В. А. Жилкин

10.5.Понятие о центре изгиба

Пусть швеллер одним концом заделан в стену, а на другом конце загружен силой P, приложенной в центре тяжести сечения. На рис. 10.13, а изображена часть балки, расположенная слева от рассматриваемого сечения. Поперечную силу в этом сечении будем считать положительной и, следовательно, действующей на правый торец левой части балки снизу вверх. Правая часть балки отброшена.

а

б

в

Рис. 10.13

Касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенных стержней при изгибе определяются по формуле (10.20)

			Q	Sотс
	x		z	y	.
			Jy
В вертикальной стенке возникают касательные на-

пряжения xz , приводящие к суммарной сдвигающей силе T2 Qz (рис. 10.13, б).

В горизонтальных полках возникают касательные напряжения xy , которые направлены по горизонтали. Наибольшее касательное напряжение в полке xy _max :

Qzbh

xy _max 2Jy .

456

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Суммарная сдвигающая сила в полке T1 определится как площадь эпюры касательных напряжений (треугольника), умноженная на толщину полки:

T1 xy _maxb Qzb2h П .

2 4Jy

На нижнюю полку действует точно такая же сдвигающая сила, как и на верхнюю, но направленная в обратную сторону.

		Таким образом, вследствие касательных напряжений
x	и	xz возникают три внутренние касательные силы T ,
T		1
	и T2 , стремящиеся повернуть сечение швеллера относи-
1

тельно центра тяжести в одну и ту же сторону. Следовательно, в сечении швеллера возникает внутренний крутящий момент, направленный против хода часовой стрелки. Итак, при изгибе швеллерной балки силой, приложенной в центре тяжести сечения, балка изгибается и одновременно закручивается. Три касательные силы T1 , T1 и T2 можно привести к главному вектору и главному моменту. Величина главного момента зависит от положения точки, к которой приводятся силы. Оказывается, что можно выбрать такую точку A, от-

носительно которой главный момент равен нулю. Эта точка называется центром изгиба. Приравнивая момент каса-

тельных сил относительно точки A нулю:

MA 0 ; T1 h T2 c 0 ,

получим

			Qzb2h		Пh
	T h		4Jy				b2h2
c									П .
	T		Q				4J
	1
	2			z				y

Если внешнюю силу приложить не в центре тяжести сечения, а в центре изгиба, то она создаст относительно центра тяжести такой же момент, какой создают внутренние касательные силы, но только противоположного знака. При таком загружении (рис. 10.13, в) швеллер закручиваться не будет, а будет только изгибаться. Именно поэтому точка A названа центром изгиба.

457

В. А. Жилкин

Аналогично тому, как найден центр изгиба для швеллера, можно определить центры изгиба и других типов сечений. Центр изгиба сечения, симметричного относительно некоторой оси, всегда расположен на этой оси. Если поперечное сечение симметрично относительно двух или большего числа осей, то центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.

Легко установить положение центра изгиба для тонкостенного сечения, состоящего из нескольких прямоугольников, оси которых пересекаются в одной точке. Касательные напряжения в каждом таком прямоугольнике при прямом поперечном изгибе направлены параллельно его длинным сторонам, а равнодействующая элементарных касательных сил по каждому прямоугольнику совпадает с его осью. Все такие равнодействующие пересекаются в одной точке (в точке пересечения осей прямоугольников), а потому поперечная сила в сечении, являющаяся их общей равнодействующей, при прямом поперечном изгибе проходит через эту точку, которая, следовательно, и является центром изгиба.

Полученные на основе таких рассуждений центры изгиба (точки A) для некоторых типов сечений показаны на рис. 10.14.

Следует учесть, что брусья тонкостенного открытого профиля (типа швеллера) плохо сопротивляются деформации кручения; поэтому при использовании таких брусьев в качестве элементов конструкций, работающих на изгиб, следует принимать конструктивные меры для такой передачи нагрузки, при которой плоскость ее действия проходит через центры изгиба поперечных сечений бруса.

Рис. 10.14

458

ГЛАВА10 Прямой изгиб

10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе

Вырежем в окрестности произвольной точки бруса с прямоугольным поперечным сечением (b – ширина, h – высота) элементарный параллелепипед, две грани которого лежат в поперечных сечениях, а две – в продольных сечениях бруса, параллельных нейтральному слою (рис. 10.15, а). Передняя и задняя грани элементарного параллелепипеда совпадают с боковыми поверхностями бруса свободными от нагрузки, т.е. эти площадки являются главными, в которых главное напряжение равно нулю. Предположим, что в поперечных сечениях бруса действуют положительный изгибающий момент My и положительная поперечная сила Qz .

Ранее было установлено, что в поперечных сечениях бруса при прямом поперечном изгибе возникают нормальные напряжения

x My z

Jy

и касательные напряжения

			Q Sотс
			z н.о	.
	xz		Jy b z

В продольных сечениях бруса действуют только касательные напряжения zx xz , определяемые по формуле (б), нормальные напряжения z 0 . Таким образом, в произвольной точке бруса при прямом поперечном изгибе имеет место плоское напряжённое состояние, для которого главные напряжения и их направления определяются по формулам (3.21) и (3.23), а максимальные касательные напряжения – по формуле (3.15):

max

x

y

x

y

2

xy2 ;

(*)

2

2

min

459

В. А. Жилкин

tg 2 ГЛ

2 xy

;

x

y

max 1

3

,

2

в нашем случае

max

x

2

2

;

x

xz

min

2

2

tg 2 ГЛ 2 xz ;

x

max				2	2	1	2	2
			x		xz	2	x	4 xz .
		2

а

б

Рис. 10.15

(10.21)

(10.22)

(10.23)

Из формулы (10.21) видно, что напряжение max всегда положительно, a min всегда отрицательно. Поэтому в соответствии с правилом, согласно которому 1 2 3 , напряжение max следует обозначить 1 , а напряжение min обозначить 3 . Промежуточное главное напряжение 2 0

460

ГЛАВА10 Прямой изгиб

возникает в главных площадках, параллельных плоскости чертежа.

