В. А. Жилкин

3.6.Понятие об объёмном напряженном состоянии

3.6.1. Главные напряжения

Объемное напряженное состояние в точке характеризуется тензором (3.1):

x T xyxz

xy	xz
y
	yz .
yz
	z

Найдем главные напряжения и положения главных площадок, если компоненты тензора T известны.

Пусть некоторая площадка с нормалью – главная. Тогда, рассуждая так же, как и в случае плоского напряженного состояния, граничные условия по наклонной площадке можно записать в виде

P x l xl xym zxn;

P y m xyl ym zyn;

P z l xzl yzm zn

или

x l xym xzn 0;
xyl y m yzn 0;		(3.28)

xzl yzm y n 0.

Между направляющими косинусами l , m и n нормали существует зависимость

l2 m2 n2 1.

Следовательно, тривиальное решение системы (3.28): l m n 0 невозможно, однако для существования других решений этой системы необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю, т.е.

134

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела
	x	xy	xz
	xy	y	yz	0 . (3.29)
	xz	yz	z

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение с неизвестным главным напряжением :

						3	J				2	J				J		0		.			(3.30)
									1			2					3
	В этом уравнении
J1 T x y z 1 2 3;
J	T																	2	2		2
			x		y				y		z		z			x
2																		xy		yz		zx
		1		2		2 3						3 1;
																							(3.31)
J	T						z		2									2		2		2
3			x	y						xy		yx zy					x	yx		y	zx	z xy
		1 2 3.
	Главные напряжения 1 , 2																		и	3 , как известно, не

должны зависеть от выбора осей координат x , y и z , а потому корни уравнения (3.30) и его коэффициенты (3.31) не ме-

няются при повороте координатных осей. Величины J1 T ,

J2 T и J3 T называются первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений.

Все корни уравнения (3.30) ввиду симметрии определи-

теля (3.29) действительны при любых исходных напряжениях

x , y , x , xy , yz , zx .

Для определения l , m и h, соответствующих одному из главных напряжений, надо значения этого напряжения подставить в (3.28) вместо . Совместное решение двух уравнений из системы (3.28) и условия между суммой квадратов направляющих косинусов позволяет найти искомые величины l , m и h.

135

В. А. Жилкин

3.6.2. Экстремальные касательные напряжения

Формулы плоского напряженного состояния (3.12) применимы и для случая объемного напряженного состояния, если одна из координатных осей совпадает с направлением одного из главных напряжений. Действительно, пусть ось z совпадает с линией действия напряжения 3 (рис. 3.6). Тогда, составляя суммы проекций всех сил, приложенных к граням трехгранной призмы на оси и , мы снова придем к уравнениям (3.12), геометрической интерпретацией которых является круг Мора, позволяющий сразу же записать выражение для максимального касательного напряжения:

max 12		1 2 .	(3.32)
		2
Если поочередно совместим ось z			с линией действия

главных напряжений 2 и 1 , то, рассуждая аналогично, получим

max 13		1 3	;
		2			(3.33)
		2 3
max 23
		2	.

Таким образом, в объемной задаче напряжения на площадках, параллельных главным напряжениям, определяются точками на трех окружностях Мора (рис. 3.6). Для любых пространственно наклоненных площадок (непараллельных ни одному из главных напряжений) нормальное и касательное напряжения определяются координатами точек области, затененной на рис. 3.6. Следовательно, наибольшая ордината из этой области, равная 13 , определяет максимальное касательное напряжение:

1 2 . (3.34)

max	2

Максимальное касательное напряжение в точке действует на площадке, наклоненной под углом 450 к максималь-

136

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

ному и минимальному из трех главных напряжений, и равно их полуразности.

Рис. 3.6

Прочность материала при переходе его под нагрузкой в пластическое состояние иногда связывают с величиной напряжения max , и поэтому оно наряду с главными напряжениями является важной характеристикой напряженного состояния.

3.6.3.Напряжения на произвольно наклонённых площадках

Вырежем из нагруженного тела в окрестности некоторой точки тремя парами параллельных плоскостей, совпадающих с главными, параллелепипед. Затем из этого параллелепипеда наклонной плоскостью с нормалью вырежем тетраэдр (рис. 3.7) и рассмотрим условия равновесия сил, приложенных к его граням.

137

В. А. Жилкин

Рис. 3.7

Пусть площадь наклонной грани F , тогда площади граней с нормалями x , y и z определяются по формулам

Fx F I,

Fy F m,

Fz F n.

Проектируя все силы на нормаль , найдем

F 1Fx I 2Fy m 3Fz n

1I2 2m2 3n2 F .

Сокращая на площадь F , получим окончательное выражение для нормального напряжения, действующего в наклонной грани:

1I2 2m2 2n2

.

(3.35)

С другой стороны, воспользовавшись граничными условиями, можем записать:

	P x 1I , P y 2m, P z 3n,	(3.36)
где P x ,	P y , и P z – проекции полного напряжения P , дей-

ствующего в наклонной плоскости, на оси x , y и z . Следовательно:

138

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

P	2I2	2m2	2n2 .	(3.37)
	1	2	3

Используя зависимости (3.35) и (3.37), можно найти касательные напряжения в наклонной площадке:

			P2	2
			12l2		22m2		32n2	1l2	2m2	3n2 2 .	(3.38)

Определим величину касательных напряжений по площадке равнонаклонённой к главным площадкам в исследуемой точке (октаэдрической площадке). В этом случае все три направляющие косинуса одинаковы и из равенства l2 m2 n2 1 следует, что

	l m n	1	.	(3.39)
		3

Подставляя (3.39) в (3.38) и преобразовывая его, получим

T окт	1	1	2 2	2	3 2	3	1 2 .	(3.40)
	3

Величина T широко используется в теории пластичности и называется октаэдрическим касательным напряжением, или интенсивностью касательных напряжений.

Нормальные напряжения на октаэдрической площадке в соответствии с формулой (3.35), равны среднему напряжению

	ср		окт		1	2	2		.	(3.41)
						3

Под интенсивностью нормальных напряжений, или интенсивностью напряжений, понимают величину

i	1	1	2 2	2	3 2	3	1 2		3T .	(3.42)
	2

139

В. А. Жилкин

3.7.Зависимостимежду внутреннимисиловымифакторами впоперечномсечениибрусаинапряжениями

Пусть ось x координатной системы xoy направлена вдоль оси бруса. У произвольной точки поперечного сечения бруса с координатами y и z рассмотрим элементарную площадку dF с действующими в ней напряжениями x , xy xz (рис. 3.8). На площадку действуют элементарные силы xdF ,xydF , xzdF , параллельные соответственно осям x , y и z .

Рис. 3.8

Эти элементарные силы в каждом поперечном сечении бруса связаны с внутренними усилиями, действующими в этом сечении, соотношениями:

N xdF;	Qy xydF;
F	F
Qz xzdF;	My x zdF;
F	F		(3.43)
Mz x ydF;
F
Mx xz y xy z dF dF.
F	F

В формулах (3.43) F – площадь; xy2 xz2 . Зависимости (3.43) называются статическими уравне-

ниями.

140