В.А. Жилкин

10.3.Касательные напряжения при поперечном изгибе

Вотличие от чистого изгиба при поперечном изгибе

впоперечном сечении бруса, кроме изгибающего момен-

та, действует также и поперечная сила. Поэтому в попереч-

ном сечении наряду с нормальными напряжениям x возникают и касательные напряжения xz . На основе закона парности касательных напряжений в продольных сечениях

возникают равные им касательные напряжения zx xz . В соответствии с законом Гука при сдвиге xz G xz , при xz 0 появятся деформации сдвига xz 0 , что приведет к искривлению (депланации) плоских сечений (рис. 10.3).

Рис. 10.3

При поперечном изгибе гипотеза плоских сечений не справедлива!

При поперечном изгибе имеет место также давление между волокнами бруса.

Теоретические и экспериментальные исследования влияния давления между волокнами бруса и депланации сечения на величину нормальных напряжений показали, что для брусьев, у которых высота сечения h мала (L/h > 5) по сравнению с длиной балки L, это влияние невелико, и поэтому влиянием

440

ГЛАВА10 Прямой изгиб

этих факторов на закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса пренебрегают. Условно считают, что гипотеза плоских сечений выполняется и при поперечном изгибе.

Поэтому для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе применяют те же формулы, что и при чистом изгибе:

x	My	z ; max	My	.
	Jy		Wy

Определим распределение касательных напряжений x в поперечном сечении бруса.

В каждой точке поперечного сечения касательное напряжение x имеет две составляющие – xz и xy . Как мы уже знаем, касательные напряжения x у контура направлены по касательной к контуру. В теории упругости доказано, что в сплошных сечениях напряжения xy существенно меньше напряжений xz , и поэтому ими в расчетах пренебрегают.

Предполагают, что составляющие xz касательных напряжений по всей ширине сечения в направлении, параллельном оси z, одинаковы (рис. 10.4), т. е. что величина xz изменяется только по высоте сечения.

Рис. 10.4

441

В. А. Жилкин

Пусть поперечная сила Q параллельна одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения, например оси z, т.е. составляющие поперечной силы Q равны: Qy 0 ; Qz Q . Составляющие поперечной силы Q связаны с касательными напряжениями, возникающими в поперечном сечении, зависимостями (3.42):

Qy xy dF 0 ; Qz xzdF .		(10.14)
F	F

Для определения касательных напряжений xz выделим из балки постоянного сечения, симметричного относительно оси z, элемент 1–2–3–4 двумя поперечными сечениями, проведёнными на расстояниях x и x + dx от левого конца балки, и одним сечением, параллельным нейтральному слою, отстоящему от него на расстоянии z (рис. 10.5).

а

б

в

г

Рис. 10.5

В поперечном сечении балки с абсциссой x действует изгибающий момент My , а с абсциссой x + dx – момент My dMy (рис. 10.5, б). В соответствии с этим нормальные

442

ГЛАВА10 Прямой изгиб

напряжения x и x d x , действующие по площадкам 1–2 и 3–4 выделенного элемента, определяются в соответствии с зависимостью (10.9) выражениями

x		My		z ; x d x		My dMy	z .
		Jy				Jy
Откуда
d x			dMy		z .	(10.15)

Jy

Нормальная сила

Nпр x d x dF ,

Fотс

действующая справа на отсечённую часть площади Fотс (рис. 10.5, г), больше нормальной силы

Nл xdF ,

	Fотс
действующей слева			на		отсечённую часть площади Fотс ,
на величину
dN d x dF							dMy	zdF
	F				F		Jy
		отс			отс
		dMy			zdF	dMy Syотс
									,	(10.16)
		Jy		F			Jy
				отс
где Syотс zdF	– статический момент отсеченной части
Fотс		площади Fотс относительно нейтральной

оси oy .

Касательные напряжения в поперечном сечении бруса нам неизвестны и подлежат определению. Пусть касательные напряжения на расстоянии z от нейтральной оси, в соответствии с рис. 10.5, равны xz и, как мы предположили, распределены равномерно по ширине сечения. На основании

443

В. А. Жилкин

закона о парности касательных напряжений, такие же по величине напряжения zx возникнут в горизонтальной плоскости 1–4. При таких допущениях сдвигающая сила dT в плоскости 1–4 определяется выражением (рис. 10.5, б и г):

dT zxb z dx .

(10.17)

Составляя условия равновесия X 0 системы сил, приложенных к отсеченному элементу 1–2–3–4 бруса, и учитывая (10.16) и (10.17), найдём

dN dT 0

или

dMy Syотсzx b z dx Jy .

Деля обе части равенства на b z dx и учитывая, что

dMy Qz , dx

получим зависимость для определения касательных напряжений в продольном сечении бруса:

QSотс

zx Jyzb yz .

Здесь Jy – момент инерции всего сечения; b z – ширина сечения на уровне той точки, где определяется напряжение zx .

Такие же напряжения будут и в поперечном сечении бруса в точках, лежащих на линии z const :

		Q	Sотс
	xz	z	y		.	(10.18)
		Jy b z

444

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Формула (10.18) называется формулой Журавского, по имени русского инженера-мостостроителя, впервые применившего её к балкам прямоугольного сечения51.

