ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов

5.4. Закон Гука при сдвиге

Пусть материал в окрестности некоторой точки находится в состоянии чистого сдвига. Вырежем в окрестности этой точки элементарный объем в виде кубика с ребрами длиной a (рис. 5.4, а).

а

б

Рис. 5.4

На гранях элемента возникают только касательные напряжения τ. Так как на гранях отсутствуют нормальные напряжения, то длины ребер не изменяются, и в результате деформации квадрат под действием касательных напряжений превратится в ромб (рис. 5.4 б). Прямой угол при вершине o

уменьшится на величину . Величина a a называется

абсолютным сдвигом.

Испытания материалов при чистом сдвиге показывают, что в упругой области наблюдается линейная зависимость между касательным напряжением xy и углом сдвига . Найдём эту зависимость.

177

В. А. Жилкин

Вырезанный элемент находится в условиях плоского напряженного состояния, и поэтому деформация в направлении оси 1 определяется по формуле (5.13):

1

1

1

3

1

xy

1

xy

.

E

E

xy

E

Удлинение диагонали L 1L 1a

2 . Из треугольни-

ка ABC следует:

a a

L

1a 2 2

2 1

xy a .

cos45o

2

E

Откуда по закону Гука при сдвиге

E

G

,

(5.21)

xy

2

1

где

G

2

E

(5.22)

1

называется модулем сдвига.

Величины E, G и

полностью характеризуют упру-

гие характеристики изотропных материалов. Их значения различны для различных материалов и устанавливаются опытным путем по результатам измерения на специальных образцах деформаций и соответствующих им напряжений. Значения этих физических констант приводятся в технических справочниках, а для некоторых материалов в табл. 5.1.

В случае растяжения и сжатия стержня в его поперечных сечениях 0 и, следовательно, по (5.21) в этих сечениях касательные напряжения равны нулю, т.е. эти сечения являются главными ( x 1 или x 3 ).

Пример 5.3. Элемент, вырезанный из стальной детали, находится в плоском напряженном состоянии (рис. 5.5). Определить изменение длины диагонали.

Решение задачи выполним в системе MathCAD.

178

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов

Рис. 5.5

5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций

Потенциальная энергия – скалярная физическая величина, характеризующая способность деформированного тела совершать работу за счет его внутренних силовых факторов.

Когда под действием внешней статической нагрузки тело деформируется, точки приложения внешних сил перемещаются, и потенциальная энергия нагрузки убывает на величину, которая численно равна работе, совершенной внешними силами. Энергия, потерянная внешними силами, не исчезает, а превращается, в основном, в потенциальную энергию деформации тела (незначительной частью энергии,

179

В. А. Жилкин

рассеиваемой в процессе деформации главным образом в виде тепла, при этом пренебрегают).

Приращение потенциальной энергии U деформируемого тела равно уменьшению потенциальной энергии нагрузки и численно равно работе A, совершенной внешними силами, т.е.

U A .

(5.23)

Таким образом, потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил, затраченной при упругой деформации тела.

Прежде чем рассмотреть процесс деформирования тела силами, вспомним, как определялась работа силы в курсе физики. Работа A постоянной силы P const на прямоли-

нейном участке M M пути определялась как скалярное про-

1 2

изведение вектора силы на вектор перемещения r r1 r2 , где ri ( i 1,2 ) – радиус-вектора, определяющие положение точки в начальный и конечный моменты времени (рис. 5.6, а):

				P r cos Px , (5.24)
A P r P r cos P, r

где x – проекция вектора перемещения на направление вектора силы (линию его действия).

а

б

Рис. 5.6

180

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов
	Если же сила P с течением времени изменяется,
	то ее работа уже не выражается зависимостью (5.24).
	По формуле (5.24) в этом случае можно вычислить только
	элементарную работу dA на малом перемещении dx, в тече-
	ние которого силу P можно считать постоянной величиной:
	dA Pdx ,

тогда полная работа силы P на перемещение M1M2 определится интегралом

A		P x dx ,	(5.25)
	M1M2

численно равным площади под кривой P = P(x) (рис. 5.6, б). При упругой работе материала стержня в соответствии с формулой (5.6) P(x) = cx. Следовательно, если перемещение

меняется от нуля до некоторого текущего значения x, то

x	cx2		Px
A cxdx	2		2	.	(5.26)
0

Кроме того, если учесть, что при растяжении и сжатии перемещение точки приложения силы обозначается L, зависимости (5.26) можно придать вид

A	P L	.	(5.27)
	2

Нагружение стержня медленно возрастающей от нуля и до своего конечного значения силой P так, что ускорениями точек стержня можно пренебречь, называется статическим.

