ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

7.2.Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)

Эта теория связывает разрушение материала с достижением наибольшим (растягивающим или сжимающим) нормальным напряжением предельного значения. Указанное главное напряжение и принимается в качестве критерия прочности.

Согласно данной теории разрушение элемента, находящегося в сложном напряженном состоянии, начнется, когда наибольшее по абсолютной величине главное напряжение станет равным пределу прочности материала при одноосном растяжении или сжатии.

Прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивается, если наибольшее нормальное напряжение не превосходит допускаемого нормального напряжения, установленного для одноосного напряженного состояния.

экв 1	р		в,р			,
				n
экв 3				в,сж				,	(7.1)
	сж			n

где p и сж – допускаемые напряжения при простом растяжении и сжатии соответственно;

n – коэффициент запаса прочности.

Этот критерий предложен на основе выводов Галилео Галилея30 о разрушении бруса при изгибе, иногда он называется

30

Галилео Галилей (15.02.1564 – 8.01.1642) – итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. Галилей – основатель экспериментальной физики, заложил фундамент классической механики (Википедия).

261

В. А. Жилкин

критерием Ренкина31. Опытная проверка показывает, что эта теория позволяет получить удовлетворительные результаты при расчете конструкций из очень хрупких материалов (бетон, камень, кирпич), для которых она дает более или менее удовлетворительные результаты при напряженных состояниях в исследуемой точке с главными напряжениями разных знаков ( 1 0 , 3 0 ). Для пластичных материалов она дает неудовлетворительные результаты и в расчетах не применяется.

Впоследние годы этот критерий нашёл применение для расчета прочности композитных материалов, подобных ориентированным стеклопластикам.

7.3.Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)

Вэтой теории в качестве критерия разрушения принято наибольшее по абсолютной величине относительное удлинение.

Теория утверждает: два элемента из одного и того же материала, один из которых находится в сложном напряжен-

ном состоянии, а другой – в одноосном, будут равноопасны, если их наибольшие по абсолютной величине относительные удлинения будут одинаковы.

Так как при эквивалентном одноосном напряженном состоянии

экв Еэкв ,

31

Ренкин (William-John-Macquorn Rankine) – знаменитый инженер-теоретик (1820–1872). Окончил в 1838 г. свое образование в эдинбургском университете. В качестве инженера работал пять лет в Ирландиии; в 1855 г. был приглашен на кафедру профессора механики и инженерных наук в Глазго. Ренкин принадлежал к числу тех высокоталантливых инженеров, которые успешно и плодотворно работали во всех отраслях математики, чистой и прикладной, во всех областях теоретической и прикладной механики, физики и математической физики и по инженерным наукам. Он был из числа первых основателей термодинамики; его исследования по теории упругости и по теории волн принадлежат к числу замечательнейших работ математической физики.

262

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

то в соответствии с обобщенным законом Гука условие эквивалентности по второй теории принимает вид

	экв		1		2		3		при		1						3			;
									при										.			(7.2)
	экв		3		2		1				1						3

Разрушение материала произойдет при достижении эквивалентным напряжением экв предела прочности. Условием прочности будет равенство

	экв 1 2 3			в,р		.	(7.3)
		р		n

Таким образом, вторая теория прочности учитывает все три главных напряжения. Основы этой теории были заложены Эдмом Мариоттом32, окончательно она была сформулирована Сен-Венаном. Опытная проверка показывает, что вторая теория, как и первая, предполагает только хрупкое разрушение и дает сравнительно удовлетворительные результаты для материалов типа серого литейного и легированного чугунов. Критерий предполагает, что материал имеет одинаковое сопротивление простому растяжению и сжатию.

В настоящее время в инженерных расчетах эта теория прочности почти не применяется.

