глава 3

Основные направления и понятия символической (математической) логики

3.1. Классическая логика

Математическая логика — это раздел современной формальной логики, пришедшей во второй половине XIX — первой четверти XX столетия на смену традиционной логике.

Появление математической логики стало качественно новым этапом развития формальной логики, так как решение логических проблем стало связываться с применением математических методов. В частности, языковые конструкции стали рассматриваться в качестве функций. В результате логика превратилась в математическую логику — логику по предмету, математику по методу.

Математическая логика исследует языковые конструкции посредством метода построения специальных формализованных языков или исчисления высказываний и предикатов. Новые методы придали логике большую точность в построении языковых конструкций и позволили ей избежать двусмысленности, неопределенности и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правльного мышления традиционная логика.

Во избежание логической неясности, двусмысленности и неопределенности

âлогику были введены элементы математики, в частности, понятия «функция» è «аргумент». Использование этих понятий в логике позволило номинативное выражение разделить не только на субъект и предикат, но также на функцию и аргумент, что соответствовало точному языку математики. Функция и аргумент, выражая формально-структурные особенности некоторого выражения, не затрагивали его смыслового содержания.

Такой подход предоставил возможность пользоваться при логическом анализе абстрактно-множественными математическими представлениями. В свете такого подхода функция предстала как отображение одного множества в другом. Это

âсвою очередь позволило рассматривать предикат в качестве пропозициональной функции вида F(x).

Термин «пропозиция» используется в смысле повествовательного предложения для утверждения чего-либо о чем-либо. В более широком смысле этот термин используется как некоторая теоретическая конструкция, которая не меняется при изменении языковых систем. Соответствующая характеристика применима и к термину «высказывание». В определенном смысле понятия «пропозиция» и «высказывание» — синонимы. Стало быть, термин «пропозициональная функция» соответствует термину «высказывательная функция». По своей структуре пропозициональная функция аналогична грамматическому предложению, но отличается от него наличием переменных, которые выражают определенный класс предметов.

Âлогике пропозициональной функцией называется выражение, образованное из переменных, которые при подстановке вместо них конкретных высказываний превращают функцию в истинное или ложное высказывание.

32	I. Пропедевтика: предмет логики. Основные понятия и структура логики

Примером пропозициональной функции может служить выражение, содержащее переменный символ x. Так, выражение «x есть живое существо» есть пропозициональная функция. Это выражение, имея форму грамматического предложения, не является высказыванием, ибо нельзя определить истинно оно или ложно, его нельзя доказать или опровергнуть. Однако если в это выражение вместо x поставить понятие «кошка», то получится вполне осмысленное высказывание (истинное или ложное).

Стало быть, пропозициональная функция становится высказыванием только тогда, когда переменная приобретает конкретное предметное значение.

С позиций математической логики выражение вида F(x) (ãäå F есть свойство некоторого индивида) представляет собой элементарную пропозициональную функцию, из которой можно получить элементарное (простое) высказывание посредством переменной x обозначениями конкретных индивидов. Например, F(x) может быть представлено выражением: «x есть птица», которое, в свою очередь, может быть представлено как высказывание «курица есть птица».

Таким образом, введение в логику понятия «пропозициональная функция» позволило привнести математическую строгость в формально-логический анализ высказываний.

Утверждение математических методов в логике дало положительные результаты не только в математике и логике, но и в осмыслении целого ряда проблем человеческого познания, его возможностей и, в конечном счете, обогатило процесс научного познания новой методологией.

Одним из основных компонентов современной математической логики является классическая логика.

Классическая логика — это раздел (современной, математической) логики, вклю- чающий в себя классическую логику высказываний и классическую логику предикатов. Классическая логика опирается на принцип двузначности, в соответствии с которым всякое высказывание является либо истинным, либо ложным.

Логика высказываний (прозициональная логика) представляет собой логическую теорию, которая при выявлении логических форм естественного языка определяет способы связей между простыми высказываниями без учета их внутренней (субъек- тно-предикатной) структуры.

Выявление логических форм естественного языка в рамках этой теории предполагает:

1)отвлечение от содержания простых высказываний и их внутренней струк-

òóðû;

2)учет союзов, соединяющих простые высказывания в сложные и порядок этого сочленения.

