В. А. Жилкин

происходит за счет сдвига по плоскостям действия max . Так разрушаются образцы из хрупких материалов при сжатии.

Таким образом, третья теория прочности позволяет рассматривать предельные состояния хрупкого сдвига и текучести с единой точки зрения.

Существенным недостатком теории является то, что в ней не учитывается влияние на прочность материала второго (среднего) главного напряжения 2 .

7.5.Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)

В конце XVIII-го столетия Бельтрами35 высказал гипотезу: прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивается в том случае, если удельная потенциальная энергия деформации не превосходит допускаемой удельной потенциальной энергии, установленной для одноосного напряженного состояния.

1		2		2		2	2							2
														.
				2		3
2E		1							1 2	2 3	3 1			2E

Однако это предположение не получило экспериментального подтверждения. Было замечено, что при гидростатическом сжатии в теле накапливается большое количество потенциальной энергии, а материал не переходит в пластическое состояние.

35

Бельтрами Эудженио (Beltrami Е., 16.11.1835–18.02.1900). Окончил Павийский университет. В 1862–1873 гг. профессор Болонского, в 1873–1876 гг. и 1891–1900 гг. – Римского, в 1876–1891гг. – Павийского университетов. Основные работы Бельтрами относятся к дифференциальной геометрии, алгебре, математическому анализу и математической физике. Опубликовал работу о неевклидовой геометрии, сыгравшую существенную роль в ее развитии и, в частности, в развитии геометрии математика Николая Ивановича Лобачевского (01.12.1792–24.11.1856). Изучал кинематику жидкости, теорию потенциала, теорию теплопроводности. Принял за критерий возникновения пластических деформаций при неодноосном напряженном состоянии потенциальную энергию деформации.

266

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

Эксперименты показывают, что при пластическом течении материала коэффициент Пуассона 0,5 . А это значит, что при деформации течения объем материала не меняется, а меняется только форма. Это, в свою очередь, наводит на мысль, что при энергетическом анализе пластического течения определяющим фактором должна быть та часть потенциальной энергии деформации, которая связана с изменением формы. Поэтому в 1904 г. М. Хубер36 предложил для лучшего согласования экспериментальных данных с теорией Бельтрами использовать гипотезу: прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивается в том случае, если удельная потенциальная энергия изменения формы не превосходит допускаемой удельной потенциальной энергии изменения формы, установленной для одноосного напряженного состояния.

Так как согласно (5.32) удельная потенциальная энергия изменения формы при сложном напряженном состоянии

uф 16E 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ,

а при одноосном растяжении образца ( 2 3 0 )

u 1 2 2 ,

ф 6E 1

то условие равноопасности элемента и образца запишется так:

1	2	1		2	2	2 3	2	3 1	2	.
6E	2 экв	6E
			1

36

Хубер Максимилиан Тытус (Huber М.Т., 04.01.1872–09.12.1950) – механик и инженер. В 1904 г. предложил критерий пластичности на основе учета потенциальной энергии изменения формы. Ему также принадлежат исследования изгиба ортотропных пластин (по-видимому, он впервые ввел понятие конструктивной ортотропии), контактных напряжений, температурных напряжений в толстостенных цилиндрах. Им написаны курс сопротивления материалов и двухтомный курс теории упругости.

267

В. А. Жилкин

Отсюда получаем расчетную формулу для эквивалентного напряжения по энергетической теории:

экв i	1		2	2 3		2			3 1	2
	2 1 2										.					(7.5)
Течение материала в опасной точке детали начнется при
экв i	1	2		2	2 3			2	3 1			2		т
	2 1														.	(7.6)

Формула (7.6) не содержит никаких упругих постоянных и, следовательно, не связана с условием упругого состояния материала до момента разрушения. На этом основании Р. Мизес37 в 1913 г., а Г. Генки в 1924 г. предложили принять

(7.6) как условие перехода материала из упругого состояния в пластическое. Это условие часто называют условием пла-

стичности Хубера-Мизеса. Условие прочности имеет вид

экв	1	2	2	2 3	2	3 1	2		i	т
	2 1									n		. (7.7)

Отметим, что существуют другие трактовки физического смысла рассматриваемой теории, не связывающие ее с потенциальной энергией деформации. Так, величина интенсивностью нормальных напряжений

i 3J2 D 3T

37

Рихард Эдлер[1] фон Мизес (нем. Richard Edler von Mises, 19.04.1883– 14.07.1953) – математик, механик; работы посвящены аэродинамике, прикладной механике, механике жидкости, аэронавтике, статистике и теории вероятности. В теории вероятностей предложил и отстаивал частотную концепцию понятия вероятности, ввёл в общее употребление интегралы Стилтьеса и первым разъяснил роль теории марковских цепей в физике; был невероятно динамическим человеком и в то же самое время удивительно универсальным.

