ГЛАВА5Физические зависимости между напряжениями и деформациями

5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии

Проявление упругих свойств материалов было известно нашим предкам в глубокой древности, и пользовались ими, например, при изготовлении орудий (лук, катапульты и т.д.). Но понимание того, что любое твердое тело под действием даже небольших нагрузок обязательно деформируется, хотя и на очень малую величину, впервые появилось в 1660 г. у Роберта Гука17. В 1676 он сформулировал свое открытие

17

Гук, Хук (Hooke) Роберт (18.7.1635, о. Уайт – 3.3.1703, Лондон), английский естествоиспытатель, член Лондонского королевского общества (1663). В 1653 поступил в Оксфордский университет, где впоследствии стал ассистентом Р. Бойля. С 1665 профессор Лондонского университета, в 1677 – 83 секретарь Лондонского Королевского общества. Разносторонний учёный и изобретатель, Гук затронул в своих работах многие разделы естествознания. Большое значение имело открытие Гука в 1660 закона пропорциональности между силой, приложенной к упругому телу, и его деформацией. В 1662 английский король Карл II специальной грамотой легализировал существовавшее в стране уже несколько лет Общество для распространения физико-математических экспериментальных наук, присвоив ему наименование «Королевское общество» и даровав

ему герб с девизом Nullius in Verba («Ничто словами»). Так возникла британская Академия наук. В первоначальный состав общества входили 40 человек – все, кто, помимо активного участия в работе общества обязался вносить ежемесячные взносы в размере 40 фунтов стерлингов. В том же году куратором экспериментальных работ был назначен 27-летний ученый Роберт Гук. Первые 35 лет Королевское общество жило трудами Гука, который не только написал его устав и регулярно составлял планы исследований и программы работ, но своими лекциями, экспериментами и докладами почти полностью заполнял часы и дни заседаний. К концу жизни Р. Гук сделал около 500 научных и технических открытий. Они составляют основу современной науки, но по разным причинам приписываются другим людям. По существу, в современной классической физике Гук известен только как автор закона упругой деформации: сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению тела. История не очень-то лояльно обошлась с этим человеком. Достаточно сказать, что он является единственным членом Королевского общества, портрет которого не сохранился, и мы располагаем только словесным описанием его облика. В 2006 году Королевское Научное общество приобрело за 1.75 миллиона долларов манускрипты Гука, содержащие 500 страниц протоколов заседаний Общества. В своих записках Гук покрывал позором Ньютона и Роберта Бойля за то, что они украли его идеи (по данным интернета).

162

очень кратко, в виде латинского афоризма: «Ut tensio sic vis», смысл которого состоит в том, что «какова сила, таково и удлинение». Но опубликовал Гук не этот тезис, а только его ана-

грамму: «ceiiinosssttuu» (таким образом тогда обеспечивали приоритет, не раскрывая сути открытия.) В 1678 г. вышла книга Гука, посвященная упругости, где описывались опыты, из которых следует, что упругость есть свойство «металлов, дерева, каменных пород, кирпича, волос, шелка, кости, мышцы, стекла и т.п.» Там же была расшифрована анаграмма.

Впоследствии непосредственными опытами на растяжение стержней с призматическими поперечными сечениями было установлено, что для многих материалов, в некоторых пределах, удлинение стержней пропорционально растягивающей силе. Для сравнения результатов, полученных в разных лабораториях, нужно было либо использовать всегда одинаковые образцы, либо научиться исключать влияние размеров образца. И в 1807 г. появилась книга Томаса Юнга18, в которой был введен модуль упругости E – величина, описывающая свойство упругости материала независимо от формы и размеров образца, который использовался в опыте. Современное определение модуля упругости как отношение напряжения к относительной деформации

было сформулировано только в 1826 г. Навье. Обозначение E – первая буква латинского слова elasticity «упругость».

Центральным растяжением, или центральным сжатием, называют такой вид деформирования бруса, при котором

18

Юнг, Янг (Young) Томас (13.6.1773–10.5.1829), английский физик, врач и астроном, один из создателей волновой теории света. Член Лондонского королевского общества (1794), с 1802–29 его секретарь. Научные интересы Ю. весьма разнообразны, наиболее важные направления его работ – оптика, механика, физиология зрения, филология. В 1807 в 2-томном труде «Курс лекций по натуральной философии и механическому искусству» Ю. обобщил результаты своих теоретических и экспериментальных работ по физической оптике (термин ввёл Ю.) и изложил свои исследования по деформации сдвига, ввёл числовую характеристику упругости при растяжении и сжатии – т. н. модуль Юнга. Он впервые рассмотрел механическую работу как величину, пропорциональную энергии (термин ввёл Ю.), под которой понимал величину, пропорциональную массе и квадрату скорости тела (БСЭ).

