ГЛАВА10 Прямой изгиб

10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе

При изгибе бруса в общем случае, когда My 0 и Qz 0 , его точки находятся в различном напряженном состоянии:

наружные волокна находятся в линейном напряженном состоянии;

точки, лежащие в нейтральном слое, – в состоянии чистого сдвига;

все остальные – в условиях плоского напряжённого состояния. Максимальные значения нормальных и касательных напряжений оказываются в разных точках сечения. В точках, где x максимально (наружные волокна балки), xz 0 ,

и наоборот, там, где xz максимальны (нейтральный слой),

x 0 .

Таким образом, с точки зрения прочности по нормальным напряжениям, опасным сечением бруса будет то, в котором изгибающий момент достигает наибольшего значения, а опасными точками в этом поперечном сечении – точки наружных волокон, находящиеся в линейном напряжённом состоянии. С точки зрения прочности по касательным напряжениям, опасным сечением является сечение с наибольшей поперечной силой, в котором опасные точки – точки нейтрального слоя бруса, находящиеся в состоянии чистого сдвига. Поэтому рассматривают два условия прочности, относящиеся к различным точкам бруса:

по нормальным напряжениям

xmax

My max

;

(10.24)

W

y

по касательным напряжениям

Q

zmax

Sотс

xzmax

y max

.

(10.25)

Jy b

Для хрупких материалов, имеющих различные пределы

прочности при растяжении P

и сжатии СЖ , требуется

465

В. А. Жилкин

проверка прочности по наибольшим растягивающим x _ Р
и наибольшим сжимающим x _ СЖ					напряжениям:
x _ Р	My max		zP		;
				P
		Jy
x _ СЖ		My max		zСЖ .
		Jy			СЖ
Обычно из условия прочности по нормальным напряже-

ниям (10.24) определяют размеры поперечного сечения бруса:

Wy	My max			,	(10.26)

а потом проверяют, удовлетворяет ли выбранное сечение условию прочности по касательным напряжениям (10.25).

Практика показывает, что в брусьях, имеющих сплошные поперечные сечения, такие, как прямоугольник, круг,

квадрат, а также сечения с достаточно толстыми стенками, опасными являются крайние точки в сечении, в котором

изгибающий момент имеет максимальное значение.

Поэтому практический расчет брусьев на прочность производят по условию прочности (10.24) без учета касательных напряжений.

Однако такой подход к расчету брусьев, особенно балок с оптимальной формой сечения, обеспечивающей минимальный вес и необходмую прочность (двутавровые, тавровые, швеллерные и другие профили), еще не гарантирует их прочность. Во многих случаях в сечениях брусьев имеются точки, в которых одновременно действуют как большие нормальные, так и большие касательные напряжения.

В частности, такое сочетание x и xz имеет место при изгибе двутавровой балки в зоне перехода полки в стенку. В таких случаях возникает необходимость проверки балки на прочность по главным напряжениям.

466

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Зная главные напряжения, определяемые по формулам (10.21–10.22), по теориям прочности находят эквивалентные напряжения, которые не должны превышать допускаемых. Расчет балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, рекомендуется проводить по III и IV теориям прочности, для которых условия прочности имеют вид

экв_ III	x2	4 xz2		,		(10.27)
экв_ IV	x2	3 xz2			,	(10.28)

Для таких материалов, как чугун или бетон, оказывающих различное сопротивление растяжению и сжатию, рекомендуется пользоваться теорией прочности Мора:

			экв_ M		1 m	x	1 m	x2 4 xz2		, (10.29)
					2		2
где m
	P			.
	СЖ

При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, возможны три следующих вида задач, различающихся формой использования условия прочности (10.24):

а) проверка напряжений (проверочный расчет); б) подбор сечения (проектный расчет);

в) определение допускаемой нагрузки (определение грузоподъемности).

10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев

При проектировании элементов машин и механизмов большое значение имеет выбор рациональной формы поперечного сечения бруса (балки).

Для брусьев из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, целесообразно выбирать

467

В. А. Жилкин

сечения, симметричные относительно их нейтральных осей; при этом условии обеспечивается одинаковый запас прочности сечения по растянутым и сжатым волокнам.

Размеры поперечных сечений сложной формы обычно определяются путем последовательных попыток до тех пор, пока момент сопротивления выбранного сечения не окажется примерно равным требуемому моменту сопротивления.

Можно допустить, чтобы фактический момент сопротивления (при принятых размерах сечения) был несколько меньше требуемого (до 5%); при этом максимальные напряжения будут превышать допускаемые не более чем на 5%.

