6. Логические операции с понятиями	83

6.8. Операция объединения классов

Операция объединения

Объединение двух множеств, являющихся объемами понятий хР1(õ) è õÐ2(х) состоит в образовании множества (класса), включающего те и только те элементы, которые обладают по крайней мере одним из признаков Р1(õ) èëè Ð2(х), т.е. обладает

сложным признаком (Р1(õ) Ð2(õ)): WõÐ1(õ) WõÐ2(õ) Wõ(Ð1(õ) Ð2(х)). При выражении объединения классов используется обычно логическая связка «или» в не-

исключающем смысле.

Операция объединения классов (сложение) состоит в объединении двух или нескольких классов в один класс, состоящий из элементов – слагаемых классов (А + В или А В).

Варианты объединения (результат объединения заштрихован):
1. Тождество		2. Подчинение	3. Перекрещивание
1234567890		2345678901	12345678901234567890
1234567890		2345678901	12345678901234567890
1234567890		À	12345678901234567890
		2345678901
1234567890		2345678901	12345678901234567890
À Â		2345678901Â	À	Â
1234567890			12345678901234567890
1234567890		2345678901	12345678901234567890
1234567890		2345678901	12345678901234567890
1234567890		2345678901	12345678901234567890
1234567890		2345678901	12345678901234567890
À Â = À = Â		À Â = À	À Â
4. Соподчинение			5. Противоречие
			2345678901
	2345678901	1234567890
	2345678901	1234567890	2345678901
	2345678901	1234567890	2345678901
	2345678901	1234567890	2345678901
	À	Â	2345678901À Â
	2345678901	1234567890
	2345678901	1234567890	2345678901
	2345678901	1234567890	2345678901
	2345678901	1234567890	2345678901
	2345678901	1234567890	2345678901
À		Â	À	Â

П р и м е р. Объемы понятий Wх Студент(х) и Wх Отличник(х). Обозначим объемы этих понятий как А и В. Результат их объединения —

			заштрихованная часть, которая обладает признаком
12345671234567		U	«быть студентом или отличником», т.е. это будет
12345671234567			объем W(х)(Р1(õ) Ð2(õ)).
12345671234567
À	Â
12345671234567
12345671234567
12345671234567
12345671234567

84	II. Понятие

6.9. Операция пересечения классов

Операция пересечения

Пересечение двух множеств, являющихся объемами понятий хР1(õ) è õÐ2(х) состоит в образовании множества (класса), включающего все те и только те элементы, которые одновременно обладают как признаком Р1(х), так и признаком

Ð2(х), т.е. обладают признаком

Ð1(õ) & Ð2(õ)) : WõÐ1(õ) WõÐ2(õ) Wõ(Ð1(õ) & Ð2(õ)).

Операция пересечения классов (умножение) состоит в отыскании элементов, общих для двух или нескольких классов (множеств) (А • В или А В; — пустое множество).

Варианты пересечения (результат пересечения заштрихован):

1. Тождество	2. Подчинение	3. Перекрещивание
2345678901	À
2345678901
2345678901		23
2345678901	2345	23
2345678901	2345	À 23 Â
À Â	Â	23
2345678901	2345
2345678901	2345	23
2345678901		23
2345678901
2345678901
À Â = À = Â	À Â = Â	À Â
4. Соподчинение		5. Противоречие

À

Â

À

Â

À Â = À Â =

П р и м е р. Объемы понятий Wх Студент(х) и Wх Отличник(х). Обозначим объемыэтих понятий как А и В. Результат их пересечения — заштрихованная часть, которая является общим признаком «быть

		студентом и отличником», т.е. это будет объем
12	U	Wõ(Ð1(õ) & Ð2(õ)).

