118	III. Суждение

9.5. Суждения эквивалентности

Суждение эквивалентности1 — это высказывание, в котором утверждается взаимная обусловленность двух ситуаций.

Формулировка такого вида высказываний в естественном языке обычно осуществляется посредством союза «если и только если ..., то ...» или с помощью других союзов и выражений: «тогда и только тогда ..., когда ...», «лишь при условии, что ..., то ...», «в том и только в том случае, когда ..., тогда ...» и т.п.

Союз «если и только если ..., то ...» обозначается символом ↔. Логическая форма эквивалентных суждений: (А ↔ В).

В такого вида суждениях так же, как и в условных высказываниях, можно выделить основание и следствие. Однако в данном случае как основание будет необходимым и достаточным условием для следствия, так и следствие будет необходимым и достаточным условием для основания.

П р и м е р. Если и только если студенты сдадут зачеты, то они будут

допущены к сдаче экзаменов.

В логике эквиваленция представляет собой высказывание вида («А, если и только если В»), которое образовано из высказываний А и В и может разлагаться на две импликации: («Если А, то В») и («Если В, то А»).

П р и м е р. Треугольник является равносторонним, если и только если он

является равноугольным.

Материальная эквиваленция. Суждение с союзом «если и только если ..., то

...», обозначаемое символом ≡ и имеющее логическую форму (А ≡ В), называется суждением материальной эквивалентности.

В такого типа суждениях утверждается, что ситуации, описанные в А и В, или одновременно имеют место быть, или одновременно отсутствуют.

П р и м е р. Если и только если солнце взойдет над горизонтом, то наступит утро.

Определением знака материальной эквивалентности является истинностная таблица, иллюстрирующая зависимость истинности эквивалентного высказывания от истинности составляющих его суждений.

Высказывание вида (А ≡ В) истинно только в случае, когда А и В одновременно истинны или ложны. При различных значениях А и В высказывание (А ≡ В) будет ложным.

Знак эквивалентности ≡ определяется таблицей истинности 5 (см. с. 120).

1 Эквивалент (от лат. aequus — равный и valens (valentis) — имеющий силу, значение, цену) — равносильный, равнозначный.

9. Сложные суждения	119

9.6. Суждение с внешним отрицанием

Суждение с внешним отрицанием — это такое высказывание, в котором утверждается отсутствие некоторой ситуации.

Внешнее отрицание обозначается символом (знаком отрицания). Данному знаку в естественном языке соответствует отрицание «не», «неверно, что» или выражение «недостоверно, что», которые обычно стоят в начале предложения. Располагая выражением «недостоверно, что» перед произвольным ложным высказыванием, получаем истинное высказывание, а из истинного высказывания посредством подстановки к нему этого выражения («недостоверно, что»), образуем ложное высказывание.

П р и м е р. Недостоверно, что Амазонка — маленькая река (истинное высказывание).

Недостоверно, что Амазонка — большая река (ложное высказывание).

Два высказывания называются отрицающими (или противоречащими) друг другу, если одно из них истинно, а другое ложно. Иными словами, они не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Внешнее отрицание, т.е. операцию отрицания в виде образования нового высказывания из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отрицательных высказываний, т.е. от внутреннего отрицания.

П р и м е р ы. Некоторые члены преступной группы не являются рецидивиста-

ми (внутреннее отрицание).

Недостоверно, что все члены преступной группы являются ре-

цидивистами (внешнее отрицание). Внешнее отрицание озна- чает отрицание всего высказывания.

Суждение с внешним отрицанием относится к сложным суждениям и образуется из простого посредством отрицания.

Отрицание — это логическая операция, посредством которой из данного высказы-

вания образуется новое высказывание. Другими словами, из произвольной формулы А получается формула А. Логическим содержанием высказывания, имеющим формуА, является отсутствие ситуации, описываемой в высказывании А. Это означает, что если ситуация, описываемая в высказывании А, отсутствует в действительности, то ситуация, описываемая в высказывании А, соответствует действительности. В этом случае А ложно, а А истинно. И наоборот, если ситуация, описываемая в высказывании А, соответствует действительности, то ситуация, описываемая в высказывании А, отсутствует. В таком случае А истинно, а А ложно.

