136	III. Суждение

11.8.Отношение эквивалентности сложных суждений

Эквивалентными называются отношения между суждениями, когда они совместимы по истинности, совместимы по ложности, из первого суждения логически следует второе, и наоборот.

П р и м е р. Если семиклассник Стрелков Д. закончит учебный год на «хорошо» (р), то он получит в подарок бинокль (q) и Если семиклассник Стрелков Д. не получит в подарок бинокль ( q), то, значит, он не закончил учебный год на «хорошо» ( p).

Логические формы этих двух суждений:

							(p q) è ( q p).
	Для установления отношений между ними построим их совместную истин-
ностную таблицу.
							Сравнение результирующих столбцов (1 и 2)
p		q	p	q	q	p	показывает, что эти два суждения совместимы
È		È		È		È	по истинности, совместимы по ложности, из
È		Ë		Ë		Ë	первого суждения логически следует второе,
Ë		È		È		È	и наоборот. Следовательно, они находятся
Ë		Ë		È		È
							в отношении эквивалентности.
				1		2

Эквивалентное отношение между сложными суждениями:

А и В — схема суждений;

≡знак отношения эквивалентности

	À ≡ Â
È	È
È	Ë
Ë	È
Ë	Ë

Эквивалентность:

1. Выражение конъюнкции через дизъюнкцию:

(À & Â) ≡ À Â.

2. Выражение дизъюнкции через конъюнкцию:

(À Â) ≡ À & Â.

Эти две эквивалентности – законы де Моргана.

3.Выражение импликации через конъюнкцию:

ÀÂ ≡ (À & Â).

4.Выражение импликации через дизъюнкцию:

ÀÂ ≡ À Â.

1-я и 4-я строки таблицы показывают, что А и В одновременно принимают одинаковые значения — «И» и «Л». 2-я и 3-я (зачеркнутые) строки показывают, что эквивалентные суждения одновременно не могут принимать различные зна- чения.

Суждения А и В называются эквивалентными (А ≡ В), если они принимают одно и то же значение во всех строках построенной для них совместной таблицы.

11. Отношения между суждениями	137

11.9.Отношение субконтрарности сложных суждений

Субконтрарными называются такие отношения между суждениями, когда они

совместимы по истинности, но несовместимы по ложности и нет логического следования ни от первого ко второму, ни от второго к первому.

П р и м е р. Если завтра будет хорошая погода (р), то мы пойдем в лес за грибами (q) и Если завтра не будет хорошей погоды ( p), то мы все равно пойдем в лес за грибами (q).

Логические формы этих двух суждений:

(p q) è ( p q).

Для установления отношений между ними построим их совместную истинностную таблицу.

					Сравнение результирующих столбцов (1 и 2)
p	q	p	q	p q
					показывает, что эти два суждения совместимы
È	È		È	È
					по истинности, но несовместимы по ложности
È	Ë		Ë	È
				È	и нет логического следования ни от первого ко
Ë	È		È
Ë	È		È	Ë	второму, ни от второго к первому. Следова-
					тельно, они находятся в отношении субконт-
			1	2
					рарности (частичной совместимости).

Отношение частичной совместимости между сложными суждениями

А и В — схема сложных суждений;— знак частичной совместимости.

	À Â
È		È
È		Ë
Ë		È
Ë		Ë

1-я строка таблицы показывает одновременную истинность А и В; 2-я и 3-я – несовпадение значений;

4-я строка зачеркнута, так как исключается одновременная ложность А и В. Суждения А и В называются частично совместимыми (А В), если в постро-

енной для них совместной таблице не встречается сочетание (Л—Л), но встречаются все остальные возможные сочетания их значений.

Основная черта субконтрарных суждений — это то, что они не могут быть одновременно ложными.

138	III. Суждение

11.10. Отношение подчинения сложных суждений

Отношением подчинения называют такое отношение между суждениями, когда они совместимы по истинности, совместимы по ложности и при этом из первого суждения логически следует второе, но не наоборот.

П р и м е р. Если у четырехугольника попарно параллельные стороны (р), то этот четырехугольник – параллелограмм (q), а если четырехугольник – параллелограмм (q), то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам (r) и Если у четырехугольника попарно параллельные стороны (р), то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам (r).

Логические формы этих двух суждений: (p q) & (q r) и (p r).

Для установления отношений между ними построим их совместную истинностную

	таблицу.
	p	q	r	(p q) & (q r)	p r
						Сравнение результирующих столбцов
	È	È	È	È	È
	È	È	Ë	Ë	Ë	(1 и 2) показывает, что эти два сужде-
	È	Ë	È	Ë	È	ния совместимы по истинности, со-
	È	Ë	Ë	È	È	вместимы по ложности и при этом из
	Ë	È	È	Ë	Ë	первого суждения логически следует
	Ë	È	Ë	Ë	È	второе, но не наоборот. Следователь-
	Ë	Ë	È	È	È	но, они находятся в отношении под-
	Ë	Ë	Ë	È	È	чинения.
				1	2

Отношения подчинения между сложными суждениями

А и В — схема суждений;

→— знак подчинения.

À→ Â

È	È
È	Ë
Ë	È
Ë	Ë

1-я строка показывает: при истинности А истинным является В; 3-я и 4-я строки показывают: А является ложным, а В принимает произволь-

ные значения; 2-я строка зачеркнута, поскольку отношение подчинения исключает лож-

ность подчиненного В при истинности подчиняющего А.

Отношение логического подчинения, позволяющее по истинности подчиняющего суждения (А) определить истинность подчиненного суждения (В), составляет основу фундаментального понятия логики — понятия логического следования, регулирующего все виды рассуждений.

11. Отношения между суждениями	139

11.11.Отношение противоположности сложных суждений

Противоположными называются такие отношения между суждениями, когда они

несовместимы по истинности, но совместимы по ложности и нет логического следования ни в одну сторону.

П р и м е р. Фролова Н. смотрит мультфильмы по телевизору (р) и ест мороженое (q) и Фролова Н. смотрит мультфильмы по телевизору (р) и не ест мороженое ( q).

Логические формы этих двух суждений:

(p & q) è (ð & q).

Для установления отношений между ними построим их совместную истинностную таблицу.

p	q	p & q	p & q	Сравнение результирующих столбцов (1 и 2)
				показывает, что эти два суждения совместимы
È	È	È	Ë
È	Ë	Ë	È	по ложности, но не совместимы по истиннос-
Ë	È	Ë	Ë	ти и нет логического следования ни в одну
Ë	Ë	Ë	Ë	сторону. Следовательно, они находятся в от-
			2	ношении противоположности.
		1

Отношения противоположности между сложными суждениями

А и В — схема суждений;

— знак логической противоположности.

	À	Â
È		È
È		Ë
Ë		È
Ë		Ë

1-я строка таблицы зачеркнута, поскольку оба суждения одновременно не могут быть истинными;

2-я и 3-я строки показывают, что суждения могут принимать исключающие значения;

4-я строка — оба суждения могут быть ложными.

Суждения А и В находятся в отношении противоположности, если в построенной для них совместной таблице не встречается сочетание значений (И—И), но встречаются все остальные возможные сочетания их значений.