ГЛАВА1 Основные понятия

Соотношения (1.2, 1.3, 1.5, 1.6) носят название диффе-

ренциальных зависимостей при изгибе.

1.6.7.Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой

Разделим переменные в уравнениях (1.6) и (1.7):

dNx qxdx ; dQz qzdx ; dMy Qzdx ,

проинтегрируем их от x = 0 до текущего значения координаты x:

	x	x	x	x	x	x
	dNx qxdx ; dQz qzdx ; dMy Qzdx ,
0		0	0	0	0	0
получим
			x
	Nx x Nx0 qxdx;
			0
	Qz x Qz0		x
			qzdx;			(1.11)
			0
			x
	My x My0 Qzdx,
			0

т.е. внутренние силовые факторы в некотором сечении x бруса равны площадям под графиками qx , qz и Qz, взятым с соответствующими знаками. Nx0 , Qz0 , My0 – значения внутренних силовых факторов в поперечном сечении бруса x = 0.

1.6.8. Примеры и правила построения эпюр

При построении эпюр придерживаются определенных правил. Все эпюры строятся на одном чертеже, непосредственно под схемой бруса. Оси эпюр проводятся параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним в заранее выбранных масштабах откладываются значения силы в соответствующем

35

В. А. Жилкин

сечении. Положительные значения откладываются выше, а отрицательные – ниже оси эпюры. Положительная область эпюры обозначается знаком (+), а отрицательная – знаком

(–). Все эпюры штрихуются прямыми линиями, перпендикулярными их осям.

Границами участков бруса являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, начинаются и кончаются распределенные нагрузки или изменяются поперечные размеры бруса. В пределах участков бруса аналитические выражения исследуемых величин не изменяются.

Для построения эпюр требуется составить аналитические выражения для внутренних силовых факторов в текущих сечениях каждого участка, а затем начертить графики найденных функциональных зависимостей.

Пример 1.1. Построить эпюру N для стержня, изображенного на рис. 1.12,

где P1 = 10 кН, P2 = 26 кН, q = 2 кН/м, L1 = 4 м, L1 = 3 м, L1 = 2 м, L1 = 4 м.

В сопротивлении материалов в соответствии с гипотезой о малости перемещений, которая будет рассмотрена позже, при определении опорных реакций и внутренних силовых

факторов тела рассматривают как абсолютно твёрдые (обра-

тите внимание, только в этих случаях!). Поэтому при решении этих задач можно использовать основные положения теоретической механики.

Так как в рассматриваемой задаче все внешние силы лежат на одной прямой, то в соответствии с первой аксиомой статики2, следствием второй аксиомы3 и третьей аксиомой статики4 в произвольных сечениях стержня из всех внутренних силовых факторов будет отлична от нуля только нормальная сила N.

2 Две силы, приложенные к абсолютно твёрдому телу, будут уравновешены тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

3 Не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

4 Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме.

36

ГЛАВА1 Основные понятия

а

б

в

г

д

е

Рис. 1.12

А.Выберем декартовую прямоугольную систему координат xOy,

расположив её начало в центре тяжести левого торца стержня, а ось x совместим с осью стержня.

B.Разобьём стержень на участки (рис. 1.12, а).

C.Проводя последовательно сечения на расстоянии Xi (i = 1,…, 4) от начала координат (рис. 1.12, б, в, г, д) и проектируя на ось x

все внутренние и внешние силы, действующие на отсеченную

часть бруса, получаем:

для первого участка –P1 + N1 = 0; для второго участка

x2

P1 qdx N2 0 ,

L1

37

В. А. Жилкин

согласно геометрическому смыслу определённого интеграла

x2 qdx

L1

равнодействующая распределённой нагрузки численно равна площади погонной нагрузки q(X) на интервале интегрирования;

для третьего участка –P1 – qL2 + N3 = 0;

для четвёртого участка –P1 – qL2 + P2 + N4 = 0.

Откуда
N1	= P1	= 10 кН;
		x2
N2 P1		qdx P1 q x2 L1 10 2 x2 4 кН;
		L1
N3	= P1	+ qL2	= 16 кН;
N4	= P1	+ qL2	–P2 = –10 кН .