Логика предикатов (функциональная логика, теория квантификации, кванторная логика) — это логическая теория, которая описывает выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний.

Выявление логических форм простых высказываний в рамках этой теории предполагает:

1)определение типа логических и нелогических терминов, входящих в состав высказываний;

2)указание на то, каким образом эти термины сочленяются между собой.

3. Основные направления и понятия символической (математической) логики	33

3.2. Классическая логика высказываний

Классическая логика высказываний, или пропозициональная логика, — наиболее развитая часть современной логики, являющаяся фундаментом всего здания символи- ческой логики.

Формализованная логика высказываний (пропозициональная логика) — раздел логики, формализующий употребление логических связок «и», «или», «если, то», «не» и ряда других, служащих для образования сложных высказываний из простых.

В логике высказываний простые высказывания рассматриваются в отвлечении от их субъектно-предикатной структуры.

Âклассической логике всякое простое высказывание либо истинно, либо ложно,

àистинностное значение сложного высказывания зависит от истинностных зна- чений входящих в него простых высказываний и характера их связи. В логике высказываний высказывания (формулы) рассматриваются лишь с точки зрения их истинности или ложности.

Åñëè À,  — формулы, то из них посредством пропозициональных связок могут строиться новые формулы: À & Â, À Â, À Â, åñëè À — формула, тоÀ — также формула (где символы &, , выражают пропозициональные связки, которые определяются на семантическом уровне посредством таблиц истинности).

Формулы, образованные с использованием логических констант (конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания), получают следующие истинностные значения:

(А & В) — истинно, если и только если А истинно и В истинно; (А В) — истинно, если истинно по крайней мере А или В;

(А В) — истинно, если и только если А и В истинны, А и В ложны,

Àложно, а В истинно;

А — истинно, если и только если А ложно.

Запись логической формы на языке логики высказываний предполагает различение простых высказываний и установление смысла на языке логики высказываний логической формы сложного выражения.

Ï ð è ì å ð. «Если у меня будет свободное время (ð) и я сдам экзамены по философии (q) и логике (r), то я поеду отдыхать в Крым (s) или на Кавказ (t).

Çдесь знаком р обозначено суждение: «У меня будет свободное время»; q – суждение: «Я сдам экзамен по философии»;

r – суждение: «Я сдам экзамен по логике»; s – суждение: «Я поеду отдыхать в Крым»;

t– суждение: «Я поеду отдыхать на Кавказ».

Из этих симолов строим формулу:

(ð & q & r) (s v t).

34I. Пропедевтика: предмет логики. Основные понятия и структура логики

3.3.Синтаксис языка логики высказываний

Алфавит и правила образования высказываний

Язык логики высказываний — ýòî искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры1 сложных высказываний, условий их истинности, способов вывода одних высказываний из других.

Язык логики высказываний2 используется в тех случаях, когда для логи- ческого анализа высказываний и рассуждений нет необходимости выявлять логическую форму мыслей вплоть до внутренней (субъектно-предикатной) структуры простых высказываний, а достаточно учесть способы их связи в сложных высказываниях.

Синтаксис

Алфавит языка логики высказываний содержит в качестве исходных знаков символы для простых высказываний, логические связки и скобки:

1. Пропозициональные символы (пропозициональные переменные)

2. Логические связки (логические операторы)

3. Технические знаки

p, q, r, s, t,

p1, q1, r1, s1, t1,

p2, q2, r2, s2, t2 è ò.ä.

& — конъюнкция (союз «и»);— дизъюнкция (союз «или»);

— импликация (союз «если..., то...»);

— отрицание («недостоверно, что...»)

(,) — левая и правая скобки и запятая

Ничто, кроме указанного, не является исходным символом языка логики высказываний, т.е. других знаков данный алфавит не включает.

Сложными выражениями языка являются формулы, определяемые следующим образом:

•p, q, r ... являются формулами (отдельная переменная является формулой);

•если А и В — формулы, то (А & В), (А В), (А В), А также формулы.

Ничто иное формулой не является.

1 Совокупность и порядок логических связей (или операций), с помощью которых сложное высказывание образовано из элементарных, составляют логическую структуру сложного высказывания.

2 Предложение, относительно которого имеет смысл говорить, что его содержание истинно или ложно, в математической логике называют высказыванием.