ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Брус, изображённый на рис. 9.13, имеет четыре участка. Если рассматривать условия равновесия систем сил, приложенных к левой отсеченной части, то можно записать:

Участок 1

0 x

a (рис. 9.13, б).

1

x1

x1

Mx 0 : Mкр m x dx 0 ; Mкр

m x

dx .

0

0

Участок 2

a x2

a b (рис. 9.13, в).

x2

x2

Mx 0 : Mкр m x dx M1 0 ; Mкр m x dx M1 .

0

0

Участок 3

a b x2

a b c (рис. 9.13, г).

Mx

кр

a b

1

кр

a b

1

0

: M

M

m

x dx

M 0 ;

m

x dx M .

0

0

Участок 4

a b c x2 a b c d .

a b

Mx 0 : Mкр m x dx M1 M2 0 ;

0

a b

Mкр

m x dx M1 M2 .

0

Таким образом, крутящий момент Мкр в поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения.

9.2.2.Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения

Как уже упоминалось, полные касательные напряжения можно было бы определить из зависимости (9.14), если бы был известен закон их распределения по сечению бруса. Невозможность аналитического определения этого закона заставляет обратиться к экспериментальному исследованию деформаций бруса.

389

В. А. Жилкин

Рассмотрим брус, левый торец которого жестко защемлен, а к правому торцу приложен скручивающий момент Мкр. До загружения бруса моментом на его поверхность была нанесена ортогональная сетка с размерами ячеек a×b (рис. 9.14, а). После приложения скручивающего момента Мкр правый торец бруса повернётся относительно левого торца бруса на угол , при этом расстояния между сечениями скручиваемого бруса не изменятся, а радиусы, проведённые в торцевом сечении, останутся прямыми, т. е. можно предположить, что гипотеза плоских сечений выполняется (рис. 9.14, б). Сечения, плоские до деформации бруса, остаются плоскими и после деформации, поворачиваясь, как жесткие диски, одно относительно другого на некоторый угол. Так как расстояния между сечениями бруса не изменяется, то продольная относительная деформация x 0 равна нулю. Продольные линии сетки принимают винтообразную форму, но расстояние между ними остаётся постоянным (следовательно, y 0 ), прямоугольные ячейки сетки превращаются в параллелограммы, размеры сторон которых не изменяются, т.е. выделенный элементарный объём любого слоя бруса находится в условиях чистого сдвига.

а

б

Рис. 9.14

Вырежем двумя поперечными сечениями элемент бруса длиной dx (рис. 9.15). В результате нагружения бруса правое сечение элемента повернётся относительного левого на угол d . При этом образующая цилиндра повернётся на угол

390

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

сдвига . На тот же угол повернутся все образующие внутренних цилиндров радиуса .

Согласно рис. 9.15 дуга

ab dx d .

Рис. 9.15

Откуда

d	,	(9.17)
dx

где ddx – называется относительным углом закручивания. Если размеры поперечных сечений прямого бруса и крутящие моменты, действующие в них, на некотором участке постоянны, то значение также постоянно и равно отношению полного угла закручивания на этом участке к его длине L, т.е. L .

Переходя по закону Гука при сдвиге ( G ) к напряжениям, получаем

G .

(9.18)

Итак, в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно к радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения, а величина прямо пропорциональна

391

В. А. Жилкин

расстоянию точки от центра. В центре (при 0 ) касательные напряжения равны нулю; в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.

Подставляя найденный закон распределения напряжений (9.18) в равенство (9.14), получаем

Рис. 9.16

Mкр G dF G 2dF G J ,

(9.19)

F

F

где J d4 – полярный момент инерции круглого попереч-

32

ного сечения бруса.

Произведение GJ

называется жесткостью поперечно-

го сечения бруса при кручении.

Единицами измерения жесткости явля-

ются Н·м2, кН·м2 и т.д.

Из (9.19) находим относительный угол закручивания бруса

Mкр

,

(9.20)

GJ

а затем, исключая из равенства (9.18), получаем формулу

для напряжений при кручении бруса круглого сечения

Mкр

.

(9.21)

J

Наибольшего значения напряжения достигают в кон-

турных точках сечения при d 2 :

max

Mкр

d

Mкр

Mкр

.

J

2

d3

W

кр

16

392

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Итак,

M

max Wкр , (9.22)

кр

где

Wкр	d3	,	(9.23)
	16

называют моментом сопротивления кручению вала круглого поперечного сечения.

Размерность момента сопротивления кручению – см3, м3 и т. д.

Из зависимости (9.20) следует
d	Mкрdx	,	(9.24)
	GJ

что позволяет определить угол закручивания всего бруса

L	M dx
	GJкр .	(9.25)

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для Мкр или различными значениями жесткости поперечных сечений GJ , то

	n		Mкрdx
		L		.	(9.26)
	1		GJ

Для бруса длиной L постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами сил с моментом Мкр,

		MкрL		.		(9.27)
		GJ
Полный угол закручивания бруса						на каком-либо
участке равен разности углов прав					и лев поворота правого
и левого концов этого участка, т.е.

393

В. А. Жилкин

прав лев .

Следовательно,

прав лев .

Знак угла определяется знаком крутящего момента. Полученные в этом параграфе уравнения справедливы также и для бруса кольцевого сечения с наружным диаметром D и внутренним d. Только в этом случае J и Wкр надо

вычислять по формулам

J	D4	1 c4 ; Wкр	D3	1 c4 ; c	d	. (9.28)
	32		16
					D

Эпюра касательных напряжений в сечении полого бруса приведена на рис. 9.17.

Сравнение эпюр касательных напряжений в сплошном и полом брусе указывает на преимущества полых валов, так как в таких валах материал используется более рационально (убран материал в области действия малых напряжений). В результате распределение напряжений по сечению становится более равномерным, а сам брус более легким,

чем равнопрочный ему брус сплош- Рис. 9.17 ного сечения, несмотря на некото-

рое увеличение наружного диаметра.

Но при проектировании брусьев, работающих на кручение, следует учитывать,что в случае кольцевого сечения их изготовление сложнее, а значит, и дороже.

394