16. Недемонстративные (правдоподобные) умозаключения	205

16.5. Виды индукции

Обобщающая индукция

Рассуждение, в котором осуществляется переход от знания об отдельных предметах класса или о некоторых

его частях к знанию обо всем классе в целом.

Полная

Вывод (обобщение) делается на основе исследования всех элементов класса, относительно которого конструируется рассуждение.

Неполная

Вывод (обобщение) делается на основе исследования только части элементов класса, относительно которого конструируется рассуждение.

					Популярная		Научная
Математическая			Эмпирическая
Прием	доказате-		Рассуждение, ос-		Установление по-		Установление по-
льств общих поло-			нованное на не-		вторяемости при-		вторяемости при-
жений в дедуктив-			посредственном		знаков у некото-		знака у некоторых
ных науках. Обо-			(опытном) иссле-		рых предметов		предметов класса
снование общего			довании элемен-		класса путем их		на основе обнару-
положения основа-			тов относительно		простого перечис-		жения причинной
но на возможности			небольшого и ре-		ления. Цель – кон-		зависимости этого
доказательства каж-			гистрируемого мно-		статация наличия		признака от опре-
дого из частных слу-			жества.		сходства у иссле-		деленных свойств
÷àåâ.	Основа –				дуемых предметов		предмета.
принцип бесконеч-					по определенному
ной индукции по					признаку.
натуральному ряду.

Âиндуктивной логике различают индукцию как специфический тип рассуждения (как вывод) и индукцию как вид эмпирического (опытного) познания, где она выступает:

• одним из методов образования эмпирических понятий;

•одним из методов открытия причинно-следственных закономерностей и гипотез;

• одним из методов подтверждения и обоснования эмпирических законов;

• основой построения естественных классификаций.

Âпроцессе определения и решения познавательных задач различают также индукцию как метод получения нового знания и индукцию как метод обоснования гипотез и теорий.

206	IV. Умозаключение

16.6. Полная индукция

Полная индукция — умозаключение, в котором на основе принадлежности определенного признака каждому элементу или каждой части класса делается вывод о его

принадлежности классу в целом. Полная индукция предполагает закрытие класса, число элементов, в котором является конечным.

	Рассмотрим множество А = {а1, à2, ..., àn}.
	Схема полной эмпирической			В записи на языке логики предика-
	индукции:			òîâ:
1.	à1	имеет признак Р		1.	Ð(à1)
	à2	имеет признак Р			Ð(à2)
	à3	имеет признак Р			Ð(à3)
	................................			.............................
	àn имеет признак Р				Ð(àn)
2.	à1, à2, à3, ..., àn – составляют			2.	n + 1. {à1, à2, à3, ..., àn} = S
		класс А
З а к л ю ч е н и е: Все предметы х,				Àx (S(x) Ð(õ)),

в точности составляющие класс А, име-

	ют признак Р.	где областью определения х является
		множество S.

Ï ð è ì å ð

Свидетелями по делу Беляева являются граждане М., Н., П., Л., К. Во вторник были допрошены свидетели П. и Н. (посылки), на следующий день — остальные свидетели (посылки).

Следовательно, допрошены все свидетели по делу Беляева (заключение).

В первых n посылках выражены результаты эмпирической проверки предметов а1, à2, à3 ..., àn на наличие

óних определенного свойства Р. Посылки подтверждают наличие такого свойства у каждого предмета. n + 1 посылка показывает, что все проверенные предметы в точности составляют класс S. Все это дает достоверное заключение о наличии свойства Р

óвсех предметов класса S.

16. Недемонстративные (правдоподобные) умозаключения	207

16.7. Математическая индукция

Математическая индукция — это рассуждение, используемое в логике и математике. Она является разновидностью полной индукции и отличается от нее тем, что имеет дело с бесконечным множеством предметов.

Математическая индукция является средством доказательства общих положений в математике и других дедуктивных науках. Она по характеру своего заклю- чения является дедуктивным умозаключением, а по структуре (строению) – индуктивным умозаключением, поскольку в ней осуществляется переход от знания об отдельных предметах класса или о подклассе класса к знанию о всех предметах класса или о классе в целом.