D. Строим эпюру нормальных сил (рис. 1.12, е).

Выше записанные уравнения для нормальных сил можно обобщить на случай действия на отсеченную часть m сосредоточенных и k распределенных нагрузок:

m	k
N x Pi qdx .		(1.12)
i 1	j 1 Lj

Для нормальных сил принято следующее правило знаков: условились растягивающую силу N считать положительной, а сжимающую – отрицательной.

Уравнение (1.12) можно сформулировать в виде удобного для практических целей правила:

Нормальная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме всех продольных внешних (активных и реактивных) сил, расположенных по одну (любую) сторону от сечения.

38

ГЛАВА1 Основные понятия

Силы, направленные от рассматриваемого сечения (растягивающие), берутся со знаком плюс, а направленные на сечение (сжимающие) – со знаком минус.

Пример 1.2. Построить эпюры N, Q и M для балки, изображенной на рис. 1.13.

Рис. 1.13

А.Введем декартовую правую систему координат с началом на шарнирно-неподвижной опоре A. Освобождаем брус

от связей. Действие связей заменяем реакциями связей.

Все силы, не перпендикулярные оси балки, разлагаем на две

составляющие: перпендикулярную оси Py = P·sinα и направленную вдоль оси Px = P·cosα балки (рис. 1.14).

Рис. 1.14

B.Из условий равновесия системы сил, приложенных к брусу, определяем реакции связей.

39

В. А. Жилкин

X 0; XA Px 0;

Y 0; YA Py RB 0;

MA 0; Py a RB L 0;

X	A	P	P cos ; R		Py а	P sin a;
		x	B		L	L

YA Py Rb .

YA P sin	P sin		1		a		P sin	b .
	L	a P sin					L
					L

C.Брус разбиваем вдоль его оси на участки, в пределах которых характер внешней нагрузки не изменяется. Таких участков у нас два (рис. 1.14).

Построение эпюр на основе аналитических выражений для внутренних силовых факторов

D.На каждом из участков брус мысленно рассекаем на две части (рис. 1.15) и отбрасываем правые части бруса. Действие

отброшенных частей заменяем реакциями связей – внутренними силовыми факторами M, Q и N (рис. 1.15, а, б).

а

б

Рис. 1.15

G.Для каждой отсеченной части записываем уравнения равновесия, из которых находим аналитические выражения для M,

Q и N.

40

ГЛАВА1 Основные понятия
Участок 1 0 x1 a:
X 0;	XA N1 0;	N1 XA P cos const;
Y 0;	YA Q1 0; Q1	YA P sin	b const;
		L	P sin b x1.
M0 0;	YA x1 M1	0; M1 YA x1
			L

Нормальная N1 и поперечная Q1 силы на этом участке постоянны. Графики этих функций – прямые линии, параллельные оси x.

Момент M1 есть линейная функция от X1. График этой функции – прямая линия, пересекающая ось x. Для построения графика этой функции в пределах первого участка достаточно знать две её точки в начале и конце участка:

		при x1	0 M 0 P sin b 0 0 ;
			1	L
		при x1	a M1 a	P sin	b a.
				L
Участок 2		a x2 L :
X 0;	XA	Px N2 0; N2 XA P cos 0 const;
Y 0;	YA	Py Q2 0;	Q2 YA Py	RB P sin a const;
					L
M0 0;	YAx2 Py x2 a M2 0;			M2 YAx2	Py x2 a P sin a L x2 .
					L

Нормальная N2 и поперечная Q2 силы на втором участке постоянны. Графики этих функций– прямые линии, параллельные оси x.

График изгибающего момента M2 – прямая линия, пересекающая ось x. Для построения графика этой функции

впределах второго участка достаточно знать две её точки

вначале и конце участка:

при x2 a M2 a P sinL b a; при x2 L M2 a 0 .

41

В. А. Жилкин

H.Строим графики функций M, Q и N вдоль оси бруса в пределах

рассматриваемых участков.

Эпюры N, M и Q приведены на рис. 1.16.

Рис. 1.16

Правильность построения эпюр на каждом из участков проверяем с помощью дифференциальных зависимостей (1.6, 1.7, 1.9, 1.10), из которых следует:

Участок 1		dNx
qx 0				, т.е. Nx const ;
		dx
qz 0	dQz			, т.е. Qz const .					(1.13)
		dx
Qz	dMy		, т.е.		dMy		P sin	b 0 .	(1.14)
							L
	dx				dx

42

ГЛАВА1 Основные понятия

Зависимости (1.13) и (1.14) не противоречат виду эпюр, приведенных на рис. 1.16. Следовательно, эпюры на первом участке построены правильно.

