В. А. Жилкин

Рис. 1.32

Величины Q и My могут отличаться от точных, найденных стандартным методом сечений в курсе сопротивления материалов. Погрешность численных расчетов зависит от числа элементов, на которые была разделена балка. Увеличение числа элементов в разумных пределах обычно приводит

к уменьшению этой погрешности.

1.7.Напряжения. Понятие о напряженном состоянии

Пусть задано твердое тело, нагруженное некоторой системой сил (рис. 1.33, а).

Поставим задачу определить внутреннюю силу в достаточно малой окрестности точки K по площадке заданного направления. Рассечем тело плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной заданному направлению, на две части – A и B. После рассечения тела часть B отбросим. В плоскости сечения у точки K выделим элементарную площадку F; направление этой площадки будем характеризовать внешней нормалью v. При помощи внешней нормали мы кратко и ясно указываем не только направление площадки, но и ту часть тела B или A, которая отбрасывается.

64

Pk,

ГЛАВА1 Основные понятия

а

б

Рис. 1.33

В соответствии с основной теоремой статики (теоремой Пуансо) все силы, действующие по площадке F, мы можем

заменить эквивалентной системой, состоящей из силы, равной главному вектору сил Pk, , и пары сил, момент которой равен главному моменту Mk, . Вследствие малости площадки F главным моментом Mk, обычно пренебрегают (рис. 1.33, а).

Отношение главного вектора сил к размеру элементарной площадки F

	Pk,			Pk,
		ср		F

называется средним напряжениемв рассматриваемой точке K по площадке с нормалью .

При стремлении элементарной площадки F к нулю изменяется как направление, так и модуль главного вектора Pk, , который также стремится к нулю. Однако из физических соображений можно заключить, что предел отношения Pk, / F при стремлении F к нулю будет величиной конечной:

		Pk,	lim	Pk,			(1.18)
						.
				F
			F 0

65

В. А. Жилкин

Векторная величина Pk, называется полным напряжением в данной точке K по рассматриваемой площадке с нормалью .

Всистеме СИ единицей измерения напряжений является паскаль (Н/м2).

Впрактических расчетах удобнее измерять напряжения в мегапаскалях МПа = 106 Н/м2 = Н/мм2. В технике еще часто измеряют напряжения в килограммах силы на квадратный сантиметр (кгс/см2 ≈ 0,1 МПа) или квадратный миллиметр (кгс/мм2 ≈ 10 МПа).

Разложим вектор Pk, на две составляющие: касательную Tk, и нормальную Nk, , из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая – перпендикулярна этой плоскости:

Pk, Tk, Nk, .

(1.19)

Подставим (1.19) в соотношение (1.18), получим

Tk, Nk,

Tk,

Nk,

p

lim

lim

lim

k,

k,

,

k,

F 0

F

F 0

F

F 0

F

т.е.

pk,

k, k,

,

(1.20)

где

Nk,

Tk,

k,

lim

,

k,

lim

–

F

F

F 0

F 0

нормальное и касательное напряжения в точке K по площадке с нормалью .

Обычно у обозначения напряжений знак вектора ( ) опускают и во всех формулах используют только модули этих векторов; направление векторов указывается на рисунках

66

ГЛАВА1 Основные понятия

стрелками либо знаками (+), (–). Также опускается и индекс «k», указывающий на то, что напряжения относятся только к точке K. Поэтому в дальнейшем будем помнить о том, что величины напряжений , , p характеризуют величину внутренних усилий в окрестности какой-то определенной точки по площадке с нормалью v. На различно ориентированных площадках, проходящих через одну и ту же точку, напряжения будут различными как по величине, так и по направлению.

Модуль вектора полного напряжения p (рис. 1.33, б) в соответствии с зависимостью (1.19) определяется по формуле

p					2		2	.	(1.21)

Разложение полного напряжения на составляющие не является формальным приемом, а обосновано физически. Нормальные напряжения стремятся сблизить или удалить отдельные частицы тела по направлению нормали к сечению и связаны с сопротивлением материала тела отрыву одной части от другой.

Касательные напряжения стремятся сдвинуть одни частицы тела относительно других по плоскости сечения и связаны с сопротивлением материала тела сдвигу этих частей.

Поэтому касательные напряжения называются еще напряже-

ниями сдвига.

Если нормаль к рассматриваемой площадке будет совпадать с осью x, то формулы (1.20) и (1.21) примут вид

px x x ; px

x 2 x 2 .

В ряде случаев бывает удобно разложить вектор полного напряжения на три составляющие, направленные параллельно координатным осям (рис. 1.34):

				x	2	xy	2	xz	2
px x xy xz ; px										,

67