ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов

Пример 5.5. Сравнить удельные потенциальные энергии деформаций для
резины при напряжении 1 4,0 МПа и для стали при напря-
жении 2 160,0 МПа (Eрез 8 МПа, Eст			2,1 105 МПа).
Используя зависимость (5.28) u		2	, вычислим удель-
		x
	2E

ные потенциальные энергии резины и стали.

Энергия деформаций в единице объема стальной детали примерно в 16 раз меньше, чем в резиновой, хотя напряжения в первой в 40 раз выше, чем во второй. Способность резины к накоплению большой энергии деформаций при невысоких напряжениях используют, применяя резину в различных амортизирующих устройствах.

5.6. Теорема Кастильяно21

Теорема гласит: перемещение точки приложения силового фактора к упругой системе равно частной производной потенциальной энергии деформаций по этому силовому фактору.

21

Механик и инженер Карло Альберто Кастильяно (Castigliano С. А., 08.11.1847–25.10.1884) родился в г. Асти (Пьемонт, Италия) в бедной семье. Окончив с отличием начальную школу, продолжал обучение в технической школе в г. Асти, которую также окончил с отличием в 1865 г. Затем посещал до 1866 г. лекции в Индустриальном институте в Турине (Сардиния, Италия). Не имея возможности из-за финансовых трудностей продолжать образование до получения квалификации инженера, окончил в 1866 г. трехмесячные курсы и получил диплом преподавателя механики в только что организованных технических школах. В 1870 г. поступил на факультет чистой математики в Туринский университет, причем сдал все экзамены трехлетнего учебного плана за один год, зарабатывал на жизнь частными уроками

189

В. А. Жилкин

Если потенциальная энергия выражена через усилия R1, R2,…, Rn, то перемещения i точек приложения этих сил можно найти по формуле

		i		U	( i 1,2,...,n).	(5.43)
				R
				i

Пример 5.6. Для кронштейна, изображённого на рис. 5.8, требуется определить вертикальное перемещение v узла C.

Потенциальная энергия, накопленная стержнями кронштейна:

U 2 Ni2Li .

i 1 2EiFi

Выразим усилия в стержнях через заданную силу P. Решение системы уравнений равновесия выполним в MathCAD в символьном виде.

Теперь можем обычным способом найти вертикальное перемещение точки C.

ипереводами иностранных научных книг (главным образом с немецкого и французского языков). После окончания университета поступил в Туринский политехнический институт, в котором он прошел за два года пятилетний курс. В 1875 г. Альберто Кастильяно независимо от Максвелла

иМора разработал метод определения перемещений в упругих системах. Он представил диссертацию на тему «Принцип минимума работы», который был выдвинут без доказательства военным инженером Л.Ф. Менабриа в книге, опубликованной в 1867 г. Кастильяно в своей диссертации (1873) доказал теорему Менабриа и дал ее приложение к ряду задач. После защиты диссертации Кастильяно работал для компании Северной Итальянской железной дороги и в 1879 г. опубликовал на французском языке расширенный вариант своих тезисов, которые содержали больше положений, применимых к практическим инженерным проблемам. Эта книга была переведена на немецкий язык в 1886 г., а в 1919 г. – на английский. Метод Кастильяно до сих пор широко используется в расчетах статически неопределимых криволинейных конструкций, таких как упругие арки, выполненные из стали или из железобетона, но не из камня. А. Кастильяно скончался в расцвете творческих сил в возрасте 37 лет, простудившись и заболев воспалением легких (http://www.mysopromat.ru; http://historystroy.ru/).

190

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов

Итак, используя теорему Кастильяно, мы получили тот же результат: вертикальное перемещение узла C v = 4,295 мм, что и в примере 5.4.

191

В. А. Жилкин

Вопросы для самопроверки

1.Какой вид деформирования бруса называется центральным растяжением или сжатием?

2.Что называется модулем упругости E? Как влияет величина E на деформации бруса?

3.Как связаны между собой упругие константы E, G и изотропного материала?

4.Что называется абсолютной и относительной поперечными деформациями бруса?

5.Что происходит с поперечными размерами бруса при его растяжении и сжатии?

6.Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона) и какие он имеет значения?

7.Как формулируется закон Гука при одноосном растяжениисжатии?

8.Какую форму принимает закон Гука при двухосном растяжениисжатии?

9.Какую форму принимает закон Гука при чистом сдвиге?

10.Какое напряженное состояние называется чистым сдвигом? Как реализовать такое состояние в пластине, нагруженной в ее плоскости?

11.Какие величины связаны шестью соотношениями закона Гука?

12.Какие напряжения называются темперными?

13.Как найти относительную деформацию, вызванную изменением температуры упругого тела?

14.Какая физическая величина называется объёмным модулем упругости?

15.Дайте определение потенциальной энергии упругих деформаций.

16.Чему численно равна потенциальная энергия деформаций?

17.Какое нагружение стержня называется статическим?

18.Чему равна работа статически прикладываемой внешней силы?

19.Как определяется удельная потенциальная энергия при растяжении-сжатии?

192