Из формулы (5.27) следует, что работа статически прикладываемой внешней силы, затраченная на совершение упругой деформации бруса, равна половине произведения окончательной величины силы на полученную величину перемещения.

181

В.А. Жилкин

Всоответствии с формулой (5.23) потенциальная энергия при растяжении и сжатии стержня равна (ось x совпадает

сосью стержня и является главной осью):

	U P L		P2L		x	2FL		x x FL .	(5.28)
			2EF		2E
	2							2

Для исключения влияния геометрических размеров стержня обычно рассматривают отношение потенциальной энергии U к объёму стержня V = FL:

u	x x	,	(5.29)
	2

называемое удельной потенциальной энергией, накапливаемой в единице объёма.

Удельная потенциальная энергия выражается в джоулях (работа) на кубический метр (объем) (Дж/м3 или Н·м/м3).

Теперь перейдём к определению количества потенциальной энергии, накапливаемой в единице объёма, находящегося в условиях сложного (объёмного и плоского) напряжённого состояния. Пользуясь принципом независимости и сложения действия сил и предполагая постепенное возрастание главных напряжений, подсчитаем потенциальную энергию как сумму энергий, накапливаемых в единице объёма материала под действием каждого из главных напряжений 1 , 2 и 3 по формуле (5.29):

	u	1	1 1 2 2 3 3		,		(5.30)
		2
где относительные деформации 1 ,				2 ,		3	определяются

обобщённым законом Гука (5.9), в соответствии с которым зависимость (5.30) может быть приведена к виду:

u	1		2		2			2	2					. (5.31)
	2E		1			2		3	1 2	2 3	3 1

182

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов
	Таким образом, полная удельная энергия деформации,
	накапливаемая в единице объёма материала (кубик со сто-
	ронами, равными единице длины), может быть определена
	по формуле (5.31). Эту энергию иногда удобно рассматривать

как состоящую из двух частей:

1)энергии uоб , накапливаемой за счёт изменения объёма V рассматриваемого кубика (т. е. одинакового изменения всех

его размеров без изменения кубической формы);

2)энергии uф, связанной с изменением формы кубика (т. е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллеле-

пипед).

Представим каждое из главных напряжений в виде суммы двух напряжений:

1 ср 1дев; 2 ср 2дев ; 3 ср 3дев .

Тогда заданный тензор напряжений T можно разбить на два: шаровой T ср (из равных напряжений ср) и девиаторный, дополняющий шаровой тензор до заданного) (рис. 5.7):

			1		0			0				ср		0			0
T				0		2		0				0			ср		0
				0 0								0
							3							0 ср
		1 ср						0						0
				0			2			ср				0			T		D .
																	ср
				0				0					3
															ср

Рис. 5.7

183

В. А. Жилкин

Сумма дополняющих напряжений равна нулю:

1 ср 2 ср 3 ср

1 2 3 3 ср 0,

ипоэтому они не вызывают изменения объёма. Шаровой тензор напряжения

	ср		0	0
T ср			ср
		0		0		(5.32)
		0	0
				ср

отвечает за изменение объёма выделенного элемента, а девиатор напряжений

x ср		xy	xz
	yx	y ср	yz
D					(5.33)
	zx	zy
			z ср

отвечает за изменение формы элемента. Нормальные на-

пряжения последнего ( x ср, y

ср , z ср ) обозна-

чают через sx , sy , sz , а главные значения si

девиатора на-

пряжений D отличаются от главных напряжений i тензора

напряжений T

на величину среднего напряжения.

