ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

Откуда после преобразований следует зависимость (8.28):

	N1		8Pc1		.
			4c1	9c2

8.5.5.Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры

Из курса физики известно, что при повышении температуры линейные размеры тела увеличиваются, а при охлаждении уменьшаются. Абсолютная величина удлинения (укорочения) бруса, вызванная изменением его температуры на to , определяется по формуле

L	L to ,	(8.32)
t

где – коэффициент линейного расширения бруса;

L – его длина. Коэффициенты линейного расширения для некоторых наиболее часто встречающихся в расчетах материалов приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Коэффициенты линейного теплового расширения твердых тел в интервале (0…100 0С)

	№	Материал	–7 0	№	Материал	–7 0
	п/п		α, 10 C	п/п		α, 10 C
	1	Алюминий	238	9	Никель	130
	2	Бетон	120	10	Нихром	180
	3	Бронза	175	11	Поливинилхлорид	800
	4	Высокоуглеродистая	160	12	Полистирол	750
		сталь
	5	Железо	122	13	Полиэтилен	2000
	6	Кварцевое стекло	60	14	Серый чугун	100
	7	Латунь	184	15	Сталь	117
	8	Медь	165	16	Стекло	81

343

В. А. Жилкин

а

б

Рис. 8.14

Рассмотрим две стержневые системы, образованные из системы, изображенной на рис. 8.13, из которых одна (рис. 8.14, а) статически определима, а вторая (рис. 8.14, б) – статически неопределима. Для обеих систем брус AD считается абсолютно твердым телом; упругие и геометрические характеристики стержней 1 и 2 считаются заданными.

Изменение температуры стержня 1 на величину to

встатически определимой системе не вызовет напряжений

встержне 1, т. к. ничто не препятствует изменению его длины (он удлинится, вызвав поворот бруса AD вокруг точки A),

вто время как в статически неопределимой системе в стержнях 1 и 2 возникнут напряжения, т. к. свободному удлинению стержня 1 препятствует стержень 2. В результате как в стержне 1, так и в стержне 2 возникнут сжимающие напряжения. Найдем эти напряжения.

Всоответствии с расчетной схемой, изображенной

на рис. 8.13, б, условия равновесия системы сил, приложенной к недеформируемому брусу AD, имеют вид

YA N1 N2 0 ; 2N1 a 3N2a 0 .

(8.33)

Два уравнения системы (8.33) содержат три неизвестные величины YA , N1 и N2 , т. е. задача один раз статически

344

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

неопределима. Для раскрытия статической неопределимости составим одно дополнительное уравнение (уравнение совместности деформаций).

а

б

Рис. 8.15

Схема деформированной конструкции изображена на рис. 8.15, б. Если бы не было стержня 2, то удлинение стержня 1 на величину Lt привело бы к повороту бруса AD и он занял бы положение AD1. Но стержень 2 препятствует такому перемещению бруса AD, и он займет некоторое промежуточное положение AD2, вызвав сжатие как стержня 1, так и стержня 2. Из подобия треугольников ABB2 ACC2 следует:

Lt L1			L2	,	(8.34)
	2a		3a
где
L N1		; L N2 .
1	c1		2	c2

При подстановке выражений для L1 и L2 в зависимость (8.34) необходимо учесть, что усилия N1 и N2 на расчетной схеме (рис. 8.15, б) соответствуют сжатию стержней. Итак, соотношение (8.34) преобразуется к виду

Lt N1 2N2 c1 3c2

345

В. А. Жилкин

или же

N1	2N2	Lt .	(8.35)
c1	3c2

Решая совместно последнее (8.33) и уравнение (8.35), найдем

	N2		3		2		Lt .
			2c1		3c2

Следовательно,

N		6 Lt c1c2			,
2		4c1 9c2
N1	3			9 Lt c1c2
	2 N2
				4c 9c
			1			2

уравнение из системы

(8.36)

. (8.37)

Таким образом, изменение температуры статически неопределимой системы (или отдельных ее частей) вызывает напряжения в ее элементах (температурные напряжения); в статически определимых системах при изменении температуры возникают перемещения без появления внутренних усилий.

Температурные напряжения могут быть значительны; для их уменьшения в конструкциях предусматривают специальные температурные зазоры, в трубопроводах – температурные компенсаторы (u-образно изогнутые участки труб).

8.5.6.Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах

Существует еще один вид напряжений, которые характерны только для статически неопределимых систем. Это так называемые начальные, или монтажные, напряжения. Они возникают в конструкции до приложения к ней рабочих нагрузок. Причиной их возникновения являются неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

346

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

а

б

Рис. 8.16

Рассмотрим, например, те же две стержневые системы, что и в разделе 8.4.3. Пусть стержень 1 изготовлен длиннее проектного размера на малую величину . Это приведет в статически определимой системе (рис. 8.16, а) только к повороту бруса AD и не вызовет напряжений в стержне 1. В статически неопределимой системе (рис. 8.16, б) поворот бруса AD вызовет сжимающие усилия N1 и N2 в стержнях 1 и 2.

