ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела

i	2	1 2 2 2 3 2	3	1 2	, (4.16)
	3
а интенсивностью угловых деформаций –

Г	2	1	2 2	2	3 2	3	1 2 . (4.17)
	3

4.4. Объёмная деформация

При деформации тела изменяется также и его объём. Изменение объёма в основном происходит вследствие изменения длин ребер параллелепипеда, искажения его углов меняет объём лишь на малую величину высшего порядка малости.

Обозначим размеры сторон элементарного параллеле-

пипеда, вырезанного из недеформированного тела, через dx, dy, dz. Начальный объем параллелепипеда V0 dxdydz .

После деформирования тела размеры сторон параллелепипеда станут равными:

dx dx dx 1 x ; dy dy dy 1 y ;

dz dz dz 1 z ,

а объем определится зависимостью

V1 V0 1 x 1 y 1 z .

Изменение объема составит

V V1 V0 V0 1 x 1 y 1 z 1

V0 x y z б.м.

(4.18)

157

В.А. Жилкин

Ввыражении (4.18) обычно пренебрегают произведени-

ем деформаций по сравнению с первыми степенями деформаций ввиду их малости (если 10 4 , то 2 10 8 ). Поэто-

му при малых деформациях изменение объема материала определяют по формуле

V V0 x y z .

(4.19)

Изменение объёма, отнесённое к начальному объёму, называется относительной объёмной деформацией.

Относительное изменение объема, или относительную объемную деформацию, можно определить по формуле

		V	x		y		z	,	(4.20)
		V
а так как x y		z 1		2		3			const , то формулу (4.20)
можно записать и в таком виде
					,
	1 2 3								(4.21)

Зависимости (4.20) и (4.21) справедливы как для упругих, так и для упругопластических деформаций.

158

ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела

Вопросы для самопроверки

1.Какая величина называется мерой относительного удлинения (относительной деформации)?

2.Какая величина называется мерой изменения формы?

3.Дайте определение деформации сдвига?

4.Запишите соотношения Коши.

5.Что понимают под деформированным состоянием в точке тела?

6.Как определяется относительная продольная деформация по произвольному направлению в плоскости, если известны относительные деформации для двух ортогональных направлений и деформация сдвига, определяемой этими двумя направлениями?

7.Как определяется сдвиговая деформация в произвольной плоскости, если известны относительные деформации для двух ортогональных направлений и деформация сдвига в плоскости, определяемой этими двумя направлениями?

8.Запишите формулу для определения главных деформаций в случае плоского напряженного состояния.

9.Как определить направление главных деформаций?

10.Чему равна максимальная деформация сдвига?

11.Какая физическая величина называется объемной деформацией и как она определяется?

12.Как определяется интенсивность деформаций и интенсивность угловых деформаций?

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

I.Напряжённое состояние элементарного объёма – чистый сдвиг. 50 МПа; G 8 104 МПа. Угол сдвига в радианах

равен …

159

В. А. Жилкин

1

2

3

4

1,25·10–4

3,25·10–4

4,25·10–4

6,25·10–4

II. Два взаимно перпендикулярных элемента OC и OD после де-
формации тела заняли новое положение O1C1 и O1D1 (см. ри-
сунок). Величина		lim				называется…
	COD			COD C O D
		OC 0		1 1 1
		OD 0
		1		2		3	4

	угловым	относи-	угловой
		тельной		углом
	переме-		деформа-
		деформа-		поворота
	щением	цией	цией

III.Элемент AB длиной dx после деформации тела занял поло-

жение A1B1 (см. рисунок) при этом точка A переместилась в направлении оси x на величину u, а точка B на

u u dx .x

Относительная линейная деформация в направлении оси x равна…

160

ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела

1

2

3

4

x

u

x

u

x

u

x

u

z

x

y

x

161