Глава 15
Демонстративные (необходимые) умозаключения
Умозаключения, основанные только на связях между сложными суждениями
15.1. Выводы из сложных высказываний (выводы на основе свойств логических связок)
Умозаключения из сложных суждений1 — это умозаключения, основанные на смысле логических союзов, связывающих суждения.
Умозаключения
Прямые
умозаключения, в которых заключение выводится из некоторого множества суждений.
Непрямые
умозаключения, которые получаются путем преобразования других умозаключений.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сведение |
|
|
|
Рассуждение |
||||
Чисто |
|
|
категори- |
|
к абсурду |
|
|
|
от противного |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
условные |
|
|
ческие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделительно- |
|
|
Условно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассуждение |
|
|
|||||
категори- |
|
|
раздели- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
по случаю |
|
||||
ческие |
|
|
тельные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Такой вид умозаключений, в которых при осуществлении вывода внутренняя структура простых суждений не учитывается, называют выводами логики высказываний. В логике высказываний суждения рассматриваются как простые суждения, из которых с помощью логических связок образуются сложные суждения.
Правила прямых выводов логики высказываний позволяют из данных посылок выводить истинное заключение. На основе правил прямых выводов построены чисто условные и условно-кате- горические, разделительные и разделительно-категорические, а также условно-разделительные (лемматические) умозаключения.
15. Демонстративные (необходимые) умозаключения |
157 |
|
|
15.2. Чисто условное умозаключение
Чисто условное умозаключение — умозаключение, обе посылки которого являются условными суждениями.
Правильные формы (модусы) чисто условных умозаключений1:
À Â, Â Ñ |
è |
À Â, Â Ñ |
. |
À Ñ |
|
Ñ À |
|
Ñ ò ð ó ê ò ó ð à |
Ñ õ å ì à |
|||
Åñëè ð, òî q |
|
|
||
Åñëè q, òî r |
|
ð q, q r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ð r. |
|
Åñëè ð, òî r. |
||||
|
|
|||
Ï ð è ì å ð
Если погода испортится (р), экскурсия не состоится (q).
Если экскурсия не состоится (q), то мы пойдем в театр (r).
Если погода испортится (р), то мы пойдем в театр (r).
В записи на языке логики высказываний:
(p q) & (q r) или формула ((p q) & (q r)) (p r) (закон логики). p r
Доказательство тождественной истинности формулы
p |
q |
r |
(( p q ) & ( q r )) ( p r ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
È |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
Ë |
È |
Ë |
Ë |
È |
Ë |
È |
Ë |
È |
Ë |
Ë |
È |
È |
È |
È |
Ë |
Ë |
Ë |
Ë |
È |
È |
Ë |
Ë |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
Ë |
È |
Ë |
È |
Ë |
Ë |
È |
È |
Ë |
Ë |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
Ë |
Ë |
Ë |
È |
È |
È |
È |
È |
|
|
|
|
|
|
|
|
Умозаключение правильное, так как соответствующая формула алгебры логики является тождественно-истинной. Вывод в чисто условном умозаключении основывается на правиле:
Следствие следствия есть следствие основания. Умозаключения такой логи- ческой формы являются правильными.
1 В логике произвольные формулы обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С ... Строго говоря, это не формулы языка, а их схемы, записанные в метаязыке.
158 |
IV. Умозаключение |
|
|
15.3.Условно-категорическое умозаключение (modus ponens)
Условно-категорическое умозаключение — умозаключение, в котором одна из посылок – условное, а другая посылка и заключение – категорические суждения.
Правильные формы (модусы) условно-категорических умозаключений:
À Â, À |
è |
À Â, Â |
. |
|
|
|
|||
 |
À |
|||
|
|
Утверждающий модус (modus ponens):
À Â, À |
. |
|
|
 |
|
Ñ ò ð ó ê ò ó ð à Åñëè p, òî q
p
q
Ñ õ å ì à |
Ï ð è ì å ð |
||
p q |
Если вина обвиняемого не доказана (p), то он |
||
|
p |
считается невиновным (q) |
|
|
|
|
Вина обвиняемого не доказана (p) |
|
q |
||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Обвиняемый считается невиновным (q). |
В записи на языке логики высказываний:
p q, ð |
èëè |
формула ((p q) & p) q — закон логики. |
|||||||
|
|
|
|||||||
q |
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство тождественной истинности формулы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p |
|
q |
|
(( p q ) & p) q |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
È |
|
È |
|
È |
È |
È |
|
|
|
È |
|
Ë |
|
Ë |
Ë |
È |
|
|
|
Ë |
|
È |
|
È |
Ë |
È |
|
|
|
Ë |
|
Ë |
|
È |
Ë |
È |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умозаключение правильное, так как соответствующая формула алгебры логики является тождественно-истинной.