Если сопоставить рисунки 8.14 и 8.16, то можно констатировать, что при замене на рис. 8.14 Lt на расчетные схемы обеих задач совпадут, а потому и процедура определения начальных напряжений не будет отличаться от процедуры поиска температурных напряжений. Если в уравнении совместности деформаций (8.35) Lt заменить на , то монтажные усилия будут определяться соотношениями, подобными (8.36) и (8.37):

N2			6 c1c2		;	(8.38)
			4c1 9c2
N			9 c1c2	.		(8.39)
1			4c1 9c2

347

В. А. Жилкин

Если к заданной статически неопределимой системе (рис. 8.16, б) приложить теперь нагрузку, например силу P в точке D (рис. 8.13, а), то усилия от этой нагрузки будут определяться зависимостями (8.28) и (8.29). Суммируя их с монтажными усилиями (8.38) и (8.39), получим:

N			8Pc1					9 c1c2		;	(8.40)
1			4c1 9c2					4c1 9c2
N			12Pc2				6 c1c2		.		(8.41)
2		4c1 9c2				4c1 9c2

Изменяя неточность изготовления стержня , которая

может быть как положительной, так и отрицательной, можно искусственнорегулироватьусилияинапряжениявстатически неопределимых системах. Так, стойка 1 в рассматриваемой

задаче работает на сжатие. Как мы узнаем в дальнейшем, напряжения в поперечных сечениях сжатых стержней должны удовлетворять не только условию прочности, но и условию устойчивости, которое для длинных стержней ( L1 F1 ) накладывает жесткие ограничения на величину усилия N1 . Предположим, что усилие N1 не должно превышать допускаемого Ny , определяемого из условий устойчивости стержня 1, т. е.

N N .		(8.42)
1	y

Воспользовавшись зависимостью (8.40) можно найти , обеспечивающее выполнимость неравенства (8.42):

8Pc1

9 c1c2

N

4c

9c

4c

9c

y

1

2

1

2

или

N

y

4c

9c

8P

1

2

.

9c c

9c

1

2

2

Отсюда

348

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

,

N

4c

9c

8P

где

y

1

2

– максимальная предель-

9c1c2

9c2

ная

неточности изготовления

(допускаемая)

величина

стержня 1, обеспечивающая равенство усилий в соотношении (8.42).

В настоящее время искусственное регулирование усилий широко применяется в строительстве (предварительно напряженный железобетон, большепролетные деревянные конструкции) и реже применяется в машиностроении (при изготовлении станин тяжелых машин, высоконапряженных слоистых труб и т. п.).

Пример 8.9. Определить усилия в стержнях 1 и 2. Треугольник абсолютно жесткий. Площади поперечных сечений стержней указаны на рис. 8.17. Модули упругости материалов всех стержней одинаковы.

Данная задача один раз статически неопределима, так как в опорных закреплениях возникают четыре реакции связей, а уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить только три. Поэтому для раскрытия статической неопределимости задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение (уравнение совместности деформаций).

Предположим, что под действием силы P треугольник повернулся вокруг точки O на некоторый угол. Стержни 1 и 2 сжались на величины L1 и L2 соответственно. Из подобия треугольников OAC и OBD следует соотношение между абсолютными перемещениями L1 и L2 стержней 1 и 2 (рис. 8.17, б):

L1 L2 , a 2a

которое и является искомым уравнением совместности деформаций.

349

В. А. Жилкин

а

б

Рис. 8.17

Так как по условию задачи требуется определить только усилия N1 и N2 в стержнях 1 и 2, а реакции в шарнире О нас не интересуют, то из уравнений равновесия системы сил, приложенных к треугольнику, нам потребуется только одно – сумма моментов всех сил относительно точки О.

Решение задачи выполним в MathCAD.

Итак, N1 P5 , а N1 2P5 .

Пример8.10. Стальной болт пропущен сквозь медную трубку, как показано на рис. 8.18, шаг нарезки болта равен t = 3 мм. Какие напряжения возникают в болте и трубке при завинчивании гайки на 1/4 оборота?

350

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

а

б

Рис. 8.18

Решение. Так как внешние силы отсутствуют, то при повороте гайки образуется система внутренних самоуравновешенных сил, которые имеют такие направления и величины, что удовлетворяют условиям равновесия сами по себе. Растягивающее усилие в болте и сжимающее усилие в трубке будут равны, но противоположны по направлению.

