В. А. Жилкин

где x xy xz			, т. е. вектор касательного напряжения	x

дополнительно разложен на составляющие вдоль двух направлений y и z. Первый индекс у векторов xy и xz указывает на ориентацию площадки (координату площадки), второй – на то, какой оси параллельна эта составляющая вектора полного напряжения.

Рис. 1.34

Через произвольную точку внутри деформированного тела можно провести бесчисленное множество различно ориентированных в пространстве площадок. В общем случае по каждой из этих площадок действует свой вектор полного напряжения p. Поэтому, говоря о напряжении в данной точке, надо обязательно указывать сечение, по которому оно действует.

Совокупность напряжений, действующих по всевоз-

можным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в данной точке.

1.8. Перемещения точки и линейного отрезка

Под действием внешней нагрузки (сил и температуры) все реальные тела в какой-то степени изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. При деформации тела, его точки, а также мысленно проведенные линии или сечения

68

ГЛАВА1 Основные понятия

перемещаются в плоскости или в пространстве относительно своего исходного положения.

Рассмотрим некоторую произвольную точку M твердого тела, которая до его деформирования имела координаты x, y, и z (рис. 1.35). После приложения к телу внешней нагрузки точка M сместилась в положение M*. Вектор MM r называется полным вектором перемещения точки и определяется своими проекциями u, v и w на оси координат x, y, и z соответственно:

r	ui vj wk ;	(1.22)
r u2 v2 w2 .		(1.23)

Рис. 1.35

Величины u, v и w называются линейными (осевыми) перемещениями точки M, новые координаты которой опре-

деляются соотношениями

x x u ; y y v ; z z w .

Перемещения u, v и w являются непрерывными функция-

ми пространственных координат u u x, y, z , v v x, y, z , w w x, y, z .

Если на систему тел наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее движения в пространстве как

69

В. А. Жилкин

жесткого целого, то система называется кинематически неизменяемой. Только такие системы и рассматриваются в со-

противлении материалов. В этом случае из перемещений всех точек исключаются слагающие переноса тела как абсолютно жесткого и сохраняется та часть, которая свойственна только деформируемому телу. Тогда для подавляющего большинства систем перемещения u, v и w любой точки будут малыми по сравнению с общими размерами тела.

Если в недеформированном теле проведен отрезок AB длиной L, то после приложения к телу нагрузки отрезок AB займет новое положение A1B1 (рис. 1.36). Длина отрезка из-

менится на L. Приращение длины отрезка L называется его абсолютным удлинением. Ввиду малости длины L обыч-

но пренебрегают изменением формы отрезка и считают, что отрезок прямой AB после деформирования тела переходит в отрезок прямой A1B1, но уже другой длины (L + L) и повернутый относительно своего первоначального положения

на некоторые углы A1 A , A1 A , A1 A . Углы , и называют угловыми перемещениями отрезка.

Абсолютное удлинение L измеряется в единицах длины.

Если начальная длина отрезка увеличилась, то L считается положительным, если уменьшилась, то отрицательным.

Рис. 1.36

Угловые перемещения измеряются в градусах или радианах.

70

ГЛАВА1 Основные понятия

Угловые перемещения, положительны, если они происходят в направлении против хода часовой стрелки, в обратном направлении – отрицательными.

1.9.Допущения о характере деформаций

1.Гипотеза о малости перемещений: перемещения отдельных точек твердого тела (линейные и угловые), обусловленные его упругими деформациями, малы по сравнению с размерами самого тела.

Из гипотезы вытекает очень важное следствие: при определении нагрузок и реакций связей перемещениями отдельных точек тела (в частности, точек приложения нагру-

зок) можно пренебречь. Так, например, рассмотрим балку, заделанную одним концом и загруженную на свободном конце сосредоточенной силой (рис. 1.37). Под действием силы балка изгибается, точка приложения силы перемещается по вертикали и горизонтали. Выражение для момента в заделке имеет вид M0 = P(L – u). Однако u<<L, что позволяет пренебречь u по сравнению с L, и момент в заделке можно вычислить по формуле M0 = Pl, соответствующей исходным размерам тела (до его деформирования).

Рис. 1.37

Следствие гипотезы 1. Из гипотезы о малости переме-

щений и идеальной упругости материала конструкции следует

принцип независимости действия сил: результат воздействия

71

В. А. Жилкин

на тело системы сил равен сумме результатов воздействий от каждой из этих сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке.

Гипотеза о малости перемещений не может применяться, во-первых, в случае больших перемещений и, во-вторых, при малых перемещениях, если форма системы меняется существенным образом.

2.Гипотеза плоских сечений (гипотеза Якоба Бернулли6): поперечные сечения бруса, плоские и перпендикулярные его оси до приложения нагрузки, остаются плоскими и перпендикулярными оси бруса и после приложения нагрузки (они могут только поворачиваться) (рис. 1.38). В соответствии с этой гипотезой абсолютные удлинения длин участков волокон бруса, расположенных между его двумя поперечными сечениями, будут определяться только положением двух смежных поперечных сечений бруса.

Рис. 1.38

6

Якоб Бернулли (27.12.1654, Базель – 16.8.1705, там же), профессор математики Базельского университета (1687). Совместно с братом Иоганном положил начало вариационному исчислению. При этом особое значение имели выдвинутая и частью решенная Якобом Б. изопереметрическая задача

инайденное им решение поставленной Иоганном Б. задачи о брахистрохроне. Работал также в области физики (определение центра качания тел

исопротивления тел различной формы, движущихся в жидкости). (БСЭ).

72

ГЛАВА1 Основные понятия

3.Принцип Сен-Венана7: внутренние усилия в точках тела, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки (на расстояниях, в 1,0…1,5 раза превышающих характерный размер поперечного сечения бруса) не зависят от действительного способа приложения этой нагрузки. Т. е. в соответствии с этим принципом мы не будем делать различия между подвешенны-

ми и давящими на балку силами, хотя очевидно, что в области A внутренние усилия для этих двух случаев будут различны (рис. 1.39). В сечениях x > 1,5h внутренние усилия для балок,

изображенных на рис. 1.39, а и б, будут одинаковыми.

а

б

в

Рис. 1.39

4.Гипотеза о естественном состоянии твёрдого тела: считается, что ненагруженное тело свободно от каких бы то ни было внутренних сил любой природы.

7

Барре де Сен-Венан, (Ваrre de Saint-Venant) Адемар Жан Клод (1797–1886), франц. учёный в области механики. По окончании (1816) Политехнической школы в Париже работал инженером, затем преподавал в Школе мостов

идорог в Париже и в агрономическом институте в Версале. Основные труды по теории упругости, сопротивлению материалов, гидравлике, гидродинамике. Ввёл т. н. полуобратный метод решения задач в теории упругости, сформулировал принцип смягчения граничных условий (принцип Сен-Венана)

ипостроил общую теорию кручения и изгиба призматических стержней (1855). Исследовал соударения упругих стержней. Заложил основы теории пластичности идеально пластичного тела (БСЭ).

73