ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Абсолютный угол закручивания вычисляется по формуле

	Mкрdx	.	(9.54)
	GJ
L	к

Выражение (9.52) является геометрической характеристикой жесткости тонкостенного сечения при кручении.

Размерность момента инерции тонкостенного сечения при кручении – см4, м4 и т. д., но JK J .

При постоянной толщине сечения

JK	4F2		,
	KP
	S

где S – длина средней линии сечения.

Если толщина сечения на различных участках контура различна, то

JK	4F2
	n S
	KP	,	(9.55)

i ii

где Si и i – длина и толщина участка сечения.

9.2.8.Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения

Опыт показывает, что при кручении бруса любого некруглого сечения его поперечные сечения депланируют. На рис. 9.27, а показана депланация прямоугольных поперечных сечений скручиваемого стержня; на рис. 9.27, б она изображена с помощью горизонталей. Горизонтали в затемнённых областях показывают выпуклость, в светлых областях – вогнутость; диагонали и оси симметрии поперечного сечения остаются в одной плоскости и не искривляются. Это обстоятельство значительно усложняет задачу определения

415

В. А. Жилкин

напряжений и деформаций, так как не позволяет принять гипотезу плоских сечений. В то же время нет возможности ввести обоснованные допущения о характере распределения напряжений по сечению, как это удается сделать для тонкостенных брусьев замкнутого контура. Поэтому задачи кручения брусьев некруглых сечений могут быть решены только методами теории упругости. Впервые эту задачу решил Сен-Венан. На рис. 9.27, в изображены эпюры касательных напряжений по главным осям сечения. В угловых точках напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения развиваются в середине длинных сторон.

Если бы для брусьев некруглого сечения была бы принята гипотеза плоских сечений, то распределение напряжений в поперечном сечении бруса было бы прямо противоположным. Согласно этой гипотезе, точки, наиболее удаленные от центра сечения, имеют наибольшие перемещения и, следовательно, в них должны действовать наибольшие напряжения. Например, в брусе прямоугольного сечения max должны были бы возникнуть в угловых точках. На самом деле именно в этих точках касательные напряжения равны нулю.

а

б

в

Рис. 9.27

Так как напряжения в точках контура поперечного сечения направлены параллельно касательным к контуру,

416

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

то контур представляет собой как бы траекторию касательных напряжений. Это позволяет наметить примерный характер траекторий внутри контура. Траектории касательных напряжений (силовые линии) для некоторых форм сечений показаны на рис. 9.28.

а

б

в

Рис. 9.28

Рассмотрение траекторий позволяет сделать некоторые выводы не только о направлении, но и о величине касательных напряжений. Так, например, на рис. 9.28, а видно, что силовые линии более сгущены у середины длинной стороны прямоугольника, чем у короткой; следовательно, касательные напряжения у середины длинной стороны имеют большую величину, чем у середины короткой. В замкнутом кольце крутящий момент создает элементарные пары из сил dF с плечами, примерно равными по величине среднему диаметру кольца D (рис. 9.28, б). В разрезанном же кольце плечи элементарных пар составляют часть толщины кольца , т. е. эти плечи значительно меньше диаметра D. Следовательно, при одних и тех же крутящих моментах касательные напряжения в разрезанном кольце значительно больше, чем в неразрезанном; другими словами, сопротивляемость разрезанного кольца кручению ниже, чем неразрезанного.

Расположение силовых линий касательных напряжений подобно характеру распределения скоростей течения жидкости при вращательном движении ее в сосуде, имеющем форму поперечного сечения скручиваемого бруса. Такое

417

В. А. Жилкин

подобие, называемое гидродинамической аналогией, облегчает построение силовых линий касательных напряжений.

Для удобства пользования формулам, применяемым при расчете на кручение брусьев с некруглым поперечным сечением, придается такой же вид, как и в случае круглого сечения. В соответствии с этим наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении бруса некруглого сечения определяются по формуле

	max	MKP ,	(9.56)
		WKP
а углы закручивания – по формуле
GJ			(9.57)
		MKPL ,
		KP
где WKP b2h ,		JKP b3h ;

b – длина короткой и h – длинной сторон прямоугольника;

и – числовые коэффициенты, зависящие от соотношения сторон h и b.

Наибольшие напряжения на короткой стороне прямоугольника (рис. 9.27, в):

				max 2 max1 .							(9.58)
		Значения коэффициентов , и приведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1
h/b	1,0	1,5	1,75		2,0	3,0	4,0	6,0	8,0	10,0	∞
	0,208	0,231	0,239		0,246	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
	0,141	0,196	0,214		0,229	0,263	0,281	0,299	0,307	0,313	0,333
	1,000	0,859	0,820		0,795	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742

418