ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

Таким же путем раскроем второе уравнение равнове-

сия (уравнения движения).

Итак, уравнения равновесия (уравнения движения) примут вид

x

yx

X 0

2u

t2

;

y

x

xy

y

Y 0

2v

2

.

(3.7)

x

y

t

Два дифференциальных уравнения равновесия содержат три неизвестных компонента напряжений ( x , y , xy ). В связи с этим можно заключить, что задача определения напряжения в твердом теле всегда статически неопределима и для её решения необходимо к уравнениям равновесия добавить геометрические уравнения.

3.3.Исследование напряженного состояния в данной точке тела

		Пусть	клин вырезан внутри упругого тела и пусть
p	x	и p y	являются проекциями полного напряжения p

по наклонной грани на оси случайной системы координат Oxyz (рис. 3.3, б). Зная проекции полного напряжения ( p x , p y ), без труда найдем нормальное и касательное напряжения по наклонной грани. Для этого примем нормаль

кплощадке и ось за оси новой системы координат.

Всоответствии с формулами (3.5):

p x xl xym ; p y xyl ym .

Нормальное напряжение получим как сумму проекций напряжений p x , p y на нормаль :

p xl p ym xl xym l

xyl ym m xl2 ym2 2 xylm.

123

В. А. Жилкин

Аналогично получим касательные напряжения , проектируя p x , p y , ось :

p xm p yl xlm yml

xy m2 l2 .

Переходя к тригонометрическим зависимостям, получим формулы для определения напряжений в наклонных площадках, по известным напряжениям в двух взаимно перпендикулярных площадках:

	x cos2 y sin2 xy sin2						;	(3.8)
		x y	sin2	xy	cos2	.		(3.9)
	2

В курсах сопротивления материалов в первом уравне-

нии перед xy и перед дробью x y во втором уравне-

2

нии стоят обратные знаки. Разность в знаках обусловлена различием в правилах знаков для касательных напряжений, принятых в курсах сопротивления материалов и теории упругости.

Напряжения можно найти по взаимно перпендикулярной площадке, составляющей угол ( 90 ) с осью x , если

воспользоваться зависимостями (3.8) и (3.9), заменив в них угол на ( 90 ) :

1

1 1

x sin2 y cos2 xy sin2 ;

x y sin2 xy cos2

2

.

(3.10)

(3.11)

Из зависимости (3.11), в частности, следует, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках связаны законом парности касательных напряжений.

124

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

Сложим уравнения (3.8) и (3.10):

1 x y const .

Сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина постоянная (формулируют так: сумма нормальных напряжений инвариантна к повороту координатных осей).

Используя известные из тригонометрии равенства

2cos2 1 cos2 ;

2sin2 1 cos2 ,

формулы (3.8) и (3.9) можно преобразовать к виду

x

y

x

y

cos2 xy sin2 ;

2

2

x

y

(3.12)

sin2

xy cos2 .

2

Зависимостям (3.12) можно дать наглядную геометрическую интерпретацию, впервые предложенную немецким ученым в области сопротивления материалов и строительной механики О. Мором14.

Перепишем уравнения (3.12) в виде

x

y

x

y

cos2 xy sin2 ;

2

2

x y

(3.13)

sin2 xy cos2 .

2

14

Мор (Mohr) Кристиан Отто (8.10.1835, Вессельбурен, Гольштейн – 3.10.1918 Дрезден), немецкий учёный в области строительной механики и сопротивления материалов. Окончил Политехнический институт в Ганновере. С 1868 преподавал в Штутгартском, а с 1873 – в Дрезденском политехническом институтах. Создатель одной из теорий прочности (теория прочности Мора), графических методов определения напряжений при сложном напряжённом состоянии (круг Мора). М. впервые применил расчёт конструкций на невыгодное загружение с помощью линий влияния, создал теорию расчёта статически неопределимых систем методом сил. М. разработал также метод расчёта неразрезных балок с помощью уравнений 3 моментов, предложил графический метод построения упругой линии в простых и неразрезных балках (БСЭ).

125

В. А. Жилкин

Возведем в квадрат левые и правые части соотношений (3.13) и затем сложим их. В результате (рис. 3.4) получим уравнение

			x y 2			2	x y 2			2
										xy , (3.14)
			2				2

представляющее уравнение окружности в системе прямоугольных координат ( – ось абсцисс) и ( – ось ординат) с центром в точке x y / 2 и радиусом

x y 2 2xy .2

Рис. 3.4

Эта окружность называется кругом Мора, или кругом напряжения. Каждой точке окружности соответствуют нор-

мальные и касательные напряжения в некоторой площадке, проходящей через рассматриваемую точку плоской пластины, нагруженной в своей плоскости. Точка C на круге Мора

126

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

соответствует напряженному состоянию по вертикальной площадке с нормалью x; точка D – напряженному состоянию по горизонтальной площадке с нормалью y. Точки F и G определяют величины главных напряжений. С помощью круга Мора легко определяются и направления главных напряжений.

Подробное описание графических способов определения напряжений можно найти в старых учебниках по сопротивлению материалов, например, в книге Н.М. Беляева15.

Ввыражение (3.14) входят напряжения, действующие

вдвух взаимно перпендикулярных площадках. Так как оно квадратичное, то знак касательных напряжений xy никоим образом не влияет на форму кривой – круга Мора, и потому

она одна и та же при разных правилах знаков для касательных напряжений, принятых в курсах «Сопротивление материалов» и «Теория упругости». Но ситуация резко изменяется, когда возникает необходимость определить с помощью круга Мора напряжение в некоторой наклонной площадке.

На круге Мора точки, соответствующие напряжениям в двух взаимно ортогональных площадках, например с нормалями x и y, лежат на противоположных концах диаметра круга, а это

значит, что знаки касательных напряжений для этих площадок должны быть противоположными. При принятых же нами правилах знаков они одного знака. Об этом надо помнить при построении кругов Мора. Если придерживаться правил знаков, введенных в курсе «Сопротивление материалов», при построении кругов Мора проблем не возникнет.

Из круга Мора, в частности, следует, что максимальные касательные напряжения не превышают радиуса круга Мора:

max			x		y	2	2xy		max		min	. (3.15)
				2						2

Площадки, в которых действуют max , составляют угол 450 с главными площадками; нормальные напряжения в этих площадках равны средним напряжениям

15 Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1976. 608 с.

127

В. А. Жилкин

max min .

2

В частном случае, когда на гранях призмы действуют два главных напряжения, равные по величине и обратные

по знаку: max 1 и min 3 (рис. 3.5), экстремальные касательные напряжения численно равны главным

напряжениям:

max 1 3 ,

2

а нормальные напряжения на площадках с экстремальными касательными напряжениями численно равны нулю:

ср	1 3			0 .
	2		2

Рис. 3.5

Такой случай напряженного состояния носит название чистого сдвига, а площадки, на которых действуют только

касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига.

128