108	III. Суждение

8.10.Выражение категорических суждений на языке логики предикатов

Средством выявления логической формы категорических суждений служит язык логики предикатов. Таблица для перевода на язык логики предикатов атрибутивных суждений типа S есть Р приводится ниже.

à åñòü Ð	Р(а), а — индивидная константа*
Âñå S åñòü Ð	A õ(S(õ) Ð(õ))
Íè îäíî S íå åñòü Ð	Aõ(S(õ) Ð(õ))
Некоторые S есть Р	õ(S(õ) & Ð(õ))
Некоторые S не есть Р	õ(S(õ) & Ð(õ)

* Индивидная константа может обозначать какой-либо единичный предмет (объект).

Общеутвердительное суждение: Все S есть Р

Смысл суждения Все S есть Р состоит в том, что некоторое множество (класс) объектов S содержится в некотором множестве (классе) объектов Р. Так, например, класс всех тигров содержится в классе всех животных (Все тигры – животные).

Суждение Все S есть Р — форма высказывания, а S и Р — переменные, вместо которых подставляются конкретные термины («тигры», «животные» и т.п.) с целью получить высказывание — истинное или ложное. Множества (классы) объектов однозначно соответствуют одноместным предикатам. Класс «тигров» соотвутствует предикату — свойству «быть тигром». Утверждение «Все S есть Р» в терминах предикатов имеет следующий смысл: как только некоторый объект х обладает свойством S (т.е. S(х) истинно), то он также обладает свойством Р (т.е. Р(х) истинно). Это утверждение записывается с использованием квантора общности следующим образом:

A

õ(S(õ) Ð(õ)),

читается: для всех х, если х присуще свойство S, то х присуще свойство Р.

Общеотрицательное суждение: Ни одно S не есть Р

Утверждение Ни одно S не есть Р в терминах предикатов имеет следующий смысл: если некоторый объект х обладает свойством S (т.е. если S(х) истинно), то он не обладает свойством Р (т.е. Р(х) ложно). Это утверждение записывается с использованием квантора общности следующим образом:

A

õ(S(õ) Ð(õ)),

читается: ни одному х, которому присуще свойство S, не присуще свойство Р.

8. Простые суждения	109

Частноутвердительное суждение: Некоторые S есть Р

Это утверждение записывается с использованием квантора существования следующим образом:

õ(S(õ) & Ð(õ)),

читается: существует х, которому присуще свойство S и свойство Р.

Частноотрицательное суждение: Некоторые S не есть Р

Это утверждение записывается с использованием квантора существования следующим образом:

õ(S(õ) & Ð(õ)),

читается: существует х, которому присуще свойство S и не присуще свойство Р. С помощью правил преобразования кванторов можно преобразовать запись

общих суждений так, чтобы в них вместо квантора общности участвовал квантор существования. Соответственно, частноутвердительные суждения можно записать с квантором общности. Так, например, для общеутвердительного суждения имеем:

A

õ(À(õ) Â(õ)) ≡ õ ( À(õ) Â(õ)) ≡ õ(À(õ) & Â(õ)).

Таблица выражений категорических суждений в логике предикатов

Суждение	Выражение
À	A x(S(õ) Ð(õ)) ≡ õ(S(õ) & Ð(õ))
Å	Ax(S(õ) Ð(õ)) ≡ õ(S(õ) & Ð(õ))
I	A x(S(õ) Ð(õ)) ≡ õ(S(õ) & Ð(õ))
O	A x(S(õ) Ð(õ)) ≡ õ(S(õ) & Ð(õ))

Выражение суждений на языке логики предикатов можно проиллюстрировать на следующем примере. Есть выражение «Некоторые животные являются млекопитающими». Запись на языке логики предикатов данного выражения будет выглядеть следующим образом: x P 1(x). Смысл этой записи: «Существует x, такой, что x есть P1». Данное выражение содержит индивидуальную переменную x, с которой связывается область, из которой переменная принимает значения (область значений переменной). В данном примере областью значений переменнойx является некоторое множество.

Можно изменить область значений переменной, например, считать этой областью множество любых объектов. В таком случае рассматриваемое выражение уже не может соответствовать формуле x P (x). Оно может быть выражено формулой x(S (x) & P1(x), т.е. «существует x, такой, что x есть S1 è x åñòü P1, ãäå S1 — символ общего имени «животное». Буквальный смысл этой формулы таков: «Существует такой объект, который является животным и который является млекопитающим».

110	III. Суждение

8.11.Выделяющие, исключающие

èопределенно-частные суждения

Особое место в классификации суждений занимают выделяющие, исключающие и определенно-частные суждения, строящиеся на основе атрибутивных суждений и представляющие собой некоторые усложненные варианты последних.