Следует стремиться к тому, чтобы подобранное сечение было как можно более рациональным по расходу материала, т. е. таким сечением, которое при заданном моменте сопротивления Wy имеет наименьшую площадь сечения F, а при заданной площади F – наибольший момент сопротивления Wy . Этого можно достичь, располагая возможно большую часть площади поперечного сечения как можно дальше от нейтральной оси. Так, например, у балки прямоугольного сечения материал вблизи нейтральной оси находится в наименее напряженной зоне сечения и потому полностью не используется; у двутавровой балки большая часть материала расположена в наиболее напряженной зоне. Поэтому при одинаковой прочности двутавровая прокатная балка оказывается в 2...3 раза легче прямоугольной. По этой же причине круглое сечение и в особенности крестообразное невыгодны и поэтому, как правило, для балок не применяются.

Для материалов хрупких, обладающих различной прочностью при растяжении и сжатии, рациональным будет сечение, несимметричное относительно нейтральной оси, например, тавровое, несимметричное двутавровое и т. п.

Так как подбор размеров поперечных сечений производят по наиболее опасному сечению, то в остальных сечениях, где изгибающие моменты меньше максимального, нормаль-

468

ГЛАВА10 Прямой изгиб

ные напряжения могут оказаться намного меньше допускаемых напряжений. Размеры этих поперечных сечений можно было бы уменьшить. Тогда получили бы балку переменного сечения.

Если наибольшие нормальные напряжения во всех попе-

речных сечениях равны допускаемому напряжению, то балка называется балкой равного сопротивления изгибу.

Пусть задана консольная балка прямоугольного поперечного сечения, жестко защемлённая левым торцом и нагруженная на правом торце сосредоточенной силой P (рис. 10.17). Пусть высота сечения постоянна, а ширина меняется по линейному закону

b x bL0 x ,

где b0 – ширина поперечного сечения балки в заделке; L – длина балки.

На расстоянии x от силы P момент сопротивления сече-

ния

Wy x	b x h2		b0h2 x		Wy 0	x	,
	6		6 L			L

где Wy 0 – момент сопротивления в заделке, а изгибающий момент

My x Px .

Тогда максимальные напряжения в сечении:

max	My x		Px				PL	const .
	Wy x			x			Wy 0
			Wy 0 L

Таким образом, наибольшие нормальные напряжения во всех сечениях бруса одинаковы, следовательно, получили балку равного сопротивления изгибу при работе балки в упругой стадии.

469

В. А. Жилкин

Рис. 10.17

Стальная рессора представляет собой шарнирно опертую по концам балку равного сопротивления прямоугольного поперечного сечения с постоянной высотой h и переменной шириной b(x).

Пример10.1. Подобрать сечение консольной балки двутаврового профиля, нагруженной, как показано на рис. 10.18. Допускаемые напряжения принять 160 МПа, 100 МПа.

Рис. 10.18

Подбор сечения балки выполним в MathCAD.

470

ГЛАВА10 Прямой изгиб

471

В. А. Жилкин

472

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Пример10.2. Балка П-образного профиля (на рис. 10.19, а размеры даны в мм) подвергается изгибу в вертикальной плоскости xz.

В опасном сечении Qmax 120 кН, Mmax 50 кН·м. Определить величину наибольших нормальных и касательных

напряжений, построить эпюры распределения касательных напряжений x .

Как обычно, все вычисления будем выполнять в MathCAD.

1.Определение центра тяжести сечения (рис. 10.19, б). Распо-

лагаем поперечное сечение в первой четверти системы ко-

ординат o . Так как фигура симметричная, то центр тяжести

лежит на оси симметрии, т.е. ц.т 60 мм. Для определения координаты ц.т разобьём сечение на три простые фигуры (прямоугольники), составим вектора: координат центра тя-

жести простых фигур и площадей, а затем по формуле (2.4) вычислим координату ц.т .

а

б

в

Рис. 10.19

473

В. А. Жилкин

Итак, центр тяжести сечения расположен на расстоянииц.т 11,5 см от оси системы координат o .

В центре тяжести сечения располагаем главные центральные оси yoz заданного поперечного сечения.

2.Определение осевого момента инерции Jy относительно главной центральной оси y. Составляем вектор расстояний между осью y и осями i (i = 1, 2, 3) простых фигур и далее вычисляем момент инерции Jy по формуле (2.5).

3.Определение максимальных нормальных напряжений. Мак-

симальные нормальные напряжения возникают в точке, наиболее удалённой от нейтральной оси z ц.т. (рис. 10.19, а).

Максимальные нормальные напряжения равны 153,3 МПа.

4.Вычисление касательных напряжений x по формуле (10.20).

Вид эпюры x определяется статическим моментом отсечённой части площади Sнотс.о. , величина которого берётся по модулю.

474

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Поэтому предварительно определим выражения для вычисления статических моментов отсечённых площадей сечениями, проведёнными через произвольные точки стенки и полки.

