ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов
	В механике закон Гука (5.4) очень часто записывают
	в виде
			,	(5.6)
		P cx

где P – сила;

x – перемещение;

с – жесткость упругой системы.

Выражение (5.6) следует из (5.4), если последнее переписать так

N c L .

При растяжении стержня силой P N P ; L x – перемещение (удлинение) стержня.

5.2. Коэффициент Пуассона

Из экспериментов следует, что при центральном растяжении стержня его удлинение всегда сопровождается уменьшением поперечных размеров; при сжатии, наоборот – увеличением поперечных размеров.

Продольные и поперечные деформации при одноосном растяжении бруса являются следствием одних и тех же нагрузок и, как показывает опыт, их отношение в пределах упругих деформаций есть постоянная для каждого материала величи-

на. Взятые по абсолютной величине, они называются коэф-

фициентами поперечной деформации. При растяжении бруса, изготовленного из изотропного материала, формально мы можем определить два коэффициента поперечной деформации:

y

z

xy

,

xz

,

x

x

где первый индекс у означает направление действующего напряжения, а второй – направление деформации. Здесь

167

В. А. Жилкин

y и z – относительные поперечные деформации сжатия;

x – относительная продольная деформация растяжения.

Для изотропного материала

	xy xz		y			,	(5.7)
			x

т. е. изотропные материалы характеризуются только одним

коэффициентом поперечной деформации, обычно называемым коэффициентом Пуассона. Следовательно, учитывая

знаки деформаций,

y z x

.

(5.8)

Безразмерный коэффициент является физической константой материала и определяется экспериментальным путём. Эксперименты показали, что величина коэффициента для изотропных материалов колеблется от 0 до 0,5. Первое значение получено для пробки, второе – для парафина. Выше, в табл. 5.1, приведены величины коэффициентов Пуассона для различных материалов.

Ортотропные материалы (например, такие, как древесина, стеклопластики, органопластики и т. п.) характеризуются шестью коэффициентами поперечной деформации19.

Обратите внимание! Применительно к анизотропным материалам мы говорим не о коэффициентах Пуассона,

ао коэффициентах поперечной деформации.

Всоответствии с формулами (4.15) и (5.8) изменение первоначального объёма V0 стержня при растяжении определяется зависимостью

V V0 x y z V0 x x x

V0 1 2 x ,

19 Ашкенази Е. К., Ганов Э. В. Анизотропия конструкционных материалов. Л. : Машиностроение, 1972. 216 с.

168

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов
	из которой следует, что для изотропных материалов 0,5 ,
	т.к. уменьшение объёма при растяжении образца из любого
	материала противоречит здравому смыслу.

5.3.Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях

Все формулы и основные положения напряженного и деформированного состояний в точке, изложенные ранее, не связаны с упругими свойствами тел и потому применимы как при упругих, так и при неупругих (или упругопластических) деформациях. Далее при установлении количественного соотношения между напряжениями и деформациями будем иметь в виду только упругие деформации.

Вырежем из произвольного нагруженного тела элементарный кубик главными площадками с размерами ребер, равными единице, и, пользуясь принципом независимости действия сил, представим трехосное напряженное состояние как результат наложения трех линейных напряженных состо-

яний (рис. 5.1). Деформации элемента в направлении главных напряжений являются главными деформациями. Найдем

деформации 1 , 2 и 3 , выразив их через 1 , 2 и 3 .

Рис. 5.1

Каждый из представленных на рис. 5.1 элементов испытывает одноосное напряженное состояние, при котором относительные продольные деформации в направлении отличного от нуля напряжения определяются по закону Гука (5.5):

169

В. А. Жилкин

прод E , а в двух других направлениях, в соответствии
с формулой (5.8), как	E . Деформация удлинения
	попер
считается положительной, а укорочения – отрицательной.
Результаты деформаций элемента от каждого из глав-

ных напряжений по направлению координатных осей 1, 2 и 3 сведём в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Главные деформации

										Деформации
Ось									в направлении
								координатных осей
1	1			2		3	1		1	1 2 3
	E			E		E			E
2		1	2			3	2		1	2 3 1
		E	E			E			E
3		1		2	3		3		1	3 1 2
		E		E	E				E

Итак, формулы закона Гука при объемном напряженном состоянии – обобщённый закон Гука – имеют вид:

	1	1			1				2				;
			E								3
2			1			3							;		(5.9)
			E		2						1
	3	1			3				1			.
			E								2

При произвольном напряженном состоянии на гранях элемента могут действовать все шесть компонент тензора напряжений x , y , z , xy , yz , zx . При малых деформа-

170

ГЛАВА5

Физические зависимости между напряжениями

и деформациями для упругих материалов

циях (а только такие мы, и рассматриваем!) нормальные на-

пряжения вызывают только изменение линейных размеров

элемента, а касательные напряжения вызывают измене-

ние только прямых углов. Поэтому обобщённый закон Гука

для произвольных координатных осей x, y и z будет иметь

тот же вид, что и формулы (5.9):

1

x

x

y

;

E

z

y

1

y

z

;

(5.10)

E

x

z

1

z

x

.

E

y

При нагревании тела увеличивают свои размеры, поэтому полная деформация П тела представляет собой сумму упругой деформации Y и температурной деформации T :

П y T .