À1212 Â

12

12

6. Логические операции с понятиями	85

6.10. Законы операций объединения и пересечения

1.Законы идемпотентности

ÀÀ = À

ÀÀ = À

3.Законы ассоциативности

(À	Â)	Ñ = À	(Â	Ñ)
(À	Â)	Ñ = À	(Â	Ñ)

2. Законы коммутативности

		À	Â = Â		À
		À	Â = Â		À
	4. Законы дистрибутивности
(À	Â)	Ñ = (À		Ñ)	(Â Ñ)
(À	Â)	Ñ = (À		Ñ)	(Â Ñ)

5.Законы поглощения

À(À Â) = À

À(À Â) = À

Закон поглощения для «сложения» и «умножения» классов

123456789012		234567890123234567890123
123456789012		234567890123234567890123
123456789012		23456789012367890123
123456789012		23456789012367890123
123456789012		23456789012367890123
123456789012À À Â	Â	234567890123À	67890123Â
123456789012		23456789012367890123
123456789012		23456789012367890123
123456789012		23456789012367890123
123456789012		23456789012367890123
123456789012		234567890123234567890123
123456789012		234567890123234567890123

1.Закон идемпотентности (от лат. idempotens — сохраняющий ту же степень) — логический закон, посредством которого исключается повторение одного и того же высказывания. Его формулировка: повторение высказывания через «и» и «или» равнозначно самому высказыванию.

П р и м е р. «Растение и растение» есть то же самое, что «растение». Иными словами, если мы к классу «растения» прибавим класс «растения», то получим класс «растения», т.е. растений не станет в два раза больше, и объем понятия «растение» останется прежним.

2.Закон коммутативности (от лат. commutatio — изменение, перемена) — общее название логических законов, посредством которых меняются местами высказывания, связанные логическими связками «и», «или», «если и только если» и др. Данные законы соответствуют алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др., согласно которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения — от порядка слагаемых и т.п.

П р и м е р. Если мы к классу «растения» прибавим класс «животные», то получим класс «организм»; если к классу «животные» прибавим класс «растения», то получим тот же класс — «организм».

3.Закон ассоциативности (от лат. associatio — соединение) — общее название логи- ческих законов, позволяющих по-разному группировать высказывания, соединяемые посредством логических связок «и», «или» и др. Эти законы, как и законы коммутативности, существуют в арифметике, алгебре, теории множеств и логике классов.

4.Закон дистрибутивности (от англ. distribution — распределение, размещение) — общее название логических законов, имеющих сходные структуры и позволяющие распределять одну логическую связь относительно другой.

86	II. Понятие

6.11. Операция вычитания

Вычитание объема понятия хР2(х) из объема понятия хР1(х) состоит в образовании множества (класса), включающего все те и только те элементы универсума, которые обладают признаком Р1(х) и не обладают признаком Р2(х), т.е. обладают

сложным признаком (Р1(õ) & Ð2(õ)): WõÐ1(õ) – WõÐ2(õ) ≡ Wõ(Ð1(õ) & Ð2(х)). Разностью множеств (классов) А и В является множество тех элементов класса

А, которые не являются элементами класса В (А – В или А \ В; — пустое множество).

Варианты вычитания (если классы А и В не пусты и не универсальны):

1. Подчинение	2. Пересечение						3. Тождество
1234567890	234567890
1234567890	234567890
1234567890À	234567890
1234567890	234567890		Â
1234567890	À						À, Â
	234567890
Â	234567890
1234567890
1234567890	234567890
1234567890	234567890
1234567890	234567890
À – Â = À	À – Â = À						À –Â =
4. Соподчинение							5. Противоречие
2345678901
2345678901
2345678901
2345678901
2345678901À	Â
2345678901				À			Â
2345678901
2345678901
2345678901
2345678901
À – Â = À							À – Â = À

À

À – Â =

Для операции вычитания классов справедливы следующие законы:

Â1. À – Â < À.

2. À < Â ≡ À – Â = .

3.À = (À • Â) + (À – Â).

4. • (À – Â) = .

5. <  – (À – Â).

À < В обозначает включение класса А в класс В.

À≡ В обозначает эквивалентность классов.

Ïр и м е р. Объемы понятий Wх Студент(х) и Wх Отличник(х). Обозначим объемы этих понятий как А и В. При вычитании Wх Отличник(х) из Wх Сту-

234567		U	дент(х) образуется объем, элементами которого
1234567
			будут такие студенты, которые не являются отлич-
1234567À	Â		никами, т.е. это будет объем Wх(Р1(õ) & Ð2(õ)).
1234567
1234567
1234567