Так же, как и тензор напряжений T

(формулы 3.31),

девиатор напряжений имеет инварианты:

J1 D x y z 3 m 0 ;

(5.34)

J

D

sx

xy

sy

yz

sz

zx

2

yx

sy

zy

sz

xz

sx

1 1 2 2 2 3 2 3

1 2 ; (5.35)

6

J3 D

sx

xy

xz

yx

sy

yz

s1s2s3 .

(5.36)

zx

zy

sz

184

ГЛАВА5

Физические зависимости между напряжениями

и деформациями для упругих материалов

Подсчитаем величину обеих составляющих удельной по-

тенциальной энергии.

При изменении только объёма, относительное удли-

нение каждого ребра определяется формулой (5.20). Тогда

энергия изменения объёма будет:

u

3

ср ср

ср2

1 2 3 2

об

2

2K

18K

1 2 1 2

3

2 1 2 J1 T 2 .

(5.37)

6E

6E

Потенциальная энергия, соответствующая изменению формы выделенного элемента материала, теперь найдётся как разность:

uф u uоб 21E 21 22 23 2 1 2 2 3 3 1

1 2 1 2 3 2 .

6E

После преобразований получим удельную потенциальную энергию формоизменения:

u			1			2			2		2
							1		2		3
ф				3E								1 2	2 3	3 1
	1 J				D		.										(5.38)
		E		2

Сумма удельных потенциальных энергий изменения объёма и формы равна полной удельной энергии деформаций:

u0 uоб uф .

(5.39)

Внимание! Полученные в этом параграфе формулы действительны при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала.

185

В. А. Жилкин

Зная удельную потенциальную энергию деформаций в каждой точке упругого тела, можно вычислить потенциальную энергию во всем теле:

U udV .	(5.40)
Анализ выражений	полной потенциальной энергии

и удельной потенциальной энергии деформаций позволяет сделать следующие выводы:

a)потенциальная энергия всегда положительна, т. к. в ее выражения входят квадраты напряжений, сил;

b)величина потенциальной энергии не зависит от последовательности приложения нагрузки, так как входящие в ее выражения напряжения или внутренние силовые факторы не зависят от этой последовательности;

c)потенциальная энергия, вызванная группой сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных каждой из сил отдельно, т. к. квадрат суммы не равен сумме квадратов слагаемых.

Поясним этот последний вывод.

Рассмотрим прямолинейный стержень длиной L постоянного поперечного сечения F, изготовленного из одного материала (EF = const), жестко защемленный на одном конце.

К свободному торцевому сечению стержня будем последова-

тельно прикладывать силы P1, P2, (P1 + P2) и (P2 + P1).

Если стержень нагрузить только силой P1, то потенциальная энергия, накопленная в нем, определится по формуле (5.28):

U1	P12L .	(5.41)
	2EF

Если к брусу приложить только силу P2, то

U2	P22L .	(5.42)
	2EF

Нагружая брус последовательно вначале усилием P1, а затем P2 (или меняя последовательность приложения сил на обратную), получим

186

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов
	U12	P P	2 L	U21		P P	2 L
		1 2				2 1		.	(5.43)
		2EF				2EF

Раскрывая в зависимости (5.43) квадрат суммы и учитывая соотношения (5.41) и (5.42), найдем

U12	P12L	P12L	P1P2L	U1	U2	P1P2L .
	2EF	2EF	EF			EF

Итак,

U12 U21 U1 U2 .

Пример 5.4. Для кронштейна, изображённого на рис. 5.8, требуется определить вертикальное перемещение v узла C, если F1 = 2 см2, F2 = 4 см2, E1 = 2·105 МПа, E2 = 0,84·105 МПа, α= 450, β= 150,

L1 = 2 м, L2 = 2 м, F = 40 кН.

Решение. По (5.22) работа внешних сил численно равна потенциальной энергии, накопленной в упругом теле

A = U.

Рис. 5.8

При статическом загружении упругой системы

A Pv2 ,

а потенциальная энергия упругой системы по (5.28) и (5.40)

187

В. А. Жилкин

U 2 Ni2Li .

i 1 2EiFi

Откуда

v 2 2 Ni2Li . P i 1 2EiFi

Вычисление вертикального перемещения v узла C выполним в системе MathCAD.

Итак, вертикальное перемещение узла C v = 4.295 мм.

188