Исследуем напряженное состояние в пяти точках, лежащих в одном и том же поперечном сечении, но взятых на разной высоте (рис. 10.15, а).

В точке 1 xz 0

1					x				2	0 ;
								x
				2			2
3					x				2	x			My		;
								x
													Wy
				2			2
max		1			x2	4 xz2				x		My		;
			2
										2		2Wy

tg 2 ГЛ 2 0 0 ; ГЛ 0o .

x

В точке 2

1

									2		2
			x						x	xz
		2						2
My h					2		Q Sотс 2
									z н.о.		;
									Jy b
4Jy

My h

4Jy

3				x				2		2
								x	xz
			2				2
	My h				2	Q Sотс 2
							z н.о.			;
								Jy b
	4Jy

My h

4Jy

max 1 3

2

tg 2 ГЛ 2 xxz

My h 2			Q Sотс
				z н.о.
	4Jy			Jy b

4 Qz Sнотс.о. .

My hb

2 ;

461

В. А. Жилкин

В точке 3

xz

max

3Qz

;

x

0

2F

1

x

2

2

3Q

;

x

xz

z

2

2

2F

3

x

2

2

3Q

;

x

xz

z

2

2

2F

max 1 3

3Qz ;

2

2F

tg 2 ГЛ 2 0max ; ГЛ 45o

В точке 4

1

3

2

2

My h

x

x

xz

4Jy

2

2

My h 2

Q

Sотс 2

z

н.о. ;

4Jy

Jy b

2

2

My h

x

x

xz

4Jy

2

2

My h 2

Q

Sотс 2

z

н.о. ;

4Jy

Jy b

max 1 3

2

tg 2 ГЛ 2 xxz

M h 24Jy y

4 Qz Sнотс.о.

My hb

Q Sотс		2
	z н.о. ;
	Jy b

.

462

ГЛАВА10 Прямой изгиб

В точке 5 xz 0

1								2	x max				My
			x				x							;
													Wy
		2				2
3								2	0 ;
			x				x
		2				2
max		1		x2		4 xz2			x	My		;
		2
									2	2Wy

tg 2 ГЛ 2 x0 0 ; ГЛ 90o .

На рис. 10.15, а показаны элементарные параллелепипеды, вырезанные главными и произвольными площадками. Две грани произвольных площадок лежат в поперечных сечениях бруса.

Вточках, наиболее удаленных от нейтральной оси 1

и5, касательные напряжения xz равны нулю, а величина нормальных напряжений x достигает максимума My Wy . Следовательно, для каждой из этих точек одна из глав-

ных площадок совпадает с поперечным сечением бруса. В этих (опасных) точках реализуется одноосное напряженное состояние.

В точках, расположенных на нейтральной оси (точка 3 на рис. 10.15, а), нормальное напряжение x равно нулю, а касательное напряжение xz max 3Qz 2F . В этих точках напряженное состояние представляет собой чистый сдвиг с экстремальными касательными напряжениями. Две главные площадки в каждой из этих точек наклонены под углами 45o к оси бруса, а главные напряжения

1 max , 3 max .

Востальных точках поперечного сечения напряжения

x и xz отличны от нуля. На разных расстояниях от ней-

x и xz раз-тральной

личны, а потому различны и углы наклона главных площадок

463

В.А. Жилкин

коси бруса. В каждой из этих точек не равные нулю главные

напряжения имеют противоположные знаки, т. е. материал балки в окрестности этих точек находится в плоском напря-

женном состоянии.

Вычислив главные напряжения для целого ряда точек поперечного сечения бруса, можно построить эпюры главных растягивающих, главных сжимающих и наибольших касательных напряжений (рис. 10.15, б).

Наглядное представление о потоке внутренних сил в нагруженном теле дают траектории главных напряжений.

Так называются линии, в каждой точке которых касательные совпадают с направлением главных напряжений в этой точке. Знание траекторий главных напряжений во многих случаях позволяет придать рациональную форму проектируемой детали или части конструкции.

	Процедура построения траек-
	торий главных напряжений проста:
	определяют для какой-либо точки
	бруса направление одного из глав-
	ных напряжений, затем берут дру-
	гую точку на этом направлении, до-
	статочно близкую к первой, и снова
	определяют направление главного
	напряжения и т.д. Соединив найден-
Рис. 10.16	ные таким	путём точки, получают
	траекторию	главных напряжений.

Через каждую точку проходят две траектории, перпендикулярные друг другу; одна из них представляет траекторию главных растягивающих напряжений, а другая – главных сжимающих.

Траектории главных напряжений 1 и 3 зависят от типа нагрузки и способа закрепления бруса. На рис. 10.16 показаны траектории главных напряжений 1 (сплошные кривые) и 3 (пунктирные кривые) для бруса, заделанного одним концом и загруженного на другом силой P.

464