Определением знака отрицания является истинностная таблица.

Если А истинно, то А ложно; если А ложно, то А истинно. Знак отрицания определяется таблицей истинности 6 (см. с. 120).

П р и м е ч а н и е. Указанное (на с. 114—119) позволяет (при условии знания значения простых суждений, составляющих сложное высказывание) однозначно устанавливать зна- чение последнего, образованного посредством связок &, , , , ≡, . В этом рассмотрении данные символы предстают в качестве знаков функций определенного типа (функций истинности), так как возможными аргументами и значениями последних являются объекты «истина» и «ложь». Пропозициональные связки, являющиеся знаками таких функций, рассматриваются как истинностно-функциональные связки. Только истин- ностно-функциональные связки в качестве логических символов содержатся в языке классической логики высказываний.

120	III. Суждение

9.7.Условия истинности сложных суждений

Истинностные значения сложных суждений зависят от истинностных значений составляющих суждений и от типа их связи. Истинностные значения сложных суждений определяют посредством построения истинностных таблиц. Таблица истинности позволяет выделить из класса формул языка всегда истинные формулы, всегда ложные формулы, установить эквивалентность формул, а также установить отношение логического следования между формулами.

Таблицы истинности

1. Условия истинности конъюнктивного суждения

À	Â	(À & Â)
È	È	È
È	Ë	Ë
Ë	È	Ë
Ë	Ë	Ë

3. Условия истинности строгой дизъюнкции

	À		Â		(À Â)
	È		È		Ë
	È		Ë		È
	Ë		È		È
	Ë		Ë		Ë
		5. Условия истинности
	эквивалентного суждения
	À			Â	(À ≡ Â)
	È			È	È
	È			Ë	Ë
	Ë			È	Ë
	Ë			Ë	È

2. Условия истинности нестрогой дизъюнкции

À	Â	(À Â)
È	È	È
È	Ë	È
Ë	È	È
Ë	Ë	Ë

4. Условия истинности импликативного суждения

À	Â	(À Â)
È	È	È
È	Ë	Ë
Ë	È	È
Ë	Ë	È

6. Условия истинности суждения с внешним отрицанием

À	À
È	Ë
Ë	È

9. Сложные суждения	121

9.8. Логическая форма сложного суждения

Логическая форма сложного суждения — его запись на символическом языке ло-

гики, в которой простые суждения заменяются на символы p, q, r, ...

Âсложном суждении простые суждения (или замещающие их символы) соединены логическими связками.

Выделяют пять основных видов логической связи:

1) конъюнктивная связь (одно наряду и одновременно с другим); 2) неисключающая (слабая) дизъюнктивная связь (по крайней мере одно из

двух); 3) исключающая (сильная) дизъюнктивная связь (только одно из двух);

4) импликативная связь (если есть первое, то обязательно есть второе); 5) эквивалентная связь (если есть первое, то есть второе; нет первого — нет

второго).

Âсоответствии с функциями логических связок различают следующие виды сложных суждений:

конъюнктивные (логическая форма: p & q); дизъюнктивные (логическая форма: p q, p q); импликативные (логическая форма: p q); эквивалентные (логическая форма: p ≡ q).

Любое сложное суждение имеет соответствующую ему логическую форму.

П р и м е р. Дано суждение: Вы получите положительную оценку по логике

тогда и только тогда, когда вы решите все предлагаемые вам задачи и не будете шуметь на занятиях.

Обозначим простые суждения при помощи пропозициональных переменных языка логики высказываний:

вы получите положительную оценку по логике — р; вы решите все предлагаемые вам задачи — q;

вы не будете шуметь на занятиях — r.

Связку «тогда и только тогда, когда» обозначим ≡ (эквивалентность), а связку «не» (отрицание).

Тогда логическая форма данного сложного суждения, записанная на языке логики высказываний, имеет вид:

ð ≡ (q & r).

Таким образом можно выявить логическую форму любого сложного суждения.