6. Логические операции с понятиями |
87 |
|
|
6.12. Дополнение к множеству
Операция дополнения к множеству состоит в дополнении объема понятия хР1(õ)
посредством образования в универсуме (U) объема понятия, элементами которого будут те и только те элементы универсума, которые не обладают признаком
Ð1(õ): WõÐ1(õ) ≡ Wõ Ð1(õ), èëè U – WõÐ1(õ).
Дополнением к классу А называется класс не-А (А ), который будучи объединен с А образует универсальную область (эта область называется универсальным классом и обозначается знаком U), а в пересечении с классом А дает , т.е. для которого А А = U и А А = . Откуда А = U – А, поэтому операция дополнения к классу А может рассматриваться как частный случай операции вычитания.
Графически дополнение к классу изображается схемой:
234567890123456789012345678901212
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121À À U 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
234567890123456789012345678901212
П р и м е р. Объем понятия Wх Студент (х). Дополнение к объему Wх Студент (х) есть объем Wх Студент (х). Обозначим первый объем А, второй — А .
234567890123456789012345678901212
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121À 2
À
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
23456789012345678901234567890121 2
234567890123456789012345678901212
П р и м е ч а н и е: Алгебраические системы, подобные алгебре множеств, называют алгебрами Буля. Дж. Буль — автор всемирно известных произведений «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (1854). В «Исследованиях» представлена та алгебраическая система, которая сегодня носит название алгебры высказываний. Дж. Буль является создателем современной символической логики. Его основная идея заключа- лась в том, что в логике как точной науке надо иметь дело не с конкретными значениями высказываний, а с абстрактным множеством объектов неопределенной природы.
88 |
II. Понятие |
|
|
6.13. Операции с классами. Диаграмма Венна
Диаграммы Венна представляют собой наглядное отношение между классами (объемами понятий) в булевой алгебре. В булевой алгебре геометрическим сомволом универсального множества (класса) является прямоугольник, который обознача- ется большой латинской буквой U. Некоторые формулы алгебры множеств графически выражаются посредством этого прямоугольника и кругов. Графический метод используется для проверки справедливости аксиом и теорем булевой алгебры, а также для определения отношений между объемами понятий. Этот метод называется методом диаграмм Венна, по имени его автора Дж. Венна (1834—1923).
Диаграмма Венна — это прямоугольник, представляющий род, к которому относится понятие. Посредством горизонтальных и вертикальных линий осуществляются разбивка его на классы, образование объемов понятий со сложнозаданным содержанием, над которыми производятся операции1.
Для того чтобы определить отношение между сложными классами (объемом понятий) необходимо построить одинаково расчерченные диаграммы, предполагающие разбивку по всем простым классам, которые присутствуют в сравнимаемых понятиях.
П р и м е р. Сравним два понятия:
•первое понятие: «грузовой или легковой автомобиль, кроме японского»;
•второе понятие: «японский грузовой автомобиль».
Для установления отношений между этими понятиями необходимо произвести разбивку универсума, который является классом всех автомобилей.
Для этого следует:
1) произвести символическую запись первого понятия:
((P(x) Q(x) & S(x));
2) произвести символическую запись второго понятия:
(S(x) & P(x));
3) представить объемы этих понятий как результаты операций с классами:
(Wx P(x) Wx Q(x)) ∩ Wx S(x) è Wx S(x) ∩ Wx P(x);
4)построить две совершенно одинаково расчерченные диаграммы;
5)определить на первой диаграмме объем первого понятия;
6)определить на второй диаграмме объем второго понятия;
7)определить отношение по объемам между первым и вторым понятием.
Wx P(x) |
Wx P(x) |
Wx P(x) |
Wx P(x) |
||||
Wx Q(x) |
|
|
|
|
Wx Q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Wx Q(x) |
|
|
|
|
Wx Q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Wx S(x) Wx S(x) Wx S(x) Wx S(x) |
Wx (S(x) Wx S(x) Wx S(x) Wx S(x) |
||||||
Сравнив две диаграммы, заключаем:
1)объемы двух понятий не совместимы;
2)эти два понятия не исчерпывают весь родовой класс (автомобилей);
3)эти два понятия находятся в отношении соподчинения.
1 Например, объем понятия «грузовой или легковой автомобиль, кроме японского» со сложнозаданным содержанием включает класс грузовых автомобилей, класс легковых автомобилей, класс неяпонских автомобилей.