ГЛАВА4Деформированное состояние в точке твёрдого тела

4.1. Соотношения Коши

Для того чтобы изучить деформации упругого тела, представим его расчлененным на множество элементарных параллелепипедов. При деформировании всего тела будут менять свои размеры и форму и элементарные параллелепипеды. В случае малых деформаций изменение формы

иразмеров параллелепипедов вполне характеризуется удлинением (укорочением) его ребер и искажением прямых до деформаций углов граней. Деформируясь, элементарные па-

раллелепипеды перемещаются в пространстве как жесткие тела. Если у точки A мысленно выделить такой параллелепи-

пед, который жестко связан с телом только в достаточно малой окрестности этой точки, то для того чтобы определить его

новое положение в связи с общей деформацией всего тела, очевидно, надо задать три линейных перемещения uA , vA

иwA точки A и три угла поворота x , y , z параллелепипеда относительно координатных осей x, y и z соответственно.

Для оценки уровня деформаций материала тела выделим в окрестности точки A параллелепипед с размерами сторон dx , dy и dz (рис. 4.1). Ограничимся рассмотрением проекции этого параллелепипеда только на плоскость xoy

до и после его деформирования (рис. 4.2).

Перемещения точки a в направлении координатных осей x, y обозначим u и v. Найдем перемещения точек b и c

в направлении этих же осей, выразив их через перемещения в точке a, предполагая, что функции u и v известны. Для

этого воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора

145

В. А. Жилкин

вокрестности заданной точки (в нашем случае точки a), в соответствии с которым с точностью до бесконечно малых первого порядка (т.к. удерживаем только два первых члена ряда Тейлора) можно записать:

		u				v
	uC ua			dx;	vC va			dx;
		x
			a			x a
		u				v
	uв uа			dy;	vв vа			dy.
		y				y
			а				а

Рис. 4.1 Рис. 4.2

В данных соотношениях		и		– частные произ-
	х		у
водные от соответствующих функций в направлениях x и y.

Физическая интерпретация выше записанных формул следующая: значение функции в некоторой точке c или b равно значению функции в начальной точке a плюс произведение скорости изменения этой функции в направлении до новой точки на расстояние между этими точками.

Определим углы α и β. На рис. 4.2 показаны форма и положение грани abcd до и после деформирования тела. Так как в соответствии с гипотезой о малости деформаций углы α и β малы, то

146

ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела

a1c2 a1c1 cos a1c1 cos0 a1c1 ; a1b2 a1b1 cos a1b1 cos0 a1b1 .

Следовательно,

v v dx v tg x

dx

v u dy u tg y

dy

v ;x

u .y

Итак,

	v	;		u	.	(4.1)
	x			y

Определим удлинения ребер ab и ac прямоугольника

abdc. Из рис. 4.2 следует, что абсолютные деформации ребер ab и ac:

ab a1b1

ac a1c1

ab dy v

ac dx u

v			v	dy;
y	dy v dy		y
u			u			(4.2)
		dx			dx.
x	dx u		x

Из формул (4.2) следует, что абсолютные деформации ребер зависят от начальных их длин dx и dy и поэтому не могут служить мерой линейной деформации.

Мерой линейной деформации является относительное удлинение, равное отношению абсолютной деформации к первоначальной длине элемента.

147

В.А. Жилкин

Всоответствии с формулами (4.2) линейные деформации ребер ac и ab (или линейные деформации в направлении координатных осей x и y) равны

x

y

u

ac x dx ac dx

v

ab y dy ab dy

u ;x

vy .

Индекс в обозначении осевой деформации указывает на ось, параллельно которой происходит изменение длины ребра.

Линейные деформации считаются положительными, если они соответствуют удлинению ребер, отрицательные

деформации соответствуют укорочению ребер. Поскольку форма тела меняется незначительно, то упругие деформации обычно малы по сравнению с единицей и составляют тысяч-

ные доли единицы.

Из формул (4.2) следует, что абсолютное удлинение L отрезка прямой длиной L, проведенного в недеформируемом теле можно найти, если известна линейная деформацияL в этом направлении

L LL

.

(4.3)

Мерой изменения формы прямоугольника является деформация сдвига xy (или угол сдвига), равная изменению прямого угла xy .

В соответствии с зависимостями (4.1) деформация сдвига определяется по формуле

xy u v .

y x

Индексы x и y указывают, в какой координатной плоскости появляется угол сдвига между ребрами параллелепипеда.

148

ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела

Деформации сдвига считаются положительными, если отвечают уменьшению угла между соответствующими гранями параллелепипеда. В противном случае деформации отрицательны.

Зная величины углов α и β, можно определить и жесткий поворот элемента abcd вокруг оси z на угол z :

z v u .x y

Выполняя аналогичные преобразования над другими проекциями на координатные плоскости, можно получить аналогичные меры деформации и в других плоскостях.

Как показывается в курсах теории упругости, в общем случае существуют следующие дифференциальные зависимости между перемещениями u, v, w, деформациями x , y , z , xy ,yz , zx , компонентами жесткого поворота x , y , z :

x

u

xy

u

v

x

;

y

x

;

y

v

v

w

(4.4)

y

;

yz

z

y

;

z

w

w

u

.

zx

.

z

x

z

x

w

v

;

y

u

w

;

z

v

u .

y

z

z

x

x

y

Таким образом, зная три перемещения u, v, w, можно по соотношениям (4.4), или соотношениям Коши16, найти шесть

16

Коши Огюстен-Луи (1789–1857), французский математик, профессор парижской политехнической школы. Работы по математике чистой и прикладной. В работах по теории упругости он рассматривал тело как сплошную среду и оперировал напряжением и деформацией, относимой к каждой точке.

149

В. А. Жилкин

компонентов деформаций: три линейные ( x , y , z ) и три сдвиговые ( xy , yz , zx ). Какой бы сложной ни была деформация тела, деформацию элемента тела можно разложить на две составляющие элементарные деформации: линейную деформацию и угловую деформацию, или деформацию сдвига.

Линейная деформация , связанная с нормальным напряжением , приводит к изменению линейных размеров тела и к изменению его объема, а сдвиговая деформация , связанная с касательными напряжениями , приводит к изменению формы тела (рис. 4.3).

а

б

Рис. 4.3

На рис. 4.3, а в соответствии с формулой (4.3) абсолютная деформация L L , а абсолютный сдвиг S – смещение одной плоскости по отношению к другой – определяется

зависимостью, следующей из рис. 4.3, б:
S a,	(4.5)

где a – размер элемента.

Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций по различным пло-

скостям, проходящим через рассматриваемую точку, называют деформированным состоянием в этой точке.

Если даны три компоненты непрерывного поля перемещений u, v, w, то по ним легко из соотношений (4.4) опре-

деляются все шесть компонентов деформации x , y , z ,

xy , yz , zx . Обратная же задача решается гораздо сложнее:

150