Суждения

Выделяющие суждения

Суждения, в которых содержатся указания на то, что только данному субъекту приписывается или только отрицается указанный предикат.

Типы выделяющих суждений

1. Общеутвердительное выделяющее:

Все S, и только S, есть Р

Ïр и м е р. Все студенты 203-й группы, и только они, присутствуют на собрании. 2. Общеотрицательное выделяющее:

Ни одно S, и только S, не есть Р

Ïр и м е р. Ни один честный человек, и только такой человек, не поступится своими принципами.

3. Частноутвердительное выделяющее:

Некоторые S, и только S, есть Р

Ïр и м е р. Некоторые преступники, и только преступники, являются рецидивистами.

4.Частноотрицательное выделяющее:

Некоторые S, и только S, не есть Р

Ïð è ì å ð. Некоторые свидетели, и только они, не дали показаний.

5.Единично-утвердительное выделяющее:

а, и только а, есть Р

Ïð è ì å ð. Иванов, и только он, является свидетелем происшествия.

6.Единично-отрицательное выделяющее:

а, и только а, не есть Р

Ïр и м е р. Иванов, и только он, не является свидетелем происшествия.

Исключающие суждения

Общие суждения, в которых содержатся указания на то, что к ка- кой-то части субъекта предикат не относится.

Типы исключающих суждений

1. Общеутвердительное исключающее: Все предметы S, если они не являются S 1, åñòü Ð, è íè îäíî S 1 íå åñòü Ð.

П р и м е р. «Все студенты 203-й группы, если они не пропускают занятия, являются дисциплинированными».

2. Общеотрицательное исключающее:

Ни один предмет S, если он не является S 1, íå åñòü Ð è âñå S 1 åñòü Ð.

П р и м е р. «Ни один студент 203-й группы, кроме названных, не сдал экзамен по логике».

Определенно-частные суждения

Частные суждения, в которых перед квантором стоит слово «только».

Типы определенно-частных суждений

1. Определенное частноутвердительное:

Только некоторые S есть Р.

Ïр и м е р. «Только некоторые студенты 203-й группы сдали экзамен по логике». 2. Определенное частноотрицательное:

Только некоторые S не есть Р.

Ïр и м е р. Только некоторые студенты 203-й группы не сдали экзамен по логике.

8. Простые суждения	111

8.12. Суждения с отношениями

Суждения с отношениями суть такие суждения, в которых взаимосвязь между двумя терминами — субъектом и предикатом выражается не с помощью связки

(«есть, «является» и т.п.), а с помощью отношения, в котором что-либо утверждается или отрицается в отношении двух (нескольких) терминов.

В такого типа суждениях предикат — отношение, а субъект — два (или несколько) понятия. По количеству понятий, входящих в субъект, определяется местность отношения.

П р и м е р. Черное море глубже Азовского моря, Симферополь южнее Киева

(двухместные отношения). Степан дарит Ольге цветы (трехместные отношения).

Суждения с отношениями обычно выражаются формулой: хRу или R(х, у), где х и у обозначают субъкт и предикат, а R — содержательное отношение между ними.

Суждения с отношениями делятся по качеству на утвердительные и отрицательные. В утвердительных суждениях с отношениями содержится утверждение о том, что предметы находятся в определенном отношении. В отрицательных суждениях с отношениями содержится отрицание того, что предметы находятся в определенном отношении.

Суждения с отношениями делятся по количеству. По виду понятий, входящих в субъект (единичные, общие), и по кванторам ( A ) перед общими именами в субъекте определяется количественная характеристика суждения с отношением. Суждения с двухместными отношениями делятся по количеству на единичноединичные, обще-общие, частно-частные, единично-общие, единично-частные, общеединичные, частно-единичные, обще-частные, частно-общие.

Наиболее часто встречающимися являются суждения с двухместными отношениями. Двухместные отношения имеют ряд свойств, на основании которых можно делать умозаключения из суждений об отношениях. Это свойства симметрич- ности, рефлексивности и транзитивности.

1.Отношение называется симметричным (от греч. simmetria — соразмерность), если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х (если х равно (сходно с, одновременно) у, то и у равно (сходно с, одновременно) х.

Отношение симметричности: хRу уRх.

2.Отношение называется рефлексивным (от лат. reflexio — отражение), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе (если х = у, то х = х и у = у).

Отношение рефлексивности: хRу (хRх & уRу).

3.Отношение называется транзитивным (от лат. transitivus — переход), если оно имеет место между х и z, тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z (если х равно у и у равно z, то х равно z).

Отношение транзитивности: (хRу & уRz) хRz.