yoz .

ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела

заранее нельзя однозначно утверждать, что заданным шести компонентам деформаций соответствует какое-то непре-

рывное поле перемещений. Деформации, которым отвечает непрерывное поле перемещений, называются совместными деформациями. Они удовлетворяют шести дифференциаль-

ным уравнениям совместности, полученным французским ученым Сен-Венаном в 1864 г. В случае плоского напряженного состояния условие совместности деформаций x , y ,xy выражается одним уравнением

2 х	2 у		2 ху	0.
			х у
у2	х2

Всопротивлении материалов обычно не прибегают

крешению уравнений совместности деформаций, заменяя эту процедуру введением гипотезы плоских сечений, что позволяет значительно облегчить процесс вывода расчетных зависимостей, правомерность которых подтверждается экспериментальной практикой.

4.2.Относительная деформация в произвольном направлении

Об элементе материала, в котором возникают только относительные продольные x , y и сдвиговые xy деформации, говорят, что он находится в плоском деформированном состоянии. В таком элементе не будет ни нормальной де-

формации z , ни деформации сдвига xy , yz соответственно в плоскостях xoz и

Выведем формулы преобразования для плоского деформированного состояния. Предположим, что в теле вырезан элементарный объём с размерами, в плане равными единице, и что продольные x , y и сдвиговые деформации, отнесенные к осям x и y, известны. Требуется определить продольные и сдвиговую деформации, отнесенные к осями , повернутым относительно оси x на угол (рис. 4.4).

151

В. А. Жилкин

Продольную деформацию в направлении оси будем обо-

значать через

, а деформацию сдвига, отнесенную к осям

– через

,

o

. При 0 :

x

xy

.

а

б

в

г

Рис. 4.4

На рис. 4.4 показан прямоугольный элемент со сторонами dx и dy, диагональ которого направлена вдоль оси . В результате деформации x , y , xy этот элемент удлинится в направлении оси x на величину xdx (рис. 4.4, б), в направлении оси y – на ydy (рис. 4.4, в), а прямой угол xoy уменьшится на величину xy (рис. 4.4, б). Каждая из этих трех деформаций будет вызывать изменения длины диагонали. Соответствующие увеличения длины диагонали,

как показано на рисунке, равны xdx cos , ydy sin

и xydy cos .

Таким образом, полное удлинение длины диагонали dL равно сумме этих трех величин:

dL xdx cos ydy sin xydy cos ,

152

ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела

а относительная деформация в направлении оси :

dL

dx cos

dy sin

dy cos .

dL

x dL

y dL

xy dL

Учитывая, что

dx cos

, а dy

sin , окончательно

можно записать:

dL

dL

x

cos2

y

sin2

1

xy

sin2

(4.6)

2

или

x

y

x

y

cos2

1

sin2

. (4.7)

2

2

2

xy

Если заданы деформации x , y и xy , то для нахождения относительной продольной деформации можно воспользоваться любым из этих соотношений. Для получения относительной деформации в направлении оси необходи-

мо в соотношение (4.6) или (4.7) подставить вместо угол

/ 2 .

Найдем зависимость для определения деформации сдвига . В результате деформации x ось поворачивается по часовой стрелке на малый угол, равный xdx sin dL (рис. 4.4, б). Деформация y приводит к повороту оси против часовой стрелки на угол ydy cos dL (рис. 4.4, в), а согласно (рис. 4.4, г) – по часовой стрелке на величину xydy sin dL.

Таким образом, суммарный поворот оси по часовой стрелке:

x sin cos y sin cos xy sin2 . (4.8)

Суммарный поворот по часовой стрелке оси можно найти подстановкой в выражение (4.8) вместо угла / 2 . Следуя последней процедуре, получим выражение

x sin cos y sin cos xy cos2 . (4.9)

153

В. А. Жилкин

Уменьшение прямого угла				o (равное деформации
сдвига ) составляет			. Отсюда с учетом соотноше-

ний (4.8) и (4.9) найдем:

2 x y sin cos xy cos2 sin2 .

Выполнив алгебраические и тригонометрические преобразования над последним выражением, получим окончательную зависимость для деформации сдвига:

	1		x y	sin2	1	xy cos2 .	(4.10)
	2		2		2

4.3.Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке

Сопоставление соотношений (3.8) и (3.9) для плоского напряженного состояния и зависимостей (4.6) и (4.10) для плоского деформированного состояния показывает, что выражения для деформаций и имеют ту же самую общую форму, что и выражения для напряжений и . Ана-

логия между соотношениями такова, что напряжения x , y ,
	соответствуют деформациям					,			и , а напряжения
	, – деформациям 1		xy	и 1	x		.	y
xy	2			2

На основании этой аналогии мы можем высказать следующие утверждения. Для плоского деформированного состояния всегда можно указать два взаимно перпендикулярных направления, проходящих через данную точку, в которых взаимно перпендикулярные отрезки испытывают деформации max и min , а прямой угол между ними не изме-

няется. Указанные относительные удлинения max и min называют главными деформациями в точке. В точках упругого

иизотропного материала направления главных напряжений

иглавных деформаций всегда совпадают, чего нельзя сказать об анизотропных материалах.

154

ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела

Сумма относительных удлинений для любых взаимно перпендикулярных направлений есть величина постоянная:

x y max min const .

Причем

		x		y				x		y	2	1		2
max														xy	. (4.11)
			2						2				2
min

Направления главных деформаций находят по формуле

	tg2 гл		xy				.	(4.12)
			x		y

Максимальная деформация сдвига возникает в плоскостях, образующих углы 450 с главными плоскостями, и определяется равенством

1				x		y	2	1		2
	max									xy .	(4.13)
2					2				2

В плоскостях с максимальной деформацией сдвига нормальные деформации равны x y / 2 .

Пример 4.1. Элемент находится в плоском напряженном состоянии (рис. 4.5).

Его относительные деформации равны:

5,32 10 4 ,

x

y 1,82 10 4 , xy 1,24 10 3 . Определить величину и направление главных деформаций.

Все вычисления выполним в MathCAD.

Рис. 4.5

155

В. А. Жилкин

В случае объёмного напряженного состояния шесть
компонент деформаций x ,	y	и z ,	1		xy	,	1		yz	и	1		zx
образуют тензор деформаций			2				2				2

x

T xy

2

xz2

	xy
					xz
	2			2
				yz			,	(4.14)
		y
			2
	yz
				z
	2

который по аналогии с тензором напряжений имеет три инварианта:

J1 T x y z 1 2 3;
																							2					2				2
	T
J																								xy				yx					zx																	; (4.15)
2			x			y				y			z				z			x			4 4									4					1		2				2		3		3		1
												xy			yz		zx							2							2						2
J	T																							xy							yz					zx										.
														4								x 4
3			x		y			z																					y 4						z 4						1	2 3

Аналогично интенсивности напряжений интенсивностью деформаций называется величина

156