Утверждающий модус, в котором посылка, выраженная категорическим суждением, утверждает истинность основания, а заключение утверждает истинность следствия. Вывод в условно-категорическом умозаключении, имеющем форму (modus ponens), основывается на правиле: рассуждение направлено от утверждения основания к утверждению следствия.
Умозаключения такой логической формы являются правильными.
15. Демонстративные (необходимые) умозаключения |
159 |
|
|
15.4.Условно-категорическое умозаключение (modus tollens)
Отрицающий модус (modus tollens):
À Â, |
 |
. |
|
|
|
À |
|
|
Ñ ò ð ó ê ò ó ð à |
Ñ õ å ì à |
||||
Åñëè p, òî q |
|
p q |
|||
|
Íå-q |
|
q |
||
|
|
|
|
|
|
|
íå-p |
|
p |
||
Ï ð è ì å ð
Если нет кворума (p), то собрание не состоится (q).
Собрание состоится (не-q).
Кворум есть (не-p).
В записи на языке логики высказываний:
p q, q
или формула ((p q) & q) p — закон логики.
p
Доказательство тождественной истинности формулы
p |
p |
q |
q |
(( p q ) & q) p |
||
|
|
|
|
|
|
|
È |
Ë |
È |
Ë |
È |
Ë |
È |
È |
Ë |
Ë |
È |
Ë |
Ë |
È |
Ë |
È |
È |
Ë |
È |
Ë |
È |
Ë |
È |
Ë |
È |
È |
È |
È |
|
|
|
|
|
|
|
Умозаключение правильное, так как соответствующая формула алгебры логики является тождественно-истинной.
Отрицающий модус, в котором посылка, выраженная категорическим суждением, отрицает истинность следствия, а заключение отрицает истинность основания. Вывод в условно-категорическом умозаключении, имеющем форму (modus tollens) основывается на правиле: рассуждение направлено от отрицания следствия к отрицанию основания.
Умозаключения такой логической формы являются правильными.
Помимо правильных форм: |
|
|
|
|
modus ponens A B, A |
; |
modes tollens A B, B |
||
|
B |
|
A |
|
|
|
|
||
условно категорические умозаключения имеют и неправильные формы, в част-
ности такие, как: |
|
|
|
|
|
A B, A |
; |
A B, B |
. |
|
B |
A |
||
160 |
IV. Умозаключение |
|
|
15.5.Разделительно-категорическое умозаключение
Разделительно-категорическое умозаключение — умозаключение, в котором одна из посылок — разделительное, а другая посылка и заключение — категорические суждения. Имеет два правильных модуса: утверждающе-отрицающий и отрицающеутверждающий.
1. Утверждающе-отрицающий модус (modus ponendo |
À Â, À . |
||
 |
|
||
tollens) (1-я форма): |
|||
|
|
||
Ñ ò ð ó ê ò ó ð à |
Ñ õ å ì à |
||||
p èëè q |
p q |
||||
|
p |
|
p |
||
|
|
|
|
|
|
|
íå-q |
|
q |
||
|
|
|
|
||
Ï ð è ì å ð
Преступление совершено умышленно (p) или по неосторожности (q).
Строим умозаключение по утверждающе-от- рицающему модусу:
Данное преступление совершено умышленно (p).
Следовательно, недостоверно, что оно совершено по неосторожности (не-q).
Заключение следует с необходимостью.
В записи на языке логики высказываний:
p q, ð |
èëè |
формула ((p q) & p) q |
— закон логики, |
||||||||
|
|
||||||||||
|
q |
|
|
((p q) & p) q не является законом логики. |
|||||||
|
|
Доказательство тождественной истинности формулы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p |
q |
q |
(( p q ) & p) q |
(( p q ) & p) q |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
È |
È |
Ë |
È |
È |
Ë |
|
Ë |
Ë |
È |
|
|
È |
Ë |
È |
È |
È |
È |
|
È |
È |
È |
|
|
Ë |
È |
Ë |
È |
Ë |
È |
|
È |
Ë |
È |
|
|
Ë |
Ë |
È |
Ë |
Ë |
È |
|
Ë |
Ë |
È |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При — не является законом логики. При — закон логики.