163

В. А. Жилкин

вего поперечных сечениях возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные вну-

тренние силовые факторы равны нулю. Растяжение (сжатие) называется центральным, если нормальная сила приложена

вцентре тяжести поперечного сечения бруса.

Всоответствии с формулами (3.42) нормальная сила N при растяжении (сжатии) определяется зависимостью

N xdF	,	(5.1)
F

где F – площадь поперечного сечения стержня; ось x направлена вдоль оси стержня.

Выражение (5.1) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов зависимостей x от координат точек поперечного сечения стержня. Для того чтобы выяснить, какой из законов распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня реализуется в действительности, провели многочисленные эксперименты и установили, что при растяжении (сжатии) стержня гипотеза плоских сечений выполняется. А это означает, что при растяжении стержня в каждом его поперечном сечении все продольные волокна стержня имеют одно и то же удлинение; прямые углы между поперечным сечением и волокнами остаются прямыми, т.е. 0 . Что влечет за собой постоянство усилий, приходящихся на единицу площади, т.е. напряжений:

x const

.

(5.2)

Принимая во внимание зависимость (5.2), из выражения (5.1) получим

	x	N	.	(5.3)
		F

Экспериментальный закон Гука можно выразить следующим уравнением:

164

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов
		NL				N
		L EF		c			,			(5.4)
	где L – абсолютная деформация стержня длиной L;
	произведение EF называют жесткостью поперечного
	сечения стержня при растяжении и сжатии;
	c = EF/L – жесткость стержня при растяжении и сжатии.
	Если учесть, что				x	L , а		N	x	, закон Гука можно за-
								F
	писать в следующей форме:L
				.
		x E x								(5.5)
	Если напряжение x и соответствующая относительная
	деформация x найдены из испытания на растяжение, то мо-

дуль упругости легко можно вычислить.

Модуль упругости измеряется в тех же единицах, что и напряжение x , т. е. в Па, МПа, т. к. относительное удлинение – безразмерная величина.

Средние значения модуля E для некоторых материалов даны во втором столбце табл. 5.1.

Таблица 5.1

Модули упругости и коэффициенты Пуассона некоторых материалов

	Материал	Модуль упругости, ГПа		Коэффициент
		Е	G	Пуассона
	Сталь:
	углеродистая	200...210	81	0,24...0,28
	легированная	210	81	0,25...0,33
	литье	175	–	0,25...0,33

165

В. А. Жилкин

Продолжение таблицы 5.1

	Материал	Модуль упругости, ГПа		Коэффициент
		Е	G	Пуассона
	Медь:
	прокатная	110...150	40	0,31...0,34
	холоднотянутая	130 84	49	–
	литье	–	–	–
	Бронза:
	фосфористая катаная	115	42	0,32...0,35
	марганцовистая катаная	110	40	0,36
	алюминиевая, литье	105	42	–
	Латунь:
	холоднотянутая	90...100	35...37	0,32...0,42
	корабельная, катаная	100	–	0,36
	Чугун:
	серый, белый	115...160	45	0,23...0,27
	ковкий	155	–	–
	Алюминий катаный	59...69	26...27	0,31...0,36
	Сплавы:
	алюминиевые	70...72	27	0,32
	магниевые	40...45	–	0,34
	Каменная кладка:
	гранитная	9…10	–	–
	известковая	6	-	-
	кирпичная	2,7...3,0	–	–
	Бетон:
	тяжелый	17...40	–	0,16...0,18
	на пористых заполнителях	3...23	–	0,16...0,18
	ячеистый	1...10	–	0,16...0,18
	Стеклопластик АГ-4С	43...44	–	–
	Оргстекло СТ-1	33...4	–	0,35...0,38

Из формулы (5.5) следует, что при одном и том же напряжении относительная продольная деформация будет тем меньше, чем больше E, и наоборот. Другими словами, чем больше E, тем материал будет жестче. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала.

166