В. А. Жилкин

Зная число оборотов n вала за минуту, находим угловую скорость:

n ,

30

азатем и мощность турбины:

N Mкр .

Максимальные касательные напряжения найдём по формуле (9.22):

max Mкр .

W

кр

Все вычисления выполним в MathCAD.

Максимальные касательные напряжения составили 34,91 МПа, а мощность, передаваемая на вал, – 2204 кВт.

9.2.6.Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага

Пружины являются одним из наиболее широко распространенных упругих элементов современных механизмов

406

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

и машин. Их используют главным образом в качестве амортизаторов для смягчения ударов и толчков. В ряде случаев пружины используются в качестве аккумуляторов энергии для приведения в движение отдельных деталей или механизмов. Наибольшее применение получили цилиндрические винтовые пружины, работающие на растяжение или сжатие, изготовляемые из прутков круглого поперечного сечения. Конструктивно пружины растяжения и сжатия отличаются оформлением их концов, но концевые витки при расчетах пружин на прочность и жесткость во внимание не принимаются.

Цилиндрические пружины характеризуются средним диаметром витка D, числом витков n, углом подъема виткови шагом пружины h (рис. 9.22).

Наибольшее распространение в технике имеют пру-

жины с небольшим углом подъема винтовой линии ( 5o ), называемые пружинами малого шага.

В пружинах малого шага можно пренебречь подъемом витков и считать длину витка примерно равной D , а сам виток – расположенным в плоскости, нормальной к оси пружины. Но в таком случае любое сечение прутка пружины плоскостью, содержащей ее ось, можно рассматривать как ее поперечное сечение. Указанные допущения положены в основу приближенного расчета пружин.

Рассмотрим пружину, нагруженную по концам растягивающими силами P, действующими вдоль оси пружины и направленными в противоположные стороны (рис. 9.22, а).

Разрежем пружину на две части. Отбрасывая нижнюю часть, заменим её действие на верхнюю поперечной силой Q

и крутящим моментом Мкр (рис. 9.22, б). Легко установить, что Q = P, а Мкр = PD/2.

Таким образом, пружина с малым шагом витков работает на срез (сдвиг) и кручение. Касательные напряжения от среза (рис. 9.22, в) считаем равномерно распределёнными по сечению витка пружины:

сд P 4P2 .

Fсд d

407

В. А. Жилкин

а

б

в

г

д

Рис. 9.22

Наибольшие касательные напряжения от кручения (рис. 9.22, г) возникают в наиболее удалённых точках от центра сечения и равны

		кр		Mкр		8PD	.
				W		d3

Во внутренней точке K витков напряжения от среза и кручения действуют в одну сторону, а потому суммируются:

	4P			8PD			8PD					d
max										1			.	(9.43)
	d	2		d	3		d	3
												2D

Для большинства пружин отношение d/2D – величина малая по сравнению с единицей, поэтому ею пренебрегают и учитывают только напряжения от кручения:

	max		8PD	.	(9.44)
			d3

Определим осадку пружины , имея в виду, что витки пружины при её деформации испытывают только кручение (срез не учитываем).

408

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

При статическом нагружении пружины работа A силы P

на перемещение :

A P2 .

Потенциальная энергия U, накопленная материалом

пружины при кручении:

	Mкр2 L	PD 2			Dn			4P2D3n
U										.
	2		2		2G	d4		Gd	4
	GJ					32

Приравнивая работу A и потенциальную энергию

P 4P2D3n , 2 Gd4

получим

	8PD3n		max nD2	.	(9.45)
	Gd4		Gd

Для пружин сжатия формула (9.45) справедлива лишь до полного обжатия пружины, т. е. до соприкосновения ее витков. После полного обжатия пружина начинает работать на осевое сжатие как прямой пустотелый брус.

Пример9.10. Определить из условия прочности при допускаемом напряжении 400 МПа диаметр проволоки цилиндрической пружины, имеющей средний диаметр витка D = 8 см. Максимальная нагрузка на пружину P = 20 кН.

Выбираем диаметр проволоки пружины 22 мм.

409