32

Мариотт Эдм (1620–12.05.1684) – физик и механик родился в г. Дижоне (Франция) и был игуменом (настоятелем) монастыря св. Мартина вблизи Дижона. Одним из первых в 1666 г. он вошел в состав только что сформированной в том же году Французской Академии наук, причем именно его инициатива в значительной мере способствовала тому, что экспериментальные методы были внедрены во французскую науку. Его эксперименты с воздухом привели к открытию широко известного закона Бойля-Мариотта. В механике твердых тел Мариотт построил теорию удара, в которой, пользуясь подвешенными на нитях шарами, он смог продемонстрировать сохранение количества движения. Ему принадлежит также честь изобретения баллистического маятника. В результате испытания деревянных и стеклянных стержней на растяжение и изгиб он установил закон прямой пропорциональности между перемещениями и приложенными силами, по-видимому, ранее открытый Р. Гуком. Кроме того, Мариотт вплотную подошел к решению задачи изгиба консольной балки прямоугольного поперечного сечения, и только досадная ошибка не позволила ему вывести правильную формулу для разрушающей силы.

263

В. А. Жилкин

7.4.Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)

Пластические деформации есть результат сдвигов в материале (линии Людерса-Чернова являются следами поверхностей скольжения на поверхности образца), причем плоскости сдвигов практически совпадают с плоскостями действия наибольших касательных напряжений. Это обстоятельство послужило основанием для выбора в качестве критерия пластичности величины наибольшего касательного напряжения.

Согласно этой теории два напряжённых состояния равноопасны, если у них равны максимальные касательные напряжения.

Впервые в 1773 г. роль касательных напряжений при разрушении сжатой призмы отметил Ш. Кулон33.

Ввиду того, что при сложном напряженном состоянии элемента

max 1 3 ,

2

а при одноосном растяжении образца

max экв ,

2 2

33

Кулон (Coulomb) Шарль Огюстен (14.6.1736–23.8.1806) – французский физик, член Парижской АН (1781). После окончания средней школы в течение 9 лет работал на острове Мартиника в инженерных войсках. По возвращении (1772 г.) во Францию занимался научными исследованиями. Ему принадлежат работы по технической механике (статика сооружений, теория ветряных мельниц и т. д.). Исследовал кручение волос, шёлковых (1777 г.) и металлических (1784 г.) нитей и сформулировал законы кручения; изобрёл крутильные весы, которые в дальнейшем применил для измерения электрических и магнитных сил взаимодействия. В 1781 г. описал опыты по трению скольжения и качения и сформулировал законы сухого трения. В 1785–89 гг. опубликовал семь мемуаров, где дан закон взаимодействия электрических зарядов и магнитных полюсов (Кулона закон), введены понятия магнитного момента и поляризации зарядов и т. д. Экспериментальные работы К. имели важное значение для создания теории электромагнитных явлений. Именем К. названа единица количества электричества (кулон) (БСЭ).

264

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

условие равноопасности элемента и образца из одного и того же материала получает вид

экв 1 3 .

Условие, определяющее начало текучести материала по третьей теории:

экв 1 3 т ,

называется условием пластичности Треска–Сен-Венана34. Условие прочности

экв 1 3
	nт .	(7.4)

Третья теория устанавливает начало текучести, а не разрушения. Но так как появление остаточных деформаций в деталях обычно недопустимо, то эту теорию можно использовать при расчетах на прочность деталей из пластичных материалов. Исключение составляют напряженные состояния, которые близки к всестороннему растяжению-сжатию, когда пластичный материал начинает вести себя как хрупкий. Экспериментальное определение границ этого перехода наталкивается на технические трудности, преодолеть которые пока не удалось.

Эта теория прочности дает удовлетворительные результаты и для описания разрушения хрупких материалов в тех случаях, когда разрушение путем отрыва невозможно и оно

34

Анри Эдуард Треска (12.10.1814 –21.061885) – французский инженермеханик, профессор Национальной консерватории искусств и ремёсел в Париже. Треска экспериментально установил связь пластического течения материалов с максимальными касательными напряжениями (1869). На основе его исследований Б. Сен-Венан сформулировал условие пластичности и построил основные уравнения теории пластичности. Поэтому третью теорию прочности часто называют теорией Треска-Сен-Венана (Википедия).

265