15. Демонстративные (необходимые) умозаключения |
161 |
|
|
|
|
Утверждающе-отрицающий модус (modus ponendo |
À Â, B |
|
|
. |
|
|
||
tollens) (2-я форма): |
 |
|
Ñ ò ð ó ê ò ó ð à |
Ñ õ å ì à |
||||
p èëè q |
p q |
||||
|
q |
|
q |
||
|
|
|
|
|
|
|
íå-p |
|
p |
||
|
|
|
|
||
Ï ð è ì å ð
Преступление совершено умышленно (p) или по неосторожности (q).
Строим умозаключение по утверждающе-от- рицающему модусу:
Данное преступление совершено по неосторожности (q).
Следовательно, недостоверно, что оно совершено умышленно (не-p).
Заключение следует с необходимостью.
В записи на языке логики высказываний:
p q, q |
èëè |
формула ((p q) & q) p |
— закон логики, |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
p |
|
|
((p q) & q) p не является законом логики. |
|||||||
|
|
|
Доказательство тождественной истинности формулы |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
p |
p |
q |
(( p q ) & q) p |
(( p q ) & q) p |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
È |
|
Ë |
È |
È |
È |
È |
Ë |
Ë |
È |
|
|
È |
|
Ë |
Ë |
È |
Ë |
È |
È |
Ë |
È |
|
|
Ë |
|
È |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
È |
|
|
Ë |
|
È |
Ë |
Ë |
Ë |
Ë |
Ë |
Ë |
È |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При — не является законом логики. При — закон логики.
Ïр и м е ч а н и е. В умозаключениях утверждающе-отрицающего модуса в разделительном суждении союз «или» («либо») должен быть строго разделительным. В противном случае умозаключение не будет правильным. Ошибки происходят по причине неразличения в этом модусе соединительно-разделительного ( ) и строго разделительного ( ) смысла союза «или». И еще одно уточнение относительно разделительно-катего- рического умозаключения. Разделительное суждение, входящее в такой тип умозаклю- чения, должно быть полным, т.е. оно должно включать все возможные альтернативы. Это правило обязательно для отрицающе-утверждающего модуса.
Ïр и м е р: Лесной пожар произошел или в результате загорания от молнии или
âрезультате небрежного обращения с огнем.
Этот пожар не произошел в результате загорания от молнии.
Этот пожар произошел в результате небрежного обращения с огнем.
В данном случае заключение не достоверное, а вероятное, так как в разделительном суждении (первая посылка умозаключения) перечислены не все альтернативы, обусловливающие возгорание (например, в результате умышленного поджога и т.д.).
162 |
IV. Умозаключение |
|
|
2. Отрицающе-утверждающий модус (modus tollendo ponens):
Ô î ð ì à
À Â, A
1)
Â
À Â, B
2)
Â
À Â, A
3)
Â
À Â, B
4)
A
Ñò ð ó ê ò ó ð à p èëè q
íå-p
q
p èëè q
íå-q
p
p èëè q
íå-p
q
p èëè q
íå-q
p
Ñ õ å ì à p q, p q
p q, q p
p q, p q
p q, q p
П р и м е р. Преступление совершено умышленно (p) или по неосторожности (q). Строим умозаключение по отрицающе-утверждающему модусу: Данное преступление не является умышленным (не-p).
Следовательно, оно совершено по неосторожности (q). Заключение следует с необходимостью.
В записи на языке логики высказываний:
1) |
{p q} & p |
èëè |
формула |
(( |
|
|
) & |
) |
|
— |
закон логики; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
q |
|
p |
|
q |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
{p q} & q |
èëè |
формула |
(( |
|
|
) & |
|
|
) |
|
— |
закон логики; |
||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
q |
|
q |
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
{p q} & p |
èëè |
формула |
((p q) & |
p) q |
— |
закон логики; |
||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
{p q} & q |
èëè |
формула |
((p q) & |
q) p |
— |
закон логики, |
||||||||
|
|||||||||||||||
p
где {...} — символ закрытой дизъюнкции.
При неполной (открытой) дизъюнкции достоверного заключения получить нельзя. Доказательство формул производится табличным методом.