ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля

Результаты предыдущего параграфа позволяют получить расчетные уравнения для напряжений и деформаций при свободном кручении тонкостенных брусьев открытого профиля.

При кручении бруса в виде узкой прямоугольной полосы с большим отношением высоты сечения h к его толщине ( h 10 ) коэффициенты и согласно данным табл. 9.1 можно принять равными 1/3 и вычислять и относительный угол закручивания L для такого профиля по формулам

		MKP			3MKP		,			(9.59)
		2h 2h
				MKP				3MKP	.	(9.60)
			G 3h
		L						G 3h

Форма и соотношение размеров сечения скручиваемой полосы предопределяют и характер распределения напряжений в ней. За исключением небольших участков у коротких сторон прямоугольника распределение напряжений вдоль его длинных сторон становится равномерным, а по толщине сечения – линейным (рис. 9.29, а). Аналогичный характер имеет распределение напряжений и при криволинейной форме сечения (рис. 9.29, б). Для таких сечений в формулах (9.59) и (9.60) надо высоту сечения h заменить на длину его средней линии L.

При кручении тонкостенного бруса незамкнутого криволинейного или ломаного профиля (рис. 9.29, в) напряжения

иуглы закручивания вычисляются также по формулам (9.59)

и(9.60), если только толщина сечения постоянна.

Если профиль составлен из участков различной толщины i (рис. 9.29, в), то крутящий момент в сечении можно представить как сумму моментов Mi , возникающих в каждом отдельном участке сечения. В соответствии с формулой (9.60)

	MKP i	G 3h
		i i	.	(9.61)
		3

419

В. А. Жилкин

а

б

в

Рис. 9.29

Принимая, что углы поворота всех сечений одинаковы, находим крутящий момент, возникающий в поперечном сечении:

MKP MKP i					1 G i3hi .
		i			3	i
Откуда
		3MKP		,		(9.62)
	G i3hi
где		i
JK		i3hi		–		(9.63)
		i
		3

момент инерции поперечного сечения тонкостенного бруса при кручении.

420

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Касательное напряжение на каждом участке согласно формуле (9.59)

i	3MKPi
	2h .	(9.64)
	i i

Подставляя в (9.64) MKPi из зависимости (9.61) и затем заменяя выражением (9.62), получим

	3M		G 3h		3M	i
	KPi		i i		KP
i				G i			.	(9.65)
	i2hi		i2hi		i3hi

i

Из (9.65) следует, что наибольшие напряжения возникают посередине края участка наибольшей толщины max :

max	3MKP max		MKP max	.	(9.66)
	i3hi		JK

i

Как уже упоминалось, характерной особенностью тонкостенных стержней открытого профиля является их слабое сопротивление свободному кручению. Например, жесткости на кручение цельной тонкостенной трубы с толщиной стенки и средним диаметром сечения D и такой же трубы, но с тонким разрезом по образующей (рис. 9.28, б и в), находятся в соотношении

																12			2	D4
	cбез разреза													2						16					2
							K						KP												.
					GJ							12F												3D
	c						3					3		ds					2	D	2			4	2
		с разрезом		G				L					L					3
						3
Следовательно, при D 10													угол закручивания трубы

с разрезом в 75 больше, чем цельной.

Пример9.12. Стальной брус прямоугольного сечения размером 60×20 мм и длиной 0,8 м нагружен крутящим моментом МКР = 0,4 кН·м. Вычислить наибольшие касательные напряжения в брусе

421

В. А. Жилкин

по длинной и по короткой сторонам его поперечного сече-

ния, определить угол закручивания бруса при модуле сдвига G 8 104 МПа.

Решение. Наибольшие касательные напряжения по кромкам поперечного сечения бруса вычисляются по формулам (9.56) и (9.58):

max1 MKP , max 2 max1 ,

WKP

где WKP b2h , b 20 мм, h 60 мм, следовательно, hb 3 и из табл. 9.1 находим 0,267 , 0,263 , 0,753 .

Угол закручивания бруса определяется по формуле (9.57)

MKPL .

GJKP

Все дальнейшие вычисления выполним в MathCAD.

Пример9.13. Двутавровая балка длиной L = 1,5 м заделана в стену одним концом, а на другом конце нагружена закручивающим моментом МКР (рис. 9.30). Размеры поперечного сечения балки: a = 12 см, b = 28 см, c = 2 см, d = 1 см. Определить наибольший момент МКР, который может выдержать балка при допускаемом напряжении 60 МПа, и угол закручивания бруса. Стеснением продольных перемещений в балке у заделки пренебречь.

422

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Рис. 9.30

Решение. Вычисляем момент инерции при кручении тонкостенных профилей по формуле (9.63), приняв обозначения элементов сечения, приведённых на рис. 9.29, в:

	JK	i3hi
		i		,
			3
в которой 1	c , 2		d , 3		c , h1	a , h	b c c , h3	a .
						2	2

Максимальные касательные напряжения вычисляем по формуле (9.65), а наибольший крутящий момент находим из условия прочности.

Угол закручивания бруса определяем по формуле (9.57). Вычисления требуемых по условию задачи величин

выполним в MathCAD.

423

В. А. Жилкин

Итак, максимальный крутящий момент равен 2,22 кН·м, угол закручивания бруса – 3,2230.

424