ГЛАВА10 Прямой изгиб

10.11.Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров

Метод начальных параметров основан на следующих исходных положениях.

1.Начало координат выбирают в крайней левой точке рассматриваемой части балки, и оно является общим для всех участков.

2. Выражение для изгибающего момента M x составляется путём вычисления моментов сил, расположенных слева от рассматриваемого сечения, взятого на расстоянии x от начала координат.

3.При включении в уравнения внешнего сосредоточенного момента M, приложенного на некотором расстоянии a от начала координат, его умножают на множитель (x–a), равный

единице.

4. В случае обрыва распределенной нагрузки (например, в сечении x = d) ее продлевают до конца рассматриваемого участка, а для восстановления фактически действующей на балку нагрузки вводят компенсирующую нагрузку обратного направления.

5.Интегрирование уравнений на всех участках производят без

раскрытия скобок.

Рассмотрим балку длиной L, находящуюся в равнове-

сии под действием приложенных к ней нагрузок и опорных реакций. Левая часть этой балки длиной x изображена на рис. 10.28. Условимся считать направления нагрузок P, q, M,

показанные на этом рисунке, положительными. Совместим с левым концом балки начало O прямоугольной системы координат xOz и направим ось x вправо, а ось z – вверх.

Выражение изгибающего момента в сечении балки,

показанной на рис. 10.28, на расстоянии x от начала коорди-

нат будет

M x M x a 0 P x b q x c 2

2

q x d 2 .

2

491

В. А. Жилкин

Рис. 10.28

После подстановки изгибающего момента в дифференциальное уравнение (10.34), двукратного его интегрирования и определения постоянных интегрирования, которыми оказываются начальные параметры 0 и w0 , уравнения для угла поворота и прогиба в самом общем виде будут выглядеть так:

EJy x EJy 0 M				x a
				1!
P	x b 2	q	x с 3		;		(10.43)
	2!			3!

EJy z x EJy z0 EJy 0 x M x a 2

2!

P	x b 3	q	x с 4	.	(10.44)
	3!		4!

В уравнения (10.43) и (10.44) подставляют нагрузки, расположенные слева от рассматриваемого сечения.

Итак, определение перемещений по методу начальных параметров в конечном счете сводится к определению начальных параметров 0 и w0 , которые определяются из условий на опорах.

492

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Пример10.4. Найти значения прогиба посредине пролёта (в точке C) и на свободном конце (в точке D) для балки, изображённой на рис. 10.29.

Рис. 10.29

Все дальнейшие преобразования выполним в символьном процессоре MathCAD.

493

В. А. Жилкин

Пример10.5.

Рис. 10.30

Стальная двутавровая балка № 24, заделанная одним концом, пролётом 2 м загружена равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью 6 000 Н/м. Какой величины сосредоточенную силу P можно приложить дополнительно на свободном конце балки, чтобы наибольшие нормальные напряжения не превышали 160 МПа, а наибольший прогиб не превосходил

1/300 пролёта балки?

Итак, допускаемой будет сила P = 12,8 кН, определяемая из условия жесткости балки.

494