Математическая индукция строится на основе особенностей натурального ряда чисел. Этому ряду присуща закономерность: каждое последующее число больше предыдущего ровно на единицу. Эта особенность натурального ряда позволяет доказывать некоторые общие утверждения посредством определенных процедур.

Математическая индукция как процедура основывается на использовании двух высказываний.

1.Первое единичное высказывание представляет собой базис индукции. В нем доказывается утверждение, что 1 обладает свойством Р.

2.Второе общее импликативное высказывание представляет собой некоторое положение. В нем предполагается, что если произвольное число n обладает свойством Р, то последующее за ним число n + 1 также обладает свойством Р. Антецедент (основание) данного импликативного высказывания называется индуктивным предположением, а консеквент – индуктивным шагом.

Таким образом, обосновывается доказательство присущности свойства Р любому натуральному числу, т.е. если первое и второе положения достоверны, то можно заключить, что все натуральные числа обладают свойством Р и это свойство принадлежит всему классу натуральных чисел.

В символической записи математическую индукцию можно представить следующим образом.

Допустим, что Р — определенное свойство натуральных чисел, тогда

	Ð(1) è Ð(n) Ð(n + 1)
ãäå Ð(1)	— базис индукции;
Ð(n)	— индуктивное предположение;
Ð(n + 1)	— индуктивный шаг;

S— класс натуральных чисел.

A

x(S(x) P(x)),

Здесь (S) состоит из счетной последовательности предметов {1, 2, 3, ...}, при этом первый предмет обладает свойством Р. Запись Р(n) Р(n + 1) означает: если предмет с номером n обладает свойством Р, то и предмет с номером n + 1 обладает свойством Р; Р(n) — означает, что все предметы обладают свойством Р.

Математическая индукция как разновидность полной индукции дает достоверное знание.

208	IV. Умозаключение

16.8. Неполная индукция (популярная)

Неполная индукция — это индуктивное умозаключение, заключением которого является суждение о множестве предметов, полученное на основании знания только некоторых предметов, принадлежащих к данному множеству (классу).

Популярная индукция — это неполная индукция, в которой отсутствует определенный метод отбора предметов, служащих посылками данного умозаключе- ния. Заключение популярной индукции — предположительное, вероятное, правдоподобное.

			Схема популярной индукции:		В записи на языке логики предикатов:
		1.	à1 имеет признак Р			1. Ð(à1)
			à2 имеет признак Р			Ð(à2)
			à3 имеет признак Р			Ð(à3)
			...............................			.............................
			àn имеет признак Р				Ð(àn)
		2.	à1, à2, à3, ..., àn – принадлежит				2. n + 1. {à1, à2, à3, ..., àn} S
			множеству А
							À x(S(x) Ð(õ))
		Заключение:
	Все предметы а, принадлежащие классу
	А, имеют признак Р.
	Ï ð è ì å ð					Если при полной индукции класс
	1.	В Аргентине говорят на испанском языке.				(à1, à2, à3 ..., àn) в точности совпа-
		В Эквадоре говорят на испанском языке.				дает с классом S, то при непол-
		В Венесуэле говорят на испанском языке.				ной индукции он составляет лишь
	2.	Аргентина, Эквадор, Венесуэла — южно-				часть класса S. Значит, вполне
		американские страны.				возможно, что другая часть клас-
						са S может включать предметы,
	Во всех южно-американских странах говорят на
						не обладающие свойством Р.
	испанском языке.
						Все это дает правдободобное за-
	(Заключение ложно, так как в Бразилии гово-					ключение:
	рят на португальском языке).
						Àx(S(x) Ð(õ)).

Применение неполной индукции определяется относительной ограниченностью полной эмпирической индукции, ее неспособностью в ряде случаев охватить весь класс предметов. Логический переход в неполной индукции от некоторых ко всем предметам или частям класса не является произвольным. Он обусловлен объективными основаниями — реальной зависимостью между всеобщим характером признаков и устойчивой их повторяемостью в ситуациях эмпирического опыта. Этим и объясняется широкое использование неполной индукции на практике.