10ГЛАВА Прямой изгиб

10.1. Общие понятия

Изгибом называется такой вид деформации бруса, при которой происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев.

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающихся моментов относительно оси, расположенной в плоскости поперечного сечения и проходящей через его центр тяжести; он действует в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению бруса.

Различают:

прямой изгиб, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения; косой изгиб, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения.

Если при изгибе бруса в его поперечном сечении дей-

ствует только изгибающий момент, то такой изгиб называется чистым. Если же в поперечном сечении кроме изги-

бающего момента действует и поперечная сила, то изгиб называется поперечным.

10.2.Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений

Рассмотрим прямой брус с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси, заделанный

433

В. А. Жилкин

правым концом. На боковую грань бруса прямоугольного сечения нанесём сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси бруса (рис. 10.1, а). Затем к свободному торцу бруса приложим момент М, в плоскости действия которого находится ось симметрии поперечного сечения бруса (рис. 10.1, б). В каждом поперечном сечении этого бруса возникают только изгибающие моменты My = M, действующие в той же плоскости, что и момент М. Таким образом, брус на всем своем протяжении находится в состоянии прямого чистого изгиба.

Под действием момента М брус деформируется. В результате деформации, как показывает опыт, линии сетки, параллельные оси бруса, искривляются, сохраняя между собой прежние расстояния c. При указанном на рис. 10.1, б направлении момента Мэти линии в верхней части бруса удлиняются, а в нижней – укорачиваются. Волокна некоторого промежу-

точного слоя, перпендикулярного плоскости действия момента М, сохраняют свою длину. Этот слой называется нейтраль-

ным слоем, его положение по высоте бруса пока не известно.

Линия пересечения поперечного сечения с нейтральным слоем называется нейтральной линией поперечного сечения.

Из симметрии бруса и нагрузки следует, что нейтральная линия перпендикулярна плоскости действия момента.

Каждую линию сетки, перпендикулярную к оси бруса, можно рассматривать как след плоскости некоторого попе-

речного сечения бруса. Так как эти линии остаются прямыми, то можно предполагать, что при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений: сечения, плоские до деформации

бруса, остаются плоскими и после его деформации.

Прямые углы сетки в процессе деформации бруса не изменяются. Следовательно, деформация сдвига равна нулю и, в соответствии с законом Гука при сдвиге, касательные напряжения также равны нулю.

При чистом изгибе уравнения (3.42) принимают вид

Qy xy dF 0 ; Qz xzdF 0 ; Mx dF 0 ;

F F F

434

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Mz x ydF 0 ;	(10.1)
F
N x dF 0 ;	(10.2)
F
My x zdF M .	(10.3)
F

а

б

в

Рис. 10.1

Первые три интеграла тождественно равны нулю, так как равны нулю касательные напряжения.

Как показывают эксперименты и теоретические исследования, при изгибе гипотеза, чтоволокнанедавятдругнадру-

га, существенно не влияет на результаты расчета (при чистом изгибе прямого бруса это предположение является строгим). Эта гипотеза позволяет считать, что все продольные волокна при чистом изгибе находятся в условиях линейного напряженного состояния, т.е. для них справедлив закон Гука:

x E x .

(10.4)

435

В. А. Жилкин

Выделим из рассматриваемого бруса (рис. 10.1, а) двумя поперечными сечениями элемент длиной dx. Начало правой прямоугольной декартовой системы координат разместим в нейтральном слое, ось z направим вверх перпендикулярно нейтральному слою, ось x – по касательной

коси бруса.

Врезультате деформации поперечные сечения, остава-

ясь плоскими, наклонятся по отношению друг к другу на некоторый угол d , волокно mn , лежащее в нейтральном слое, сохранит исходную длину (рис. 10.1, в), т.е. dx d .

Из точки n проведём прямую, параллельную следу ле-

вого торца выделенного элемента бруса, и вычислим удлинения волокна, лежащего на расстоянии z от нейтрального

слоя, положение которого пока не известно:

dx zd .