268

т,сж

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

пропорциональна касательному напряжению (интенсивности касательных напряжений, формулы (3.40) и (3.41)) на площадке, равнонаклоненной к главным площадкам в исследуемой точке. И, следовательно, для построения данной теории можно в качестве критерия пластичности принять октаэдрическое касательное напряжение.

Теория прочности энергии формоизменения устанавливает начало течения, а не разрушения материала. Поэтому она неприменима для хрупких материалов.

Эта теория, как показывают опыты, дает хорошие результаты для пластических материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Для материалов, имеющих различные пределы текучести при растяжении и сжатии, эта теория опытами не подтверждается.

Возможность применения рассматриваемой теории для материалов с т,р подтверждена опытами только для плоского напряженного состояния и трехосного напряженного состояния с главными напряжениями разных знаков.

Энергетическая теория формоизменения по сравнению с третьей теорией прочности обладает тем преимуществом, что в ней учитывается влияние всех трех главных напряжений, а выражение для экв имеет симметричный характер и не изменяется при циклической замене индексов у главных напряжений.

Так как формоизменение элемента связано со сдвигами и касательными напряжениями, то четвертая (энергетическая) и третья теории прочности, оперирующие с касательными напряжениями, оказываются количественно близкими между собой (максимальное расхождение составляет 13%).

7.6.Теория Мора (феноменологическая теория)

Согласно этой теории предельное состояние (текучесть или разрушение) материала наступает тогда, когда определенная совокупность нормального и касательного

269

В. А. Жилкин

напряжений на одной из площадок достигает некоторого предельного значения, зависящего от свойств материала

ивида напряженного состояния.

Врассмотренных выше четырех теориях прочности выдвигалась гипотеза о причине возникновения предельного

состояния (критерий пластичности или критерий разрушения), которая в дальнейшем проверяется экспериментами. В теории О. Мора (1900 г.) условия наступления предельного состояния материала устанавливаются не путем введения какого-либо критерия, а путем систематизации непосредственно экспериментальных результатов. Он исходил из допущения, что из всех площадок с одинаковым по величине нормальным напряжением наиболее вероятно разрушение или текучесть на той, где окажется наибольшим касательное напряжение. Соответствующие этим слабейшим площадкам, точки лежат на большой главной окружности круговой диаграммы Мора (см. рис. 3.6). Поэтому можно рассматривать только эту окружность и считать, что 2 никак не влияет на предельное состояние. Большой круг диаграммы напряже-

ний, построенный на предельных значениях главных напряжений 1 и 3 , называют кругом предельных напряжений.

По результатам экспериментов при различных сочетаниях 1 и 3 : одноосном растяжении, растяжении в двух и трех направлениях, растяжении в одном и сжатии в другом направлении, при одноосном сжатии и т. д., можно построить на плоскости Мора большие круги, соответствующие достигнутым в экспериментах предельным состояниям. Если круги предельных напряжений для всех исследованных напряженных состояний построить на одном графике, то они расположатся на нем примерно так, как показано на рис. 7.2.

Огибающая кругов предельных напряжений называется

кривой предельных напряжений и определяет координатами своих точек предельную совокупность касательных и нормальных напряжений для данного материала при различных напряженных состояниях. Если напряженное состояние в опасной точке детали таково, что большой круг ее диаграммы напря-

270

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

жений коснется кривой предельных напряжений для материала детали, то согласно теории Мора в этой точке начнется разрушение или текучесть материала. Если же главные напряжения в опасной точке таковы, что большой круг напряжений расположен внутри области, ограниченной осью абсцисс и кривой предельных напряжений (см. рис. 7.2), то деталь будет обладать некоторым запасом прочности.