Участок 2			dNx
qx 0					, т.е.	Nx const ;
				dx
qz 0 dQz					, т.е. Qz const .					(1.15)
				dx
Qz	dMy			RB, т.е.			dMy	P sin		a 0 .(1.16)
		dx					dx		L

Зависимости (1.15) и (1.16) подтверждают правильность построения эпюр на втором участке.

На основании проведенных вычислений можно сформулировать два правила, которых следует придерживаться при построении эпюр.

Правило 1

На участке бруса, где отсутствует распределенная нагрузка, поперечная сила имеет постоянное значение, а изгибающий момент меняется по линейному закону.

Правило 2

В сечении, в котором к брусу приложена сосредоточенная сила на эпюре Q, наблюдается скачок на величину этой силы в направлении, обратном направлению силы, а на эпюре М будет перелом, причем острие перелома направлено в сторону, противоположную направлению действия силы.

Построение эпюр на основе интегральных зависимостей для внутренних силовых факторов (практический способ)

Участок 1 0 x1 a. qx 0 , qy 0 :

43

В. А. Жилкин
x1
N x1 N0 qxdx XA;
0
x1
Q x1 Q0 qydx YA;
0
x1
M x1 M0 Qdx 0 YA x1.	(1.17)
0

Интегралы в зависимостях (1.17) представляют собой площади эпюр qx, qz и Q: например, YA a – площадь эпюры Q на первом участке; YA x1 – площадь эпюры Q от начала участка до сечения x = x1.

При x1 0 N1 0 XA ; Q1 0 YA ; M1 0 0 . При x1 a N1 a XA ; Q1 a YA ; M1 a YA a .

В начале и конце первого участка мы получили те же значения внутренних силовых факторов, что и при аналитическом способе вычисления ординат эпюр. Практический способ вычисления ординат эпюр гораздо проще аналитического, и в данном случае все вычисления могут быть выполнены «в уме».

Правила построения эпюр практическим способом

1.В начале участка ордината эпюры внутреннего силового фактора равна его величине (N0, Q0, M0), взятой с соответствующим знаком.

2.В произвольной точке того же участка с абсциссой х ор-

дината эпюры внутреннего силового фактора равна алгебраической сумме ординаты в начале участка и площади эпюры производной этого внутреннего силового фактора по координате х dЭ/dx на участке от х = х0 до х (например, если строится эпюра М, то вычисляется площадь участка эпюры Q, т.к. Q dMdx ).

44

ГЛАВА1 Основные понятия

Участок 2 a x2 L . qx 0 , qy 0 ;

x2

N x2 N1 a P cos qxdx 0;

a

x2

Q x2 Q1 a P sin qydx RB;

	a
x2	x2
M x2 M1 a Q x2	dx YA a RBdx.
a	a

При x2 a N2 a 0 ; Q2 a RB ; M2 0 YA a M1 a .

При x2 L N2 L 0 ; Q2 L RB ; M2 L 0 .

В начале и конце второго участка получены те же значения внутренних силовых факторов, что и при аналитическом способе вычисления ординат эпюр.

Ввиду простоты вычисления ординат эпюр практическим способом в дальнейшем там, где это возможно, будем использовать практический способ.

Пример 1.3. Построить эпюры N, Q и M для балки, изображенной на рис. 1.17.

A.Введем декартовую правую систему координат с началом на шарнирно-неподвижной опоре A. Освобождаем брус

от связей. Действие связей заменяем реакциями связей.

B.Из условий равновесия системы сил, приложенных к бру-

су, определяем реакции связей. Так как пара сил может быть уравновешена только парой сил, то RA RB M / L (рис. 1.18).

45

В. А. Жилкин

Рис. 1.17

Рис. 1.18

C.Брус разбиваем вдоль его оси на участки, в пределах которых характер внешней нагрузки не изменяется. Таких участков у нас два (рис. 1.18).

D.На каждом из участков записываем аналитические выражения для M, Q и N. Так как к брусу не приложены силы, направленные вдоль его оси, то N 0 , и нам остаётся построить только эпюры M и Q.