Из формулы (10.18) следует, что касательные напряже-

	ния xz изменяются по высоте сечения по тому жу закону, как
	и величина Syотс	b z .
	а	Касательные			напряжения,
		возникающие при			поперечном
		изгибе в плоскостях, парал-
		лельных	нейтральному				слою,
	б	характеризуют собой силы взаи-
		модействия между			отдельными
		слоями балки; эти силы стремят-
		ся сдвинуть соседние слои друг
	в	относительно		друга в продоль-
		ном направлении. Если					между
		отдельными		слоями		балки		не
		имеется	достаточной			связи,		то
		такой сдвиг произойдет. Напри-
	Рис. 10.6	мер, доски, положенные друг на
		друга (рис. 10.6, а), будут сопро-

тивляться внешней нагрузке, как целый брус (рис. 10.6, б), пока усилия по плоскостям соприкасания досок не превысят сил трения между ними. Когда же силы трения будут превзойдены, то доски сдвинутся одна по другой, как это показано на рис. 10.6, в. При этом прогибы досок резко увеличатся.

51

Дмитрий Иванович Журавский (17.12.1821 – 18.11.1891) – русский учёный инженер, специалист в области мостостроения и строительной механики. Лауреат Демидовской премии 1855 года.

Журавским впервые была разработана теория расчёта многорешётчатых деревянных ферм с железными тяжами (т. н. ферм Гау), которая была успешно использована им при проектировании мостов через реки Веребья, Волга, Волхов и др. Благодаря этим исследованиям, появилась возможность сооружать и безотказно эксплуатировать раскосные фермы пролётом до 60 м (размеры которых до этого назначались эмпирически, в связи с чем происходили обрушения построенных мостов). Журавский впервые (1855) предложил метод определения касательных напряжений в изгибаемых балках и установил наличие в стенках балок косых усилий (главных напряжений) (Википедия).

445

В. А. Жилкин

Определение касательных напряжений по формуле (10.18) производится в следующем порядке:

a)проводится поперечное сечение балки;

b)для этого поперечного сечения определяются значения по-

перечной силы Qz и величина Jy момента инерции сечения относительно главной центральной оси, совпадающей с ней-

тральной осью;

c)в поперечном сечении на уровне, для которого определяются касательные напряжения, параллельно нейтральной оси проводится прямая, отсекающая часть сечения; длина отрез-

ка этой прямой, заключенного внутри контура поперечного сечения, представляет собой ширину b z , входящую в зна-

менатель формулы (10.18);

Sотс

d) вычисляется статический момент y отсеченной части сечения (расположенной по одну сторону от прямой, указанной

в п. c)52 относительно нейтральной оси;

e)по формуле (10.18) определяется абсолютное значение ка-

сательного напряжения xz . Знак касательных напряжений в поперечном сечении балки совпадает со знаком поперечной силы, действующей в этом сечении.

Исследуем распределение касательных напряжений xz для некоторых типов поперечных сечений.

Прямоугольное сечение (рис. 10.7).

Момент инерции поперечного сечения относительно оси y:

bh3

Jy 12 .

Для определения касательного напряжения в некоторой точке c проведем через эту точку прямую 1–1, параллельную оси y.

Sотс

Определим статический момент y верхней части сечения, отсеченной прямой 1–1, относительно оси y:

Syотс Fотс z1

52 За отсеченную часть сечения можно брать как верхнюю, так и нижнию часть. Для обеих частей Syотс одинаков по абсолютной величине. Это вытекает из условия равенства нулю статического момента всего сечения относительно нейтральной оси.

446

ГЛАВА10 Прямой изгиб

или

отс

h

1

h

z

b

h

2

z

2

Sy

b

z

2

2

2

2

.

2

Подставим зависимости для Jy

и Syотс в формулу (10.18):

Qz

b

h

2

z

2

Q

Sотс

2

2

xz

z

y

Jy b

bh3

12 b

6Q

h

2

2

bh

3z

z

.

2

Из этого выражения следует, что касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратной параболы.

Рис. 10.7

447

В. А. Жилкин
При z h 2		напряжения xz 0 . Наибольшего значе-
ния напряжения xz достигают в точках нейтральной оси, т. е.
при z 0
	max	3Qz	1,5 Qz	,	(10.19)
		2bh	F

где F = bn – площадь поперечного сечения.

Таким образом, в случае прямоугольного сечения наибольшее касательное напряжение в 1,5 раза больше среднего его значения, равного Q/F. Эпюра касательных напряжений, показывающая их изменение по высоте сечения балки, изображена на рис. 10.7.

Круглое сечение (рис. 10.8).

Рис. 10.8

Учитывая, что площадь полукруга F

d2 , а расстояние

8

yC

2d

,

от центра тяжести полукруга до центральной оси

3

найдем статический момент полукруга:

Syотс d2

2d

d3 .

8

3

12

d

4

отс

Qz

d3

16

Q

4 Q

Так как J

, то max

Qz Sy

12

z

z .

y

64

Jy b

d4

3

d2

3

F

64 b

448

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Треугольное сечение (рис. 10.9).

Для треугольного сечения с основанием b и высотой h имеем

	отс		b z		2h	h					bh3
	Sy					z		z ; J			.
			3		3		3		y
											36

Подставив эти выражения в формулу (10.18), находим

xz	12Q		2	h	h
	bh	3z		3	z	3	z .

max 32QFz .

Рис. 10.9

Максимальные напряжения находятся на уровне z h6 от нейтральной оси.

Примечание. Формулой Журавского можно пользоваться только в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки перпендикулярна одной из главных центральных осей инерции сечения.

449