В. А. Жилкин

10.4.Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев

Нормальные напряжения при поперечном изгибе тонкостенных брусьев вычисляют по формуле (10.9). Однако для определения касательных напряжений уже нельзя непосредственно воспользоваться формулой Журавского (10.18), так как при ее выводе не принимались во внимание напряжения xyz , являющиеся для многих элементов тонкостенных сечений основными составляющими касательных напряжений.

Для тонкостенных сечений эта формула должна быть соответствующим образом видоизменена.

Здесь так же, как и при кручении тонкостенных брусьев, принимается гипотеза: касательные напряжения направлены параллельно касательной к срединной линии сечения и по его толщине распределены равномерно.

Определим касательные напряжения x при поперечном изгибе тонкостенного бруса открытого профиля

(рис. 10.10, а). Произведение на толщину сечения называют потоком касательных напряжений q , пока-

зывая тем самым, что распространяются по сечению подобно потоку жидкости в трубопроводе аналогичной формы. Направление потока касательных напряжений определяется направлением поперечной силы Qz .

Пусть требуется определить касательные напряжения в точках нормали n n к средней линии поперечного сечения. Как и в случае балок сплошного сечения, будем искать равные им по величине напряжения в продольном сечении, содержащем эту нормаль. Выделим элемент бруса длиной dx указанным продольным и двумя поперечными сечениями и составим для него условия равновесия X 0 (рис. 10.10, б).

По торцевым граням элемента действуют касательные x и нормальные x напряжения.

450

ГЛАВА10 Прямой изгиб

а

б

Рис. 10.10

Равнодействующие нормальных напряжений по отсеченным площадкам

Nл x d x dF ; Nпр xdF ; Nл Nпр

Fотс Fотс

различны по величине и направлению. Так как предполагается, что давление между волокнами отсутствует, то в продольном сечении действуют только постоянные равномерно распределённые по толщине касательные напряжения xA , равные касательным напряжениям в точке A поперечного сечения. Равнодействующая этих касательных напряжений:

T xA dx .

Все остальные части поверхности элемента совпадают с боковой поверхностью бруса и поэтому свободны от продольных касательных нагрузок.

Уравнение равновесия системы сил, приложенных к выделенному элементу, имеет вид

Nл Nпр T 0 .

451

В. А. Жилкин

Откуда, учитывая, что по (10.16)

dN dMy Syотс , Jy

опуская знаки, указывающие на направление внутренних силовых факторов, в дифференциальной зависимости

dM Qz dxy

и индекс A у касательного напряжения xA , указывающего на принадлежность напряжения к произвольной точке срединной линии поперечного сечения, получим

				Q	Sотс
		x		z	y		.	(10.20)
				Jy

По внешнему виду уравнения (10.18) и (10.20) одинаковы. По существу же они различны, так как формула (10.20) определяет не составляющую xz , а полное касательное напряжение x в точках поперечного сечения с нормалью x. Необходимо помнить, что это уравнение, как и (10.18), справедливо лишь тогда, когда плоскость действия нагрузки перпендикулярна главной центральной оси инерции сечения.

Построим эпюру x при изгибе тонкостенного двутавра в вертикальной плоскости симметрии (рис. 10.11). Ординаты эпюр откладываются на нормалях к средней линии сечения, а действительные направления x указываются на эпюрах стрелками.

Вследствие симметрии сечения и нагрузки, касательные напряжения в симметричных точках полок двутавра должны быть также симметричны относительно оси z.

Формально внешний вид эпюры xz можно получить так. Представим двутавр в виде двух прямоугольников с шириной основания t и b. Так как t b , то величины напряжений xz для первого прямоугольника, вычисленные по формуле Журавского (10.18), будут намного больше величин напряжений, вычисленных для второго прямоугольника. В результате мы получим

452

ГЛАВА10 Прямой изгиб

две параболы: первая парабола будет справедлива для стенки двутавра, а вторая – для полки. Отбрасывая ненужные участки парабол, получим вид эпюры xz в виде «шляпы» при вычислении этих напряжений по формуле Журавского (10.18). В месте перехода от полки к стенке (точки 2 и 3) наблюдается скачок, так как скачком изменяется параметр b(z) (рис. 10.11, б).

а

б

в

г

Рис. 10.11

Однако такой вид эпюры xz для полок двутавра некорректен, ибо в точках свободной поверхности (точки 1 и 4) касательные напряжения xz равны нулю. Величины же напряжений xz , вычисленные для точек 4 по формуле (10.18) отличны от нуля. Следовательно, предположение о равномерном распределении касательных напряжений по ширине b поперечного сечения, положенное в основу вывода формулы (10.18), неприменимо к полкам двутавра; оно неприменимо и к некоторым элементам других тонкостенных балок.

Касательные напряжения x в полках двутавра определить методами сопротивления материалов нельзя. Эти напряжения весьма невелики по сравнению с напряжениями xz в стенке двутавра. Поэтому их не учитывают и эпюру касательных напряжений xz строят только для стенки двутавра,

453

В. А. Жилкин

как показано на рис. 10.11, в. Вдоль стенки двутавра касательные напряжения изменяются по параболическому закону

	отс			h		1 h
	Qz Sy		6Q							2	2
xz			z b								z
	Jy b			2		2		2
			Jy

инаправлены в ту же сторону, что и сила Qz .

Вполках двутавра касательные напряжения x вычисляются по формуле (10.20):

	x	Qz Syотс		Q	z		h	,
		Jy		Jy			2

т.е. изменяются по линейному закону, достигая максимума при b2 :

x _max	Qz	b h		Qzbh .
	Jy	4		4Jy
Перерезывающая сила			Qz направлена вдоль оси z

и равна сумме касательных сил, действующих только в сечении стенки двутавра, так как проекции на эту ось касательных сил в полках равны нулю.

При изгибе двутавра в плоскости второй оси симметрии (рис. 10.12, а) касательные напряжения в стенке равны нулю, а вдоль каждой из полок изменяются по закону квадратичной параболы в соответствии с формулой Журавского.

а

б

в

Рис. 10.12

454

ГЛАВА10 Прямой изгиб

При изгибе швеллера в плоскости второй оси симметрии (рис. 10.12, б) касательные напряжения в стенке определяются по формуле (10.20).

При изгибе тонкостенной трубы, имеющей в плоскости действия нагрузки тонкий продольный разрез (рис. 10.12, в), статический момент отсечённой части площади, определяемой дуговой координатой :

Syотс Rd

R cos

0

R2 cos d R2 sin .

0

Касательные напряжения x

в сечении трубы с дуговой

координатой

Qz Syотс

Q

z

2

Q

2

x

R sin

z R

sin

Jy

Jy

Jy

достигают максимума при 2 и равны нулю на оси симметрии при = 0 и .

Из приведенных примеров видно, что при изгибе бруса в плоскости симметрии перерезывающая сила совпадает с осью симметрии сечения, а касательные напряжения распределены симметрично относительно этой оси. Если сечение не имеет направленной вдоль оси симметрии стенки (рис. 10.12, в), то в каждой точке сечения, находящейся на этой оси, вектор касательного напряжения должен быть равен нулю.

Равенство нулю напряжений x на оси симметрии позволяет применять формулу (10.20) и для замкнутых симметричных профилей. Для этого достаточно мысленно разрезать сечение на оси симметрии и дальше рассматривать его как открытое.

455