ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

3.4. Главные площадки и главные напряжения

Если наклонная грань триэдра совпадает с главной площадкой, то полное напряжение p , действующее на ней, направлено вдоль нормали и является главным напряжением. Обозначим его гл . Проекции его на оси координат будут p x глl , p y глm . Подставим эти значения в уравнения (3.5) и запишем их так:

	x		гл	l	xy	m 0;
							(3.16)
xyl y гл m 0.
Добавив сюда основное соотношение между направ-
ляющими косинусами нормали :
l2 m2			1 ,				(3.17)

будем иметь три уравнения для нахождения главного напряжения гл и направляющих косинусов ее нормали l , m . Так как однородная система уравнений (3.16) не допускает тривиального решения: l m 0 , ибо это противоречит (3.17), то для существования других решений этой системы, при которых хотя бы один из косинусов l , m был отличен от нуля, необходимо, чтобы определитель ее был равен нулю. Таким образом, приходим к условию

	x	гл		xy					0 .	(3.18)
	xy			y	гл
Раскрывая определитель левой части, получим ква-
дратное уравнение
2		J	T		гл	J			T 0 ,	(3.19)
	гл	1					2

в котором коэффициенты имеют следующие значения:

J

T

x

y

; J

T

x

xy

.

(3.20)

1

2

xy

y

129

В. А. Жилкин

Корни уравнения (3.20) не должны зависеть от системы координат Oxy ; значит, коэффициенты этого уравнения тоже не зависят от выбора координатной системы. Отсюда заклю-

чаем, что формулы (3.20) дают две функции J1 T и J2 T от компонентов тензора напряжений, являющиеся инвариан-

тами плоского напряженного состояния.

Оба корня уравнения (3.19) действительны и дают зна-

чения двух главных напряжений max и min :

max

x

y

x

y

2

x y xy2

2

2

min

x

y

x

y

2

xy2 .

2

2

Итак,

x

y

x

y

2

max

xy2

.

(3.21)

2

2

min

Внося какое-либо из этих значений j ( j 1,2 ) в уравнения (3.18) и пользуясь одним из них (второе будет следствием первого по условию (3.16)), найдем ориентацию главных площадок. Воспользовавшись первым уравнением (3.16):

x max l xym 0 ; x min l xym 0 .

Откуда

	tg max x max		;	tg min x min	. (3.22)
	xy			xy
Вычисление углов max		и min , определяющих ори-
ентацию площадок, в которых действует напряжение max
и min предполагает, что эти напряжения уже известны. Про-
межуточных вычислений max		и min можно избежать, если

помнить, что в главных площадках касательные напряжения равны нулю, т.е.

130

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

x y

sin2

ГЛ

xy

cos2

ГЛ

0,

2

следовательно,

tg 2 ГЛ

2 xy

.

(3.23)

x

y

Зависимость (3.23) позволяет по исходным даннымx , y и xy сразу определить положение главных площадок, но не дает информации о том, в какой площадке действует

max , а в какой – min .

Если исследуемый элементарный параллелепипед вырезан главными площадками (пусть это будут площадки с напряжениями 1 0, 2 0, 3 0 , направление 1 совпадает с осью x), то формулы (3.8), (3.9) и (3.12), определяющие напряжения по наклонным площадкам, примут вид

		1 cos2 2 sin2 ;
						(3.24)
		1 2 sin2 ,
		2
и
		1 2	1 2 cos2 ;
		2	2			(3.25)
		1 2 sin2 .
		2

Пример 3.1. Полное напряжение по одному из сечений, проведённому через выбранную точку элемента конструкции, равно 6 кН, и оно наклонено к этому сечению под углом 600. По второму сечению, перпендикулярному к первому, нормальное напряжение равно нулю. Определить наибольшее нормальное напряжение по сечению, проходящему через эту точку.

Решение. Все вычисления выполним в программном продукте MathCAD.

131

В. А. Жилкин

Пример 3.2. Определить нормальное и касательное напряжения по наклонному сечению в элементе, нормаль к которому составляет угол 30o с осью x. По граням элемента извест-

ны нормальные и касательные напряжения: x 30 Н/мм2;y 50 Н/мм2; xy 20 Н/мм2.

Решение задачи выполним в программном продукте MathCAD.

3.5. Экстремальные касательные напряжения

Площадки, в которых касательные напряжения достигают экстремальных величин, называются площадками сдвига.

132

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

Найдем их.

	d	x y cos2 сд
	d
		(3.26)

2 xy sin2 сд 0,

где сд – угол, определяющий положение нормали к площадке, в которой действуют экстремальные касательные напряжения, по отношению к площадке с нормалью x.

Из (3.26) следует:

	tg2 сд	x y		.	(3.27)
		2 xy

Формула (3.27) дает значения углов сд, определяющих две взаимно перпендикулярные площадки, по которым действуют максимальные напряжения max , определяемые зависимостью (3.15).

Сравнивая выражения (3.23) с (3.27), устанавливаем,

что

tg2 сд

1

tg2 гл

или

sin2 сд sin2 гл cos2 сд cos2 гл

0 ,

cos2 гл cos2 сд

что возможно при

cos2

гл сд 0 .

Откуда

,

сд

гл

4

т.е. площадки сдвига наклонены к главным площадкам под углом 450.

133