(10.5)

Относительная деформация рассматриваемого волок-

на будет равна
			dx		zd		z	.	(10.6)
	x		dx		d

Подставляя (10.6) в закон Гука (10.4), найдём

x E	z	.	(10.7)

Из зависимости (10.7) следует, что нормальные напряжения при чистом изгибе линейным образом зависят от расстояния z от нейтральной оси. В точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю; по одну сторону

от нейтральной оси они растягивающие, а по другую – сжимающие. График, изображающий закон изменения напряжений по высоте сечения, называется эпюрой напряжения.

Эпюра напряжений ограничена прямой линией с наибольшими по абсолютной величине значениями напряжений для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси.

436

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Определим положение нейтральной оси в поперечном сечении бруса и найдём зависимость для определения радиуса кривизны нейтрального слоя бруса.

Подставим зависимость (10.7) в выражение (10.2):

N Ez dF		E	zdF	E	Sy 0 ,
	F		F
где Sy zdF	– статический момент поперечного сечения
F	относительно оси y.

Так как E 0 , то равен нулю статический момент Sy , а это означает, что нейтральная линия, совпадающая с осью y, является центральной осью и проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Следовательно, начало декартовой системы координат совпадает с центром тяжести поперечного сечения бруса: ось бруса лежит в нейтральном слое, а радиус кривизны нейтрального слоя является и радиусом кривизны изогнутой оси бруса.

Подставим зависимость (10.7) в выражение (10.1):

My	Ez	ydF	E	yzdF 0	.
F
				F

Откуда центробежный момент инерции

Jyz yzdF 0 ,

F

т.е. оси y и z являются главными центральными осями инерции.

Подставим зависимость (10.7) в выражение (10.3):

	Ez	zdF	E	z	2	dF	EJy	My	,
F				F
где Jy z2dF	– осевой момент инерции поперчного сечения
F		относительно оси y.

437

В. А. Жилкин

Из полученного выражения найдём кривизну деформированной оси бруса

	1		My		.	(10.8)
			EJy

Как следует из приведённого выражения, кривизна1 оси бруса при прямом чистом изгибе прямо пропорциональна изгибающему моменту My и обратно пропорцио-

нальна произведению модуля упругости E на момент инерции Jz . Произведение EJy называется жесткостью поперечного сечения бруса при изгибе (или просто жесткостью сечения,

понимая под сечением только поперечное).

Единицы измерения жесткости сечения при изгибе EJy – Н×м2, кН×м2 и т.д.

При чистом изгибе бруса постоянного сечения изгибающий момент My и жесткость сечения EJy постоянны по его длине. В этом случае радиус кривизны const , т.е. брус изгибается по дуге окружности.

Подставляя выражение (10.8) в зависимость (10.7), получим расчетную формулу для вычисления нормальных

напряжений в поперечных сечениях бруса:
	x	My	z	.	(10.9)
		Jy

Формула (10.9) позволяет определять напряжения в любой точке, лежащей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии z. Эта формула используется лишь для определения абсолютных значений напряжений x . Знак напряжения устанавливается по характеру деформации балки. На рис. 10.2 показаны эпюры нормальных напряжений x при чистом изгибе для некоторых типов поперечных сечений бруса.

Наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения в поперечном сечении бруса возникают в точках,

438

ГЛАВА10 Прямой изгиб

наиболее удаленных от нейтральной оси. При поперечном сечении, симметричном относительно нейтральной оси, абсолютные величины наибольших растягивающих и сжимающих напряжений одинаковы и их можно определить по формуле

			My	z			My		,	(10.10)
	max				max
			Jy				Wy

где zmax – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения;

Wy	Jy	–	(10.11)
	zmax

величина, зависящая только от размеров и формы поперечного сечения, называется осевым моментом сопротивления сечения.

Рис. 10.2

Для прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h

	Wy	Jy		bh3 2		bh2
						.	(10.12)
		zmax		12h
						6
	Для круглого сечения диаметром d
	Wy	Jy		d4 2		d3
						.	(10.13)
		zmax		64d
						32

Единицами измерения моментов сопротивления являются мм3, см3, м3.

439