Рис. 7.2

На участке между кругами предельных напряжений для одноосного растяжения и осевого сжатия кривая предельных напряжений имеет малую кривизну. Для упрощения расчетной формулы принято заменять кривую предельных напряжений на данном участке прямой касательной к кругам предельных напряжений для осевого растяжения и сжатия (см. рис. 7.2). Запас прочности, определяемый по этой прямой, будет несколько меньше истинного.

Разделим предельные напряжения при простом растяжении и сжатии на один и тот же запас прочности n и построим круги напряжений для полученных значений допускаемых напряжений р и сж . Касательная к этим кругам будет прямой допускаемых напряжений, соответствующих запасу прочности n . Если напряженное состояние в исследуемой точке детали таково, что его большой круг напряжений касается

271

В. А. Жилкин

построенной прямой допускаемых напряжений, то это напряженное состояние равноопасно как одноосному растяжению, так и одноосному сжатию, к кругам которых проведена касательная. Поэтому напряжение указанного осевого растяженияр можно рассматривать как эквивалентное напряжениеэкв для исследуемого напряженного состояния.

Рис. 7.3

Установим аналитическую зависимость между главными напряжениями исследуемого напряженного состояния и равноопасного ему одноосного растяжения. Опустим из центров кругов напряжений перпендикуляры на прямую допускаемых напряжений (рис. 7.3) и проведем из точки А прямую, параллельную оси абсцисс. Получим два подобных треугольника ACD и ABE. Из подобия этих треугольников следует, что

CD	BE
AC	AB ,
где	сж	р ;		АC сж р ;
CD
	2				2
BE	1 3		р ; AB		р		1 3 .
	2		2		2		2

272

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

Подставляя найденные значения сторон треугольников в записанное выше равенство отношений этих сторон, получаем

			1	3
сж	р					р .
				р	1 3
сж	р

Откуда

р сж сж 1 р 3 0 .

Учитывая, что напряжение при осевом растяжении р принято в качестве эквивалентного для рассматриваемого напряженного состояния, запишем последнее уравнение так:

	экв 1	р	3 .
		сж

Вводя обозначение р сж , получаем расчетное уравнение теории прочности предельных напряженных состояний

	экв	1	3					(7.8)
и условие прочности
		1	3		р		.	(7.9)
	экв
При вычислении р и сж						был принят один и тот же
запас прочности, поэтому коэффициент								равен отношению

предельного напряжения при растяжении к предельному напряжению при сжатии.

	Для хрупких материалов	в,р	, для пластичных –	т,р	.
		в,сж
				т,сж

Если пластичный материал имеет равные пределы текучести при растяжении и сжатии, то 1 и рассматриваемая теория, как видно из формул (7.4) и (7.9), дает те же результаты,

273

В. А. Жилкин

что и третья теория. Для очень хрупких материалов есть правильная малая дробь, и теория Мора для них дает результаты, приближающиеся к результатам расчета по первой теории. Теория Мора, как и третья теория, имеет тот недостаток, что в ней не учитывается влияние второго главного напряжения на прочность материала. Кроме того, сложность построения кривой предельных напряжений и необходимость получения простых расчетных формул заставляет заменить эту кривую прямой линией. Такая замена упрощает аналитическое решение задачи, но ограничивает пределы применимости формулы (7.9) областью диаграммы между кругами для одноосного растяжения и сжатия. Возможность применения этой формулы для расчетов на прочность при трехосном растяжении или сжатии требует специальной экспериментальной проверки.

Принципиальным преимуществом теории Мора перед рассматриваемыми ранее теориями является то, что она целиком базируется на опытных данных, и всегда имеется возможность внести в эту теорию уточнения путем аппроксимации огибающей предельных кругов не прямой линией,

а некоторой кривой.

7.7.Выбортеориипредельныхсостоянийприпрочностных расчётах элементов деталей машин и механизмов

Обзор многочисленных теорий предельных состояний показывает, что совершенной теории еще нет. Каждая из существующих теорий справедлива только в определенных условиях и для определенного класса материалов.

Изложенными теориями можно уверенно пользоваться только при напряженных состояниях с главными напряжениями разных знаков. Возможность применения этих теорий в случаях трехосного растяжения или сжатия требует дополнительной экспериментальной проверки.

При выборе теории прочности в случае плоского напряженного состояния и объемного напряженного состояния с главными напряжениями разных знаков надо учитывать

274