Рассечем мысленно болтовое соединение на две части, правую часть отбросим и рассмотрим равновесие левой части (рис. 8.18, б).

Система сил, приложенная к отсеченной части болта, расположена вдоль его оси и потому мы имеем только одно уравнение равновесия, содержащее два неизвестных Nст и Nм :

Nст Nм 0 .

Таким образом, задача один раз статически неопределима и для раскрытия статической неопределимости необходимо составить одно дополнительное уравнение.

Условие совместности деформаций, выражающее усло-
вие, что удлинение болта Lс , сложенное с укорочением
трубки L	равно перемещению гайки					t	вдоль болта,
м			4
имеет вид
	L	L		t	.
	с	м	4

Все вычисления выполним в системе MathCAD.

351

В. А. Жилкин

	Итак, напряжения в болте составили 127,3 МПа, а в труб-
ке – 36,36 МПа.
Пример8.11. Три		стержня, шарнирно скреплённые в одной точке
(рис. 8.19), имеют одинаковые поперечные сечения. Опре-
делить площадь поперечного сечения, принимая 30o
		160 МПа.
и

а

б

в

Рис. 8.19

352

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

Решение. Вырежем узел А и запишем условия равновесия сходящейся системы сил, приложенных к узлу (рис. 8.18, б).

X 0 ;	N3 N2 sin 0	;
Y 0 ;	N1 N3 N 2 cos	P 0 .

Два уравнения равновесия содержат три неизвестных усилия: N1 , N2 , N3 . Следовательно, для раскрытия статической неопределимости необходимо составить одно дополнительное уравнение.

После деформирования упругой системы узел А переместится в точку А1. Первый стержень удлинится на величинуL1 . Опуская перпендикуляры на стержни 2 и 3, найдём L2 и L3 . На основе рис. 8.19, в соотношение между абсолютными деформациями стержней:

L2 L1 cos или NEF2L NEF1L cos .

Решая совместно уравнения равновесия и геометрическое уравнение, найдём N1 , N2 , N3 .

Все вычисления выполним в системе MathCAD. Так как длины стержней, их площади и материал не заданы, то решение системы уравнений найдем с использованием символьного процессора.

353

В. А. Жилкин

Площадь поперечного сечения стержней равна 3 см2.

Пример8.12. Определить напряжения в стержнях 1, 2 и 3 предыдущей задачи, возникающие при сборке узла А из-за неточно-

сти изготовления стержней (рис. 8.20). L 1 м, 1 мм, E 2 105 МПа, F 3 см2.

а

б

в

Рис. 8.20

Как и в предыдущей задаче, вырежем узел Аи запишем условия равновесия сходящейся системы сил, приложенных к узлу (рис. 8.20, б).

X 0 ;	N3 N2 sin 0 ;
Y 0 ;	N1 N3 N 2 cos 0 .

354

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

Добавим к уравнениям равновесия условие совместности деформации стержней 1, 2 и 3 (рис. 8.20, в):

L1 L2 , cos

и решим полученную систему уравнений в системе MathCAD.

Неточность изготовления первого стержня привела к возникновению монтажных растягивающих напряжений: в первом стержне – 120 МПа, во втором – 69,3 МПа.

Пример8.13. Два жестких бруса соединены, как показано на рис. 8.21, тремя стержнями. Крайние стержни стальные, с площадью сечения верхней части, равной 16 см2, и нижней части – 10 см2; средний стержень медный, с площадью сечения, равной 20 см2. Между верхним концом среднего стержня и верхним брусом поставлена без натяга пружина с коэффициентом податливости 1,25 10 9 м/Н (осадка пружины на 1 Н нагрузки). При заданной нагрузке определить напряжения в соединительных стержнях.

355

В. А. Жилкин

а

б

Рис. 8.21

Решение. Отсоединим верхний брус от стержней, а действия бруса на стержни заменим рекциями связи RA , RB , RC , направленными вверх. Составляем условия равновесия системы сил, приложенных к конструкции.

y 0 ;	RA RB	RC	P	P	P 0 ;
			2	2
MB 0 ;		P			P
	RA	a RC			a 0
		2			2
или
RA RB RC 0 ; RA RC .					(А)

Итак, два уравнения равновесия содержат три неизвестных реакции связей RA , RB , RC , т.е. задача один раз статически неопределима. В связи с чем необходимо составить одно дополнительное уравнение – уравнение совместности деформаций.

Ввиду силовой и геометрической симметрии конструкции жесткие брусья будут оставаться параллельными в про-

356

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

цессе деформирования стержней. Следовательно, перемещение точки А стального стержня будет равно перемещению точки В, являющегося следствием деформирования медного стержня и пружины, т.е.

