ГЛАВА2 Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев

Рис. 2.4

Все вычисления проведём в системе MathCAD.

Из курса теоретической механики известно, что центр тяжести заданной фигуры должен находиться внутри треугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур. Результаты расчета не противоречат этому утверждению.

2.3.Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей

Пусть оси y и z будут центральными (рис. 2.5). В соответствии с определением осевые моменты инерции сечения относительно параллельных осей y1 и z1 имеют вид

87

В. А. Жилкин

Jy1 z a 2 dF;	Jz1 y b 2 dF .
F	F

Раскрыв скобки и преобразовав выражения, получим

Jy1 Jy a2F;

Jz1 Jz b2F.

(2.5)

Рис. 2.5

Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси, параллельной центральной, равен сумме момента инерции относительно центральной оси и произведения квадрата расстояния между осями на площадь сечения.

По определению, центробежный момент инерции сечения относительно перпендикулярных осей y1 и z1

Jy1 z1 y a z b dF Jyz abF	.	(2.6)
F

Центробежный момент инерции сечения относительно перпендикулярных осей равен центробежному моменту инерции относительно центральных осей, параллельных им, сложенному с произведением расстояний между осями на площадь сечения.

88

ГЛАВА2 Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев

Из формулы (2.5) следует, что наименьшее значение имеют осевые моменты инерции относительно центральных осей сечения, так как величины a2F и b2F всегда положительны. Центробежный момент (формула (2.6)) при переходе от центральных осей к нецентральным в зависимости от знака произведения координат a и b может увеличиваться или уменьшаться.

2.4.Вычисление моментов инерции простых фигур

Врасчетной практике часто встречаются сечения в виде простейших фигур (прямоугольников, кругов, треугольников

ит. п.) или их комбинаций. При вычислении моментов инерции таких фигур обычно пользуются заранее выведенными

расчетными формулами. Рассмотрим некоторые из фигур. Будем вычислять моменты инерции относительно цен-

тральных осей yC , zC и параллельных им произвольных осей y и z .

Прямоугольник и параллелограмм (рис. 2.6). Выделим элементарную полоску площадью dF bdyС и подставим это значение dF под знак интеграла в зависимости для осевого момента инерции относительно оси y :

	h/2	z2С bdzc bh	3
JyC			.
	h/2	12

Следовательно, момент инерции прямоугольника и параллелограмма с основанием b и высотой h относительно центральной оси, параллельной основанию,

JyC	bh3	.	(2.7)
	12

Моменты инерции этих фигур относительно осей, проходящих через основание, находим по формулам (2.5):

Jy Jy		h		2	F	bh3
			2			3	.	(2.8)
	C

89

В. А. Жилкин

а

б

Рис. 2.6

Моменты инерции прямоугольника относительно осей zC и z вычисляются по формулам (2.7) и (2.8), где b заменяется на h , a h – на b .

Центробежный момент инерции JyC zC прямоугольника относительно центральных осей yC , zC равен нулю, так как эти оси совпадают с осями симметрии фигуры. Центробежный момент инерции прямоугольника относительно произвольных осей y и z , проходящих через основание, находим по формуле (2.6):

Jyz Jy z				h			b		b2h2
				2			2	F	4	.	(2.9)
C	C

Пример 2.3. Вычислить осевой момент инерции параллелограмма относительно оси z (рис. 2.6, б)

Jz y2dF

F

и центробежный момент инерции относительно осей y и z

Jyz yzdF .

F

90

ГЛАВА2 Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев

Так как площадь прямоугольника равна площади параллелограмма, то dF bdzС bdz . Осевой момент инерции площадки dF относительно оси z1 равен

b3dy

12,

апотому, в соответствии с второй формулой системы (2.5), осевой момент инерции площадки dF относительно оси z

определяется зависимостью

dJz

b3dz

b

ztg

2

bdz

12

2

b2

bztg z

2

2

b

tg

dz,

3

b

где

2

ztg – расстояние от центра тяжести площадки

dF до оси y . Следовательно,

h

h

b2

bztg z

2

tg

2

Jz dJz b

3

dz

0

0

hb3

h2b2

h3b

2

3

2

tg

3

tg

.

Вычислим центробежный момент инерции Jxy параллелограмма относительно осей y и z . Центробежный момент инерции площадки dF относительно собственных центральных осей y1 и z1 равен нулю, а потому, в соответствии с фор-

мулами (2.6),
h	h		b
Jyz dJyz 0				2	ztg zbdz
0	0

h2b2 h3b tg . 4 3

91

В. А. Жилкин

Осевой и центробежный момент площади параллело-

грамма относительно центральных осей yC , zC :

b

h

2

bh

hb3

2

JzС Jz

2

tg

12

1 tg ;

2

JyC zC

b

h

h

bh3

tg .

Jyz

2

2

tg

2

bh

12

Треугольник с основанием b и высотой h (рис. 2.7). Разобьем треугольник на элементарные полоски, параллельные его основанию. Площадь такой полоски:

dF bh h z dz .

Рис. 2.7

Момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание:

Jy h z2 b		h z dz bh3	,
	h	12
0

92

ГЛАВА2 Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев
т.е.
	Jy	bh3	.	(2.10)
		12

Найдем выражение момента инерции треугольника относительно центральной оси yC , параллельной основанию, получаем

	JyC		h			2		bh3 h			2 bh
			Jy		3		F	12		3		2	.
Отсюда
	JyC	bh3		.									(2.11)
			36

Круг и полукруг диаметра d (рис. 2.8, а, б). Подсчитываем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса и d элементарное кольцо площадью dF 2 d и вычислим полярный момент J :

J	2	R		3	d	R4
		dF 2				2	.	(2.12)
F		0

а

б

Рис. 2.8

93

В. А. Жилкин

Обычно размеры круглого сечения выражают через

диаметр d и подсчитывают J				по формуле
	J	d4	0,1d4	.	(2.13)
		32

Осевые моменты инерции круга найдем с помощью соотношения J Jy Jz . Замечая, что в силу симметрии круга Jy Jz , получаем для осевых моментов инерции круга выражение

	Jy	R4		d4	.	(2.14)
		4		64

Центральные оси y и z делят круг на четыре совершенно одинаковые части с равными моментами инерции относительно этих осей. Следовательно, моменты инерции круга и полукруга относительно осей y и z должны быть равны соответственно учетверенным и удвоенным моментам инерции относительно тех же осей одной четверти круга. Из сказанного следует, что моменты инерции полукруга относительно оси симметрии z и оси y , проходящей через его основание (рис. 2.6, б; yC 43R ), будут одинаковы и равны половине момента инерции круга:

	Jy	d4	,	(2.15)
		128
а моменты инерции четверти круга:
	Jx	d4	.
		256

Тонкостенное полукольцо и кольцо постоянной толщины (рис. 2.9). Полукольцо считается тонкостенным, если его толщина мала по сравнению со средним радиусом R .

Выделим двумя радиус-векторами с углом раствора d элементарную площадку dF R d , находящуюся на расстоянии z R sin от оси y , и подсчитаем момент инерции полукольца относительно этой оси

94