ГЛАВА2 Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев
Вопросы для самопроверки
1.Для чего нужно знать геометрические характеристики сечений?
2.Что называется статическим моментом сечения относительно оси?
3.Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции сечения?
4.В каких единицах выражается статический момент сечения?
5.От чего зависят знак и величина статического момента?
6.Назвать простейшую геометрическую характеристику поперечного сечения.
7.Какая зависимость существует между статическими моментами относительно двух параллельных осей?
8.Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения?
9. Как определяются координаты центра тяжести простого
и сложного сечения?
10.В каких единицах выражаются моменты инерции сечения?
11.Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей?
12.Как связаны между собой полярный и осевые моменты инерции фигуры?
13.В каком случае центробежный момент инерции сечения равен нулю?
14.Как отражается на знаке центробежного момента инерции сечения изменение положительных направлений одной или обеих координатных осей?
15.Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон?
16.Чему равны осевые моменты инерции круга и кольца относительно осей, проходящих через их центры тяжести?
17.Чему равны полярные моменты инерции круга и кольца
относительно их центров? |
d4 |
18.Полярный момент инерции круга J 32 . Чему равен момент инерции круга относительно его центральной оси?
113
19.Если в плоскости сечения проведен ряд параллельных осей, относительно какой из них осевой момент инерции имеет наименьшее значение?
20.Изменяется ли сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте этих осей?
21.Как определяются моменты инерции сечений при повороте осей?
22.Что представляют собой главные и главные центральные моменты инерции?
23.Какие оси называются главными осями инерции?
24.Какие оси называются главными центральными осями инерции?
25.Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции?
26.Как определяется положение главных осей?
27.Относительно каких осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения? Чему равны эти значения?
28.В каких случаях без вычисления можно установить положение главных осей?
29.Если Jy Jz и Jyz 0 , то какие оси являются главными осями инерции?
30.Если Jy Jz и Jyz 0 , то какие оси являются главными осями инерции?
31.Какие центральные оси являются главными осями инерции у сечений, имеющих более двух осей симметрии? Почему?
32.Что понимается под радиусами инерции сечения?
33.Почему производится разбивка сложного сечения на простые части при определении моментов инерции?
34.В какой последовательности определяются значения главных центральных моментов инерции сложного сечения?
ГЛАВА3Напряженное состояние в точке твёрдого тела12
3.1. Основные понятия
|
Если в рассматриваемом теле че- |
|||
|
рез произвольную точку проведем три |
|||
|
плоскости, параллельные координатным |
|||
|
и, пересекая их тремя плоскостями, до- |
|||
|
статочно близкими к точке ( x, y, z ), вы- |
|||
|
режем элементарный параллелепипед, |
|||
|
то действующие по его граням полные |
|||
|
напряжения, |
представляющие взаи- |
||
|
модействие |
этого |
параллелепипеда |
|
|
с остальным телом, будут обозначаться |
|||
|
px , py , pz . Разложим полные напряже- |
|||
|
ния на |
составляющие, параллельные |
||
Рис. 3.1 |
координатным осям. Эти составляющие |
|||
|
получат такие обозначения (рис. 3.1): |
|||
oт px |
– составляющие x , xy , xz ; |
|
||
oт py |
– составляющие yx , y , yz ; |
|
||
oт pz |
– составляющие zx , zy , z . |
|
||
Во всяких двух взаимно-перпендикулярных площадках |
||||
проекции касательного напряжения на нормаль к их общему |
||||
ребру всегда равны. Если одно из них направлено к этому ре- |
||||
бру, то и другое направлено к нему. Поэтому напряжения в трех |
||||
взаимно-перпендикулярных |
площадках, |
перпендикулярных |
||
12 Жилкин В. А. Расчеты на прочность и жесткость. Анализ напряженного и деформированного состояния в точке : учеб. пособ. Челябинск : ЧГАУ, 1994. 50 с.; Жилкин В. А. Расчеты на прочность и жесткость элементов сельскохозяйственных машин. Челябинск : ЧГАУ, 2005. 424 с.; Жилкин В. А. Исследование плоского напряженного состояния пластин в программных продуктах SCAD, MSC.Pa- tran-Nastran-2005 : метод. указ. Челябинск : ЧГАУ, 2007. 67 с.
115
В. А. Жилкин
осям Ox , Oy и Oz , вполне характеризуются тремя нормальными напряжениями x , y , z и тремя касательными напряжениями xy , yz , zx , изображенными на рис. 3.1.
Совокупность напряжений на всех элементарных пло-
щадках, которые можно провести через какую-либо точку тела, называется напряженным состоянием в данной точке,
а квадратная матрица
|
x |
xy |
xz |
|
|
|
|||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(3.1) |
|
|
yx |
y |
yz |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
zy |
z |
|
|
|
|||||
|
|
zx |
|
|
|
|
|
||||
в первой строке которой записаны компоненты напряжений по площадке с нормалью x, во второй строке – компоненты напряжений по площадке с нормалью y, а в третьей строке –
компоненты напряжений по площадке с нормалью z, называется тензором напряжений.
Нормальные напряжения положительны, если они растягивающие. За положительные направления касательных напряжений принимают направления осей координат, если растягивающие напряжения по той же площадке имеют направление, совпадающее с положительным направлением соответствующей оси. Если же растягивающие напряжения имеют направления, противоположные положительному направлению оси, то положительные касательные напряжения направлены обратно направлениям осей. На рис. 3.1 показаны положительные направления напряжений при различных ориентациях координатных осей.
Компоненты полного вектора напряжений на внешней поверхности считаются положительными, если их направления совпадают с положительными направлениями координатных осей.
При изменении направления площадки, проходящей через данную точку, меняются величина и направление напряжения p ; если все эти напряжения откладывать от данной точки в виде векторов, то концы этих векторов окажутся
116
ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела
лежащими на некотором эллипсоиде, носящем название
эллипсоида напряжений.
Направления, совпадающие с главными осями эллипсоида напряжений, называются главными направлениями. На-
пряжения, соответствующие главным направлениям (полуоси эллипсоида), называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют, – главными площадками.
По главным площадкам касательные напряжения отсутствуют.
Главные напряжения обозначаются 1, 2, 3 , причем 1 2 3 . Различные виды напряженного состояния классифицируются обычно в зависимости от числа не равных нулю напряжений (рис. 3.2).
а |
б |
в |
Рис. 3.2
Напряженное состояние, в котором только одно из главных напряжений не равно нулю, называется одноосным, или линейным (рис. 3.2, а). Если равно нулю одно из главных
напряжений, то напряженное состояние называется двухосным, или плоским (рис. 3.2, б). Если отличны от нуля все три
главных напряжения, то напряженное состояние называется
трехосным, или объемным(рис. 3.2, в).
При решении многих задач, встречающихся в инженерной практике, представляется возможным рассматривать явление деформации тела происходящим как бы в одной плоскости, формально отбросив одну из координатных осей.
117