			P
R L		RA	2	L2		R	L1 L2
A 1						B			R .	(Б)
ECFC1		ECFC2					EMFM		B

Решая совместно уравнения (А) и (Б), находим реакции RA , RB , RC , а затем и искомые напряжения.

Все вычисления выполним в MathCAD.

Пример8.14. Тонкостенное кольцо шириной a, толщиной h и внутренним радиусом R нагружено внутренним давлением q (рис. 8.22, а). Определить напряжения в поперечных сечениях кольца и изменение радиуса кольца.

Решение. Как будет показано в дальнейшем, всякий замкнутый контур три раза статически неопределим – неизвестными являются внутренние силовые факторы N, Q и M в поперечном сечении контура. При симметричной нагрузке в кольце отличной от нуля будет только нормальная сила N. Найдём её.

357

В. А. Жилкин

а

б

Рис. 8.22

Рассмотрим равновесие половины кольца (рис. 8.22, б). Двумя радиальными сечениями под углами и d вырежем малый элемент с площадью внутренней поверхности Rd a . На эту площадь будет действовать давление qRad . Проектируя все силы, действующие на полукольцо, на направление оси y, получим

2

2 qRasin d 2N 0 .

0

Откуда

2

N qRa sin d qRa cos

0

qRa 0 1 qRa.

2 0

Напряжения в поперечных сечениях кольца будут равны:

N qRa qR F ha h .

358

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

Новая длина внутренней окружности кольца:

L 2 R 1 2 R ,

где E ( E – модуль упругости материала кольца);

R R 1 – новый радиус кольца.

Изменение радиуса кольца составит R .

Пример8.15. Медная трубка плотно, без давления, надета на стальную трубку при температуре t 200o С. Определить напряжения, которые возникнут в обеих трубках при охлаждении до температуры t 20o С, если внешний диаметр стальной трубки dC 14 см, толщина стальной трубки hC 0,4 см, а медной трубки – hM 0,6 см (рис. 8.23, а).

а	б	в
Рис. 8.23

Решение. Так как M 165 10 7 C 125 10 7 , то при охлаждении возникнет контактное давление q между внешней и внутренней трубками. Растягивающее усилие в медной трубке NM и сжимающее усилие в стальной трубке NC будут равны (рис. 8.23, б):

359

В. А. Жилкин

y 0 ; 2NC 2NM 0 ; NC NM .

Растягивающее усилие в медном кольце шириной a 1 и толщиной hM , вырезанном из трубки и нагруженном внутренним давлением q равно (см. предыдущий пример):

NM qR .

Уравнение совместности деформаций должно выражать следующие условия: после охлаждения в медном и стальном кольцах относительные удлинения по окружности одинаковы (рис. 8.23, в):

M C

или

Mt Mq Ct Cq .

Подставляя зависимости относительных деформаций от физических, силовых и геометрических параметров колец, получим

	M t t0	Rq	C t t0	Rq	.
		EMhM a		EC hC a

Откуда находим давление.

Все дальнейшие преобразования и вычисления выполним в MathCAD.

360

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

Температурные растягивающее напряжение в медной и сжимающее напряжение в стальной трубках будут:

M 41,14 МПа; M 61,71 МПа.

Пример8.16. Составное кольцо состоит из внутреннего медного кольца

инаружного стального. Внешний диаметр медного кольца

больше внутреннего диаметра стального кольца на величину 0,15 мм, поэтому сборка осуществляется путем на-

гревания наружного кольца. Определить напряжения в стали

имеди после сборки, если кольца имеют поперечные сечения:

медное – ширина a 1 см, толщина hM 0,6 см; стальное – ширина a 1 см, толщина hC 0,4 см. Радиус поверхности соприкосновения R 7 см (рис. 8.24, а).

а

б

в

Рис. 8.24

361

В. А. Жилкин

Решение. Обозначим давление, возникающее на поверхности соприкосновения, через q. Растягивающее усилие в стальном кольце и сжимающее усилие в медном кольце будут равны (см. предыдущий пример):

NC NM qR .

Увеличение внутреннего диаметра стального кольцаdC , сложенное с уменьшением внешнего диаметра медного кольца dM , должно равняется (рис. 8.24 б):

dC dM .

Увеличение внутреннего диаметра стального кольца:

dC C 2R C 2R qR 2R . EC ECFC

Уменьшение внешнего диаметра медного кольца:

dM M 2R M 2R qR 2R .

EM EMFM

После подстановки dC и dM в уравнение совместности деформаций оно примет вид

2qR2 2qR2

ECFC EMFM

.

Из полученного уравнения определяем давление q и затем напряжения в поперечных сечениях колец.

362

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

Итак, напряжение в медном кольце – 61,22 МПа, напряжение в стальном кольце – 91,84 МПа.

363