Отсечем часть площади правой стенки на расстоянии z от нейтральной оси, как показано на рис. 10.19, а и вычислим её статический момент:

								z
Syотсстенки ц.т			z				ц.т		2 z2	ц2.т .
							2
Как следует из приведённого уравнения, Syотсстенки изменя-
ется по параболическому закону и при z ц.т										Syотсстенки 0 ,
при z 0 Syотсстенки достигает максимального значения ц2.т 2 .
Отсечем часть площади полки на расстоянии y от оси z.
Статический момент отсеченной части площади:
отс	b	y
Sy _ полки				h			2	ц.т
	2
	h
h		2		ц.т ,
линейная функция от y. При y 0 Syотсполки									0 .

475

В. А. Жилкин

Определим касательные напряжения x в полке профиля.

Эпюра касательных напряжений x для П-образного профиля приведена на рис. 10.19, в.

Пример10.3. Определить величину нормальных, касательных и главных напряжений в точке C двутавровой балки № 40, пролётом L = 4 м, свободно лежащей на двух опорах и нагруженной посредине силой P = 150 кН (рис. 10.20). Точка C расположена под силой P непосредственно левее её и выше нейтрального слоя на 10 см. Найти также величину нормальных и касательных напряжений в той же точке C по площадке, наклонённой к оси балки на угол 30o .

476

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Решение. Из сортамента прокатной стали выписываем геометриче-

ские характеристики двутавра № 40: h = 400 мм; b = 155 мм; d = 8 мм; t = 13 мм; Jy 18 930 см4.

Так как расчетная схема балки симметричная, то опорные реакции одинаковы и равны P/2. Следовательно, в сечении под силой для правого торца балки Qz P2 , а My PL4 .

Статический момент отсеченной части площади (рис. 10.21):

отс	bt	h t		d	h		h
Sy		2		2		2	t zC	2	t zC .

Рис. 10.20

Рис. 10.21

Все дальнейшие вычисления выполним в MathCAD.

477

В. А. Жилкин

10.9. Потенциальнаяэнергияприпрямомпоперечномизгибе

Как было выяснено ранее, полная удельная потенциальная энергия определяется по формуле (5.30):

u	1							2
			2		2		2	1 2 2 3		.	(а)
			1		2		3
	2E								3 1

При прямом поперечном изгибе точки бруса находятся в условиях плоского напряженного состояния с главными напряжениями

1		x				2	2	; 2	0 ;
					x		xz
	2			2
3		x				2	2	,	(б)
					x		xz
	2			2

что позволяет зависимость (а) переписать в виде

u	1					2
							.	(в)
	2E		1		3	1 2

478

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Из формул (б) следует

2	2		3	2			2 2		;
1						x		xz
						2					2	2
1 3											2		2	(г)
					x					x	xz		xz .
				2					2

Подставляя зависимости (г) в формулу (в) и учитывая, что

G 2 1E ,

найдём выражение для удельной потенциальной энергии при прямом поперечном изгибе:

2

2

1

M

y

2

1

Q

Sотс

2

u

x

xz

z

z

y

.

Jy

2G

Jy b z

2E 2G 2E

В элементарном объёме

dV Fdx

бруса длиной dx

будет накоплена потенциальная энергия

1

M

y

2

1

Q

Sотс 2

dU

z

dV

z

y

dV .

(д)

2E

Jy

2G

Jy b z

Интегрируя зависимость (д) по всему объёму бруса и заменяя объёмный интеграл на двойной, получим

1

M

2

1

Q Sотс 2

U

y

z

dV

z y

dV

2E

Jy

V

V 2G

Jy b z

L F

M2

z2dFdx L F

Qz2 Syотс 2

y

dFdx

2EJy2

2GJ2

b z 2

y

My2

2

Q2

F

Syотс 2

z

dF

dx

z

dF dx.

2

2GF

2

b z

2

L

2EJy

F

L

Jy F

479

В. А. Жилкин

Учитывая, что z2dF Jy и вводя обозначение

		F
	F	F	Syотс 2
					dF ,
	Jy2		b z 2

выражение для потенциальной энергии U при прямом поперечном изгибе можно переписать в окончательном виде:

U	My2	dx	Q2	dx
			z		.	(10.30)
L 2EJy		L	2GF

Величина представляет собой численный безразмерный коэффициент, который зависит от формы поперечного сечения. Для прямоугольного сечения

F

F

Syотс 2

dF

bh

Jy2

b z

2

bh3 2

2

12

b

h 2

b

h2

z

2

2

6

1,2;

4

bdz

5

h 2

2

для круглого сечения 109 ; для балки двутаврового сечения можно приближённо определить по формуле

FFст ,

где F – полная площадь поперечного сечения;

Fст – площадь сечения стенки двутавра.

В том случае, когда брус имеет несколько участков, различающихся законами изменения жесткостей поперечных сечений, изгибающих моментов и поперечных сил, потенциальную энергию деформаций следует определять по формуле

	U	My2	dx	Q2	dx	,	(10.31)
				z
		2EJy		2GF
	i L		i L
	i		i

где i – порядковый номер участка балки.

480