Температурная деформация:

T T ,

(5.11)

где α – температурный коэффициент расширения; T – температура нагрева тела.

Подставляя зависимость (5.11) в уравнение (5.10), получим обобщенный закон Гука с учетом нагрева тела:

1

T;

x

x

y

z

E

1

T;

(5.12)

y

E

y

z

x

z

1

z

x

y

T.

E

171

В. А. Жилкин

Закон Гука для плоского напряженного состояния получим, полагая одно из главных напряжений в (5.10) равным нулю. Так, при z 0

		x	1			x		;
			E					y
		y	1			y		;			(5.13)
			E					x
	z				x y .
				E
Равенство нулю напряжения z											не означает, что и z

равно нулю. Зависимость

z x y

E

очень часто используется в экспериментальных исследованиях при определении изменения толщины тонкой пластинки. Если ось z перпендикулярна внешним незагруженным граням тонкой пластинки (толщиной t), нагруженной в своей плоскости, то приближенно можно предположить, что

z tt ,

тогда

t	t x y .	(5.14)
	E

Формула (5.14) является основной при определении изменения толщины пластинки оптическими методами: голографической интерферометрией, голографическим муаром, методом муаровых полос. В поляризационно-оптическом методе уравнение (5.14) используется как дополнительное при определении напряжений x и y .

Для анизотропных материалов обобщенный закон Гука имеет более сложный вид. Так, для наиболее распространен-

172

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов
	ных анизотропных материалов древесины и стеклопластика,
	которые можно отнести к ортотропным материалам, этот за-
	кон имеет вид20

x

x

xy

y

xz z ;

xy

yx

;

Ex

Ey

Ez

Ey

Ex

y

yx

x

y

yz

z ;

xz

zx

;

Ex

Ey

Ez

Ez

Ex

zx

zy

z ;

yx

zy

z

x

y

.

E

x

E

y

E

z

E

z

E

y

Здесь Ex , Ey , Ez – модули упругости в направлениях главных осей упругости материала (для древесины это направления: вдоль волокон, радиальное и тангенциальное);yx , zy , xz – коэффициенты поперечной деформации (первый индекс обозначает направление поперечной, второй – продольной деформации).

В некоторых случаях при решении задач необходимы зависимости, обратные (5.13), т.е. зависимость напряжений

x

и

y

через деформации

x

и

y

. Выполнив необходимые

алгебраические преобразования, получим

x

E

x y

;

1

2

(5.15)

E

y x

y

1

2

.

С учётом зависимости (5.10) относительное изменение объёма можно представить в виде

x y z 1 E2 x y z

(5.16)

1 E2 1 2 3 .

20 Соболев Ю. С. Древесина как конструкционный материал. М. : Лесная промышленность, 1979. 248 с.

173

В. А. Жилкин

Таким образом, изменение объёма зависит лишь от суммы главных напряжений, а не от их соотношения. Поэтому кубик получит одно и то же изменение объёма, будут ли по его граням действовать различные по величине главные напряжения 1 , 2 и 3 или одинаковые напряжения:

	ср	1 2 3 .
		3
Относительное изменение объёма в этом случае выра-
зится
		ср		,			(5.17)
			K
где
	K			E		.	(5.18)
			3 1 2

Величина К называется объёмным модулем упругости. Формулу (5.17) можно переписать в форме, подобной

закону Гука при простом растяжении:

ср 3K ср

,

(5.19)

где

ср 1 2 3 .

3

Зависимость (5.19) называется объёмным законом Гука. Из неё следует, что если к граням кубика приложить равные средние напряжения ср, то все рёбра кубика получат одинаковую относительную деформацию

ср	ср	;	(5.20)
	3K

в этом случае изменение объёма не будет сопровождаться изменением формы – кубик остаётся кубиком, изменившим лишь размеры.

174

ГЛАВА5	Физические зависимости между напряжениями
	и деформациями для упругих материалов

Пример 5.1.

Рис. 5.2

В толстой стальной плите (см. рис. 5.2), деформацией, которой пренебрегаем, высверлено на некоторую глубину цилиндрическое гнездо диаметром 20 мм.

В него плотно, без зазоров вставлен стальной цилиндрический стержень, сжатый, как указано на рис 5.2, давлением p = 64 МПа. Определить все три главных напряжения в стержне, а также относительное изменение объёма стержня.

На торцы стержня действует сжимающее напряжение 3 p , боковые перемещения поверхности цилин-

дра отсутствуют, т.е. 1 2 0 . Все вычисления выполним в программном продукте MathCAD.

175

В. А. Жилкин

Пример 5.2.

Рис. 5.3

Полученный результат не противоречит здравому смыслу, т.к. 1 2 3 3 , ибо 1 2 0 .

В толстой стальной плите сделан сквозной паз шириной и глубиной по 1 см. В этот паз плотно, без зазора вставлен дюралюминиевый параллелепипед с размерами 1×1×h0 см, сжатый силой P = 8·103 Н.

Считая плиту несжимаемой, определить все три главных напряжения в параллелепипеде и его относительное изменение объёма. Какая должна быть высота параллелепипеда до нагружения, чтобы после деформирования его верхняя грань была заподлицо с верхней поверх-

ности плиты? Для дуралюмина

0,33 , E 0,7 105 МПа.

176