ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

свойства материала. Если материал пластичен и одинаково работает на растяжение и сжатие, то следует пользоваться теорией наибольшей энергии формоизменения или третьей теорией. Если пластичный материал неодинаково работает на растяжение и сжатие, то следует применить теорию Мора. Расчет хрупких материалов при указанных напряженных состояниях следует производить по теории Мора.

7.8.Теории предельного состояния почв38

В1773 году при строительстве фортификационных сооружений на юге Франции Ш. Кулон разработал способ расчета давления сползающего песчаного грунта на подпорную стену. Им было установлено, что разрушение грунта происходит за счет сдвига одной части грунта по другой. Сопротивление сдвигу песчаных грунтов возникает в основном

врезультате трения между перемещающимися частицами и зацепления их друг за друга. Сопротивление растяжению

вэтих грунтах практически отсутствует, поэтому часто песча-

ные грунты называются сыпучими.

Такая же концепция прочности (разрушение за счет сдвига) была позже распространена и на пылевато-глинистые грунты и на почву. Однако процесс разрушения в них развивается значительно сложнее. Имеющиеся в них водно-коллоидные и цементационные связи обеспечивают почве некоторое сопротивление растяжению.

Величина касательных напряжений ограничивается прочностными свойствами среды. Для описания предельных поверхностей, ограничивающих области прочности почвы при неравномерном сжатии, используются уже рассмотрен-

ные ранее критерии Треска (Сен-Венана), Мизеса.

Критерий Кулона ставит величину предельного касательного напряжения на площадке в зависимость от нормального напряжения на этой площадке (формула (6.11)):

38 Гольштейн М. Н. Механические свойства грунтов. М. : Стройиздат, 1971. 362 с.; Цытович Н. А. Механика грунтов. М. : Высш. шк., 1983. 288 с.; Далматов Б. И. Механика грунтов. М. : Стройиздат, 1988. 415 с.; Механика грунтов, основания и фундаменты / С.Б. Ухов [и др.]. М. : Изд-во АСВ, 1994. 527 с.

275

В. А. Жилкин

c tg .

(7.10)

Определим напряжения и через главные напряже-

ния 1	и 3 по формулам (3.24) и (3.25) (в механике почв
принято большее напряжение обозначать 3 ):
	1 sin2 3 cos2
		1 3			3 1	cos 2 ;	(7.11)
		2			2
	1		3		sin2 ,
			2

где – угол между площадкой и направлением 1 . Подставив зависимости (7.11) в (7.10)

c tg c 1 sin2 3 cos2 tg

1 3 sin2 0 2

и беря производную по от полученного выражения

1 2 sin cos 3 2cos sin tg

1 3 2cos 2 0, 2

которое приводится к виду
tg2 ctg tg	2	,

получим уравнение, из которого находим угол наклона площадок сдвига , где сдвигающие напряжений максимальны:

	4		2	.

Подставим найденное значение в выражения (7.11):

276

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

			1			3			3			1	cos 2
				2						2							4		2
1 3							3 1				sin ;
	2							2
		1			3		sin2										1			3	cos ,
				2									2					2
										4

а затем полученные выражения для напряжений по площадкам сдвига – в равенство (7.10), предварительно перенеся в нём символ вправо:

c					3
	tg c		1	2			3	2	1 sin tg
	1 3	cos 0.
	2

Разделим полученное уравнение на tg и умножим на 2. Получим

2c ctg 1 3 3 1 sin

1 3 cos ctg 0

или

2c ctg 1 3

3 1 sin 1 cos2 0.

sin2

Умножив найденную зависимость на sin , получим критерий Кулона в главных напряжениях 1 и 3 :

			1		3			ctg						1		3
						2c											sin 0	, (7.12)
который можно переписать и так:
											,
	1		ctg 3 S 0														(7.13)

277

В. А. Жилкин
где ctg	1	sin	; S	2c cos	.
	1	sin
				1 sin

Если учесть, что главные напряжения 1 и 3 выражаются через компоненты тензора напряжений с помощью зависимости

1,3				z						2				2		(7.14)
		x	2				x	2		z		xz ,
то уравнение (7.12), учитывая что C												c tg				– давление
связности почвы, можно записать в виде
x	z 2			2	2				c				1		3	sin
	2			xz

или

x z 2 4 xz2 x z 2 c 2 sin2 . (7.15)

Уравнение (7.15) используется при решении задач теории предельного равновесия, суть которого сводится к совместному решению дифференциальных уравнений

равновесия и особого уравнения, называемого условием предельного напряженного состояния почвы. Вид этого усло-

вия определяется выбором той или иной модели предельного

напряженного состояния почвы, часто называемой моделью прочности почвы. Для случая плоской деформации при ис-

пользовании модели прочности почвы Кулона система уравнений теории предельного равновесия запишется в виде

x

xz X 0;

x

z

zx

z Z 0;

x

y

2

2c ctg 2 sin2

x

z

4 2

z

,

(7.16)

xz

x

278