Участок 1 0 x1 a. qx 0 , qy 0 :

x1

Q x1 Q0 qydx RA;

0

x1

M x1 M0 Qdx 0 RA x1.

0

46

ГЛАВА1 Основные понятия
При x1	0 Q	0 R		A		; M	0 0 .
	1					1
При x1 a Q1		a RA			; M		a R	A	a .
						1
Участок 2 a x2 L . qx 0 , qy 0 ;
x2
Q x2 Q1 a qydx RA;
a
x2						x2					x2 a .
M x2 M1 a M Q x2 dx RA a M RАdx M b M
a						a			L	L
При x2	a Q	a R	A			; M	a R b M b .
	2					2		B		L
При x2	L Q	L R	A		; M		L 0 .
	2					2

E.Строим графики функций M, Q вдоль оси бруса в пределах

рассматриваемых участков (рис. 1.19): RAa – площадь эпюры Q на первом участке; RBb – площадь эпюры Q на втором участке. Скачок на эпюре моментов равен

RAa RBb ML a ML b ML a b M .

Рис. 1.19

47

В. А. Жилкин

Правило 3

Всечениях, где к брусу приложена сосредоточенная пара

смоментом М, на эпюре М будет скачок на величину момента пары сил. Направление скачка зависит от направления

пары сил. Если пара сил стремится изогнуть брус выпуклостью вниз (предполагается, что в рассматриваемом сечении, находящимся за местом приложения пары, поставлена заделка), то скачок направлен вверх, в противном случае – вниз. На эпюре Q наличие пары сил в рассматриваемом сечении никак не отражается.

Пример 1.4. Построить эпюры N, Q и M для балки, изображенной на рис. 1.20.

Рис. 1.20

A.Введем декартовую правую систему координат с началом на шарнирно-неподвижной опоре A. Освобождаем брус

от связей. Действие связей заменяем реакциями связей.

B.Из условий равновесия системы сил, приложенных к брусу, определяем реакции связей. Так как к балке приложена

только равномерно распределенная нагрузка qy, то реакции
опорных закреплений равны YA RB qyL	/ 2 ;	XA 0
(рис. 1.21).

Рис. 1.21

48

ГЛАВА1 Основные понятия

C.Брус разбиваем вдоль его оси на участки, в пределах которых характер внешней нагрузки не изменяется. Таких участков у нас один (рис. 1.21).

D.Записываем аналитические выражения для M, Q и N. Так как

к брусу не приложены силы, направленные вдоль его оси, то N 0 , и нам остаётся построить только эпюры: M и Q.

Участок 1 0 x L . qx 0 , qy q :

x

Q x Q0 qydx YA q x;

0

M x M0 x Q x dx 0 YA x q 2x2 .

0

Так как эпюра M(x) является квадратичной параболой, то для её построения необходимо знать хотя бы три точки: в начале участка, в конце участка и в точке, в которой изгибающий момент M(x) достигает максимального значения. Из математики известно, что для этой точки выполняется соотношение

		dM x	0	.
		dx
	Но	dM x	Q .
		dx

Следовательно, в тех точках рассматриваемого участка, где Q = 0, изгибающий момент будет максимальным либо минимальным.

При x 0 Q 0 YA ; M 0 0 .

При x L Q L RB ; M L 0 .

При x	L		L			q L	q	L	0 .
	2	Q	2			2		2

49

В. А. Жилкин

Так как слева от этой точки M > 0, а справа M < 0, то в этой точке момент максимален:

	L			qL		L		q		L 2			q L2
M	2			2		2		2		2			8	.

E.Строим графики функций M, Q вдоль оси бруса в пределах рассматриваемого участка (рис. 1.22).

Рис. 1.22

Правило 4

На участках бруса, вдоль которых действует равномерно распределенная нагрузка, поперечная сила меняется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратичной параболы, при этом выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную направлению распределенной

нагрузки.

Правило 5

Изгибающий момент достигает аналитического максимума или минимума в сечениях, в которых поперечная сила равна нулю. В этих сечениях касательная к эпюре M параллельна оси бруса. Если при движении вдоль оси бруса слева направо поперечная сила меняет знак с плюса на минус, то изгибающий момент достигает минимума, а